9 胡不归中的双线段模型与最值问题

胡不归中的双线段模型与最值问题 【专题说明】 胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“P+ b a PB”的形式（ b a <1），若 b a >1，提取系数，转化为小于1 的形式解决。 2、在PB 的一侧，P 的异侧，构造一个角度α，使得sα= b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 【模型展示】 如图，一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且 V1<V2，、B 为定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值， 即B+k 最小． M N C B A α D H 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型 问题转化为“P+P”型． 【精典例题】 1、在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1 个单位，再向下平 移2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 轴交于点 、 (点 在点 的左侧)， ，经过点 的一次函数 的图象与 轴正半轴交于点 ，且与抛 物线的另一个交点为 ， 的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点 在一次函数的图象下方，求 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标； (3)若点 为 轴上任意一点，在(2)的结论下，求 的最小值． 【答】(1) ； ；(2) 的面积最大值是 ，此时 点坐标 为 ；(3) 的最小值是3 【详解】 解：(1)将二次函数 的图象向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到 的抛物线解析式为 ， ∵ ，∴点 的坐标为 ， 代入抛物线的解析式得， ，∴ ， ∴抛物线的解析式为 ，即 ． 令 ，解得 ， ，∴ ， ∴ ， ∵ 的面积为5，∴ ，∴ ， 代入抛物线解析式得， ，解得 ， ，∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ． (2)过点 作 轴交 于 ，如图，设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，此时 点坐标为 ． (3)作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ 、 关于 轴对称，∴ ， ∴ ，此时 最小， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ 的最小值是3． 2、如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 的最小值是( ) 【答】B 【详解】 如图，作D B ⊥ 于，M B ⊥ 于M． BE ∵ ⊥， EB=90° ∴∠ ， t= ∵ =2，设E=，BE=2， 则有：100=2+42， ∴2=20， =2 ∴ 或-2 （舍弃）， BE=2=4 ∴ ， B= ∵ ，BE⊥，M B ⊥， M=BE=4 ∴ （等腰三角形两腰上的高相等）） DB= BE ∵∠ ∠ ，∠BD= BE ∠ ， ∴ ， D= ∴ BD， D+ ∴ BD=D+D， D+D≥M ∴ ， D+ ∴ BD≥4 ， D+ ∴ BD 的最小值为4 ． 故选B． 3、已知抛物线 过点 ， 两点，与y 轴交于点， ． (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)过点作 ，垂足为M，求证：四边形DBM 为正方形； (3)点P 为抛物线在直线B 下方图形上的一动点，当 面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小 值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线的表达式为： ，顶点 ；(2)证明见解析；(3)点 ；(4)存在， 的最小值为 3+√3 2 ． 【详解】 (1)函数的表达式为： ， 即： ，解得： ， 故抛物线的表达式为： ， 则顶点 ； (2) ， ， (1,0) ∵ ，B(3,0)，∴ B=3，=1， B=2 ∴ ， ∴ ， 又∵D(2，-1)， D=BD= ∴ ， M=MB=D=BD ∴ ， ∴四边形DBM 为菱形， 又∵ ， 菱形DBM 为正方形； (3)设直线B 的解析式为y=mx+， 将点B、的坐标代入得： ， 解得： ， 所以直线B 的表达式为：y=-x+3， 过点P 作y 轴的平行线交B 于点， 设点 ，则点 ， 则 ， ，故 有最大值，此时 ， 故点 ； (4)存在，理由： 如图，过点作与y 轴夹角为 的直线F 交x 轴于点F，过点作 ，垂足为，交y 轴于点Q， 此时 ， 则 最小值 ， 在Rt F △中，∠F=90°，∠F=30°，=3，t F= ∠ ， F= ∴ ， F(- ∴ ，0)， 利用待定系数法可求得直线的表达式为： …①， F=90° ∵∠ ，∠F=30°， F=90°-30°=60° ∴∠ ， F=90° ∵∠ ， F=90°-60°=30° ∴∠ ， Q=•t FQ= ∴ ∠ ， Q(0, ∴ )， 利用待定系数法可求得直线的表达式为： …②， 联立①②并解得： ， 故点 ，而点 ， 则AH=3+√3 2 ， 即 的最小值为 3+√3 2 ． 