专题11.1 期中期末专项复习之相交线与平行线十八大必考点（解析版）

专题111 相交线与平行线十八大必考点 【人版】 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】.....................................................................................................1 【考点2 三线八角中的截线问题】.........................................................................................................................4 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】.....................................................................................................6 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】............................................................................................................... 12 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】........................................................................................................... 15 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】...................................................................................................20 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】........................................................................................................... 25 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】................................................................................31 【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】........................................................................................................... 38 【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】.......................................................................................................... 46 【考点11 平行线在折叠问题的运用】.................................................................................................................. 56 【考点12 平行线在三角尺中的运用】..................................................................................................................60 【考点13 平行线中的规律问题】..........................................................................................................................65 【考点14 平行线中的转角问题】..........................................................................................................................74 【题型15 生活中的平移现象】..............................................................................................................................81 【题型16 图形的平移】.......................................................................................................................................... 83 【题型17 利用平移的性质求解】..........................................................................................................................85 【题型18 利用平移解决实际问题】......................................................................................................................88 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】 【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ） ．∠1 和∠2 是同旁内角 B．∠1 和∠3 是对顶角 ．∠3 和∠4 是同位角 D．∠1 和∠4 是内错角 【答】 【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可． 【详解】 ∠1 和∠2 是邻补角，故此选项错误； 1 B 1 ∠和∠3 是对顶角，此选项正确； 3 ∠和∠4 是同位角，此选项正确； D 1 ∠和∠4 是内错角，此选项正确； 故选 【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角， 同旁内角，解题关键在于掌握各 性质定义 【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形， 如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）从左至右依次表示（ ） ．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 ．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【答】D 【分析】两条线、b 被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位 置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位 置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样 位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同 旁内角，并能区别它们． 【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( ) ．∠与∠1 是内错角 B．∠2 与∠3 是内错角 ．∠与∠B 是同旁内角 1 D．∠与∠3 是同位角 【答】B 【分析】根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到、、D 是正确的，∠2 与∠3 是邻 补角，不是内错角． 【详解】、∠与∠1 是内错角，故本选项正确； B、∠2 与∠3 是邻补角，故本选项错误； 、∠与∠B 是同旁内角，故本选项正确； D、∠与∠3 是同位角，故本选项正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单． 【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内 错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________ 【答】6 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到，b，的值，即可求解． 【详解】∵同位角有：∠8 与∠4，∠5 与∠1，∠7 与∠3，∠6 与∠2，∠4 与∠9，∠7 与∠9，共6 对；内错角有：∠7 与∠1，∠6 与∠4，∠5 与∠9，∠2 与∠9，共4 对，同旁内角有：∠7 与 ∠4，∠6 与∠1，∠1 与∠9，∠6 与∠9 共4 对， =6 ∴ ，b=4,=4， ∴a+b−c=6， 故答是：6． 【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关 键． 【考点2 三线八角中的截线问题】 【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1 和∠2 是内错角，则下 列表述正确的是（ ） 1 ．∠1 和∠2 是由直线D、被E 所截形成的 B．∠1 和∠2 是由直线D、被BD 所截形成的 ．∠1 和∠2 是由直线D、DB 被E 所截形成的 D．∠1 和∠2 是由直线D、DB 被所截形成的 【答】B 【分析】根据内错角的定义进行判断即可求解． 【详解】解：如图，∠1 和∠2 是由直线D、被BD 所截形成的内错角． 故选：B 【点睛】本题考查了内错角的判断，熟知内错角的定义是解题关键，弄清哪两条直线被第 三条直线所截才能形成内错角是解题关键． 