4、已知抛物线 （ 为常数， ）经过点 ，点 是 轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当 时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点 在抛物线上，当 ， 时，求 的值； （Ⅲ）点 在抛物线上，当 的最小值为 时，求 的值． 【答】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 【详解】 解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ， ∴ ．即 ． 当 时， ， ∴抛物线的顶点坐标为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为 ． ∵点 在抛物线 上， ∴ ． 由 ，得 ， ， ∴点 在第四象限，且在抛物线对称轴 的右侧． 如图，过点 作 轴，垂足为 ，则点 ． ∴ ， ．得 ． ∴在 中， ． ∴ ． 由已知 ， ， ∴ ． ∴ ． （Ⅲ）∵点 在抛物线 上， ∴ ． 可知点 在第四象限，且在直线 的右侧． 考虑到 ，可取点 ， 如图，过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 与 轴相交于点 ， 有 ，得 ， 则此时点 满足题意． 过点 作 轴于点 ，则点 ． 在 中，可知 ． ∴ ， ． ∵点 ， ∴ ．解得 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 5、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3 与x 轴交与点，B（点在点B 的左侧）交 y 轴于点，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E． （1）连结BD，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B，D 重合），过点M 作 M BD ⊥ 交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作⊥x 轴，垂足为，交BD 于点F，点P 是线段上一动点，当M 取得最大值时，求F+FP+ P 的最小值； （2）在（1）中，当M 取得最大值F+FP+1/3P 取得小值时，把点P 向上平移个 单位得 到点Q，连结Q，把△Q 绕点瓶时针旋转一定的角度 （0°< <360°），得到△Q，其中边 Q 交坐标轴于点在旋转过程中，是否存在一点G 使得 ？若存在，请直接写 出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2）存在，Q 的坐标（ ，﹣ ），（ ， ）， （﹣ ， ），（ ，﹣ ） 【详解】 解：（1）如图1 ∵抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与x 轴交于点，B（点在点B 的左侧），交y 轴于点 ∴令y＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3， ∴（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3） ∵点D 为抛物线的顶点，且 ﹣4 ∴点D 的坐标为D（1，﹣4） ∴直线BD 的解析式为：y＝2x 6 ﹣， 由题意，可设点（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣），则点F（m，2m 6 ﹣） | ∴F|＝（2m 6 ﹣）﹣（m2 2 ﹣m 3 ﹣）＝﹣m2+4m 3 ﹣ ∴当m＝ ＝2 时，F 取到最大值，此时M 取到最大值，此时F＝2， 此时，（2，﹣3），F（2，﹣2），（2，0） 在x 轴上找一点K（ ，0），连接K，过点F 作K 的垂线交K 于点点，交y 轴于 点P， s ∴∠K＝ ，直线K 的解析式为： ，且点F（2，﹣2）， ∴P＝ P，直线F 的解析式为： ∴点（ , ） ∴FP+ P 的最小值即为F 的长，且 ∴ ； （2）由（1）知，点P（0， ）， ∵把点P 向上平移 个单位得到点Q ∴点Q（0，﹣2） ∴在Rt△Q 中，∠G＝90°，Q＝ ，取Q 的中点G，连接G，则G＝GQ＝ Q＝ ， 此时，∠Q＝∠GQ 把△Q 绕点顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△′Q′，其中边′Q′交坐标轴于 点G ①如图2 G 点落在y 轴的负半轴，则G（0，﹣ ），过点Q'作Q'⊥x 轴交x 轴于点，且∠GQ'＝ ∠Q' 则∠Q'＝∠'Q'＝∠Q， s ∵∠Q＝ ＝ ＝ ∴ ，解得：||＝ ∴在Rt△Q'中根据勾股定理可得||＝ ∴点Q'的坐标为Q'（ ，﹣ ）； ②如图3， 当G 点落在x 轴的正半轴上时，同理可得Q'（ ， ） ③如图4 当G 点落在y 轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣ ， ） ④如图5 当G 点落在x 轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣ ，﹣ ） 综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（ ，﹣ ），（ ， ）， （﹣ ， ），（ ，﹣ ）