【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（ ）形成的内错 角 ．直线AD、BC被直线BD所截 B．直线AB、CD被直线BD所截 ．直线AB、CD被直线AC所截 D．直线AD、BC被直线AC所截 【答】B 【分析】根据内错角的定义即可完成． 【详解】由图知，∠ABD与∠BDC是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角 故选：B 【点睛】本题考查了内错角的识别，两条直线被第三条直线所截，若两个角在两条截线之 间，且在被截线的两旁，则称这对角为内错角，掌握内错角的含义是正确识别内错角的关 键． 【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2 与∠3 是直线______、___ _被第三条直线_____所截形成的_______． 1 【答】 B BD 同旁内角 【分析】根据同旁内角的定义即可判断． 【详解】由同旁内角的概念可知： 如图所示，∠2 与∠3 是直线B，被直线BD 所截而成的同旁内角； 故答为：B；；BD；同旁内角； 【点睛】本题考查了同旁内角的定义，熟悉掌握同旁内角的定义是解题的关键． 【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出： (1)直线D 和B 被直线所截构成的内错角 (2)直线D 和被直线D 所截构成的同位角 (3)直线和B 被直线B 所截构成的同旁内角 【答】(1)直线D 和B 被直线所截构成的内错角是∠2 和∠5； (2)直线D 和被直线D 所截构成 的同位角是∠1 和∠7；(3)直线和B 被直线B 所截构成的同旁内角是∠3 和∠4 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三 条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角， 两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角 【详解】解：(1)直线D 和B 被直线所截构成的内错角是∠2 和∠5 (2)直线D 和被直线D 所截构成的同位角是∠1 和∠7 (3)直线和B 被直线B 所截构成的同旁内角是∠3 和∠4 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F 形，内错角的边构成Z 形，同旁内角的边构成U 形． 1 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】 【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证： ∠B=∠C． 证明：∵∠1=∠2（已知）， ______ ∴ ∥______（________________________）． ∴∠A=∠BED（_____________________________）． ∵∠A=∠D（已知）， ∴∠BED=∠D（等量代换）． ______ ∴ ∥______（__________________________）． ∴∠B=∠C（______________________________）． 【答】DE；F；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；B；D；内错角相等， 两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先通过已知条件证明DE∥F，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出B∥D， 再根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠C． 【详解】证明：∵∠1=∠2（已知）， ∴DE∥F（同位角相等，两直线平行）． ∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）． ∵∠A=∠D（已知）， ∴∠BED=∠D（等量代换）． ∴B∥D（内错角相等，两直线平行）． ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）． 故答为：DE；F；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；B；D；内错角相 等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线 EF 分别交B，D 于点G，，是∠DG 的平分线． 1 (1)如果GM 是∠BGE 的平分线，（如图①）试判断并证明GM 和的位置关系； 证明：∵AB∥CD， ∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．） ∵GM 是∠BGE 的平分线， ______ ∴ ＝______¿ 1 2 ∠BGE ∵是∠DG 的平分线 ______ ∴ ＝______¿ 1 2 ∠DHG ∴∠MGE＝∠G（等量代换） ∴GM 和的位置关系是______，（___________________）． (2)如果GM 是∠G 的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明） (3)如果GM 是∠BG 的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM 与 又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明． 【答】(1)∠DG；∠BGM；∠MGE；∠D；∠G；GM ∥HN；同位角相等，两直线平行； (2)成立 (3)不成立，GM⊥． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BGE=∠DG，再利用角平分线的定义和等量代换可 得∠MGE=∠G，再利用平行线的判定即可； （2）根据平行线的性质可得∠G=∠DG，，再利用角平分线的定义和等量代换可得 ∠GM=∠G，再利用平行线的判定即可； （3）设GM 与交于点P，根据平行线的性质可得∠BG+∠DG=180°，再利用角平分线的定义 和等量代换可得∠GM+∠G=90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠GP=90°即可解答． （1）证明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DG（两直线平行，同位角相等．）∵GM 是∠BGE 的平 分线，∴∠BGM＝∠MGE＝1 2∠BGE∵是∠DG 的平分线∴∠D＝∠G＝1 2∠DG∴∠MGE＝∠G （等量代换）∴GM 和的位置关系是GM ∥HN（同位角相等，两直线平行）． （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：∵B∥D，∴∠G=∠DG，∵GM 是∠G 的平分线， 1 ∴∠GM= ∠GM=∠G，∵是∠DG 的平分线，∴∠G=∠D=∠DG，∴∠GM=∠G（等量代换）∴GM ∥． （3）（3）（1）中的结论不成立，GM⊥，理由：如图：设GM 与交于点P，∵B∥D， ∴∠BG+∠DG=180°，∵GM 是∠BG 的平分线，∴∠BGM= ∠GM=1 2∠BG，∵是∠DG 的平分线， ∴∠G=∠D=1 2∠DG，∴∠GM+ ∠G=1 2∠BG+1 2∠DG=90°，∴∠GP=180°-（∠GM+ ∠G） =90°∴GM⊥． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行 线的判定与性质是解答本题的关键． 【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：B∥D，D∥EF，E 平分∠B， ⊥E，有以下结论：①B∥EF；②2 1− 4=90° ∠ ∠ ；③2 3− 2=180° ∠ ∠ ；④∠3+1 2 4=135° ∠ ，其中， 正确的结论有____．（填序号） 【答】①②③④ 【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵B∥D，D∥EF， ∴B∥EF，故①正确； ∵E 平分∠B， ∴∠B=2 1 ∠， ∵B∥D， ∴∠B+ 2=180° ∠ ， 2 1+ 2=180° ∴∠ ∠ （1）， ∵⊥E， 2+ 4=90° ∴∠ ∠ （2）， ∴（1）-（2）得，2 1- 4=90° ∠ ∠ ，故②正确； ∵B∥EF， 1 ∴∠BE+ 3=180° ∠ ， ∵E 平分∠B， 1= ∴∠ ∠BE， 1+ 3=180° ∴∠ ∠ ， 2 1+2 3=360° ∴∠ ∠ （3）， 2 1+ 2=180° ∵∠ ∠ （1）， （3）-（1）得，2 3- 2=180° ∠ ∠ ，故③正确； ∵D∥EF， ∴∠EF+ 4=180° ∠ ， 3+ ∴∠ ∠E+ 4=180° ∠ ， ∵E⊥E， 1+ ∴∠ ∠E=90°， ∴∠E=90°- 1 ∠， 3+ 4- 1=90° ∴∠ ∠ ∠ ， 2 1- 4=90° ∵∠ ∠ ， 1=45°+ ∴∠ 1 2 4 ∠， 3+ ∴∠ 1 2 4=135° ∠ ，故④正确． 综上，正确的结论有：①②③④． 故答为：①②③④． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键， 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内 错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平 行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论， 切莫混淆． 【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形BD 中， AD∥BC，∠＝∠． 1 (1)求证：∠B＝∠D； (2)如图2，点E 在线段D 上，点G 在线段D 的延长线上，连接BG，∠EB＝2∠G，求证： BG 是∠EB 的平分线； (3)如图3，在(2)的条件下，点E 在线段D 的延长线上，∠ED 的平分线D 交BG 于点，若 ∠BE＝66°，求∠BD 的度数． 【答】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)57° 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠+∠B=180°，进而推出∠+∠B=180°，即可证明B∥ D，得到∠+∠D=180°，据此即可证明结论； （2）先由平行线的性质得到∠BG=∠G，∠EB=∠BE，进而推出∠EBG=∠