精品解析：广东省佛山市顺德区容山中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共26 页 （北京）股份有限公司 容山中学2022-2023 学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 （考试时间：120 分钟满分150 分） 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在符题卡上. 2.选择题每小题选出将答案后、用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不 能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应的 位置上，考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的方程为 ，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】设该直线的倾斜角为 ，直线的方程为 ，所以则该直线的斜率为 ，所 以 . 故选：B. 第2 页/共26 页 （北京）股份有限公司 2. 已知平面 ， 的法向量分别为 ， ，且 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面平行，法向量之间的关系进行求解即可. 【详解】因为 ，所以 ， 于是有 ， 故选：D 3. 若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ． 故选：A． 4. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张 无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A 表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B 表示在乙抽奖箱中中奖的 事件，C 表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ） A. 第3 页/共26 页 （北京）股份有限公司 B. 事件 与事件 相互独立 C. 与 和为 D. 事件A 与事件B 互斥 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别求出 ， ，进一步求出 与 ，从而判断AC 选项，在甲抽奖箱抽奖和 在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A 和事件B 相互独立，判断BD 选项. 【详解】 ， 在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A 和事件B 相互独立，B 项正确 ，故A 正确 ，故C 正确 事件A 与事件B 相互独立而非互斥，故D 错误. 故选：ABC 5. 在四面体 中，E 为 中点， ，若 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法，用基底表示目标向量即可. 第4 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【详解】 如图， ， 而 ，代入上式可得： ， 故选：A. 6. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下 图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 均为 ，拉索下端相邻两个锚的间距 均为 ．最短 拉索的锚 ， 满足 ， ，则最长拉索所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用已知长度可分别计算 ， ，再利用斜率的定义可解. 【详解】根据题意，最短拉索的锚 ， 满足 ， ， 第5 页/共26 页 （北京）股份有限公司 且 均为 ，拉索下端相邻两个锚的间距 均为 ， 则 ，即点 ， 同理 ， 又 ，即点 ， 所以 ， ， 故选：C. 7. 已知 是棱长为8 的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题通过基底法，得到 ，再通过立体图得到 的值，以及 的最 小值，最终代入数据得到最小值. 【详解】如图 为棱长为8 的正方体外接球的一条直径, 为球心， 为正方体表面上的任一点 则球心 也就是正方体的中心， 所以正方体的中心 到正方体表面任一点 的距离的最小值为正方体的内切球的半径, 第6 页/共26 页 （北京）股份有限公司 它等于棱长的一半，即长度为4，, 的长为正方体的对角线长，为 ， 我们将三角形 单独抽取出来如下图所示： 所以 的最小值为 . 故选：B. 【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法 的熟练运用，平时要多加训练. 8. 如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 当点 移动至 中点时，直线 与平面 所成角最大且为 B. 无论点 在 上怎么移动，都有 C. 当点 移动至 中点时，才有 与 相交于一点，记为点 ，且 第7 页/共26 页 （北京）股份有限公司 D. 无论点 在 上怎么移动，异面直线 与 所成角都不可能是 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量研究直线与直线垂直、夹角问题的相关公式和结论，结合函 数的性质可判断选项A、B、D；由三角形的相似关系可判断选项C． 【详解】以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图， 设正方体的棱长为1，则 ∵点 是线段 上的动点，∴可设 ， ， ∴ ， ， ， 设 是平面 的 一个法向量，则 ，即 ， 令 ，则 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 第8 页/共26 页 （北京）股份有限公司 ∴当 时， 取最大值 ，即当点 移动至 中点时 最大， 由于 ，则 的最大值大于 ，故A 错误； ∵ ， ， ∴ ， ∴无论点 在 上怎么移动，都有 ，故B 正确； 若 不是 的中点，则 与 是异面直线；当 为 的中点时，也是 的中点， 与 均在平面 内且必相交，所以当点 移动至 中点时，才有 与 相交于一点，记为 点 ，连 和 ，如图， 根据 ， 可得 ＝ ＝2，故C 正确； ∵ ， 设异面直线 与 所成角为 ，则 ，∴ ， 第9 页/共26 页 （北京）股份有限公司 故D 正确． 故选：A． 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分） 9. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误. 【详解】由题设， ，A 错误； ，B 正确； ，C 正确； ，D 错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线 必过定点 ． B. 经过两点 的直线方程为 C. 直线 的倾斜角为 D. 过点 且垂直于直线 的直线方程为 第10 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程化为 结合点斜式判断A 选项；根据斜率公式和点斜式方程判 断B 选项；根据倾斜角与斜率的关系求解判断C 选项；根据直线位置关系，并结合点斜式方程求解判断D 选项. 【详解】解：对于A 选项， 即为 ，过直线过点 ，故 A 选项正确； 对于B 选项，经过两点 的直线方程为 ，故B 选项 正确； 对于C 选项，直线 的斜率为 ，故倾斜角为 ，故C 选项错误； 对于D 选项，直线 的斜率为 ，所以过点 且垂直于直线 的直线斜率为 ， 方程为 ，即 ，故D 选项正确. 故选：ABD 11. 已知点 和点 ， 是直线 上的一点，则 的可能取值是（ ） A . B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】过点 作直线 的对称点 ，设 ，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方 程可得 ， ，连接 ，由三点共线的性质可得 的范围，从而可得结论． 【详解】解：点 和点 ， 是直线 上的一点， 第11 页/共26 页 （北京）股份有限公司 过点 作直线 的对称点 ，设 ， 可得 ， ， 解得 ， ，即 ， 连接 ，可得 ， 当且仅当 ， ， 三点共线时，取得最小值为 ， 结合选项可知 的可能取值是 ， ， ． 故选：ABC． 12. 设正方体 的棱长为2，下列命题正确的有（ ） A. B. 二面角 的正切值为 C. 若 ，则正方体内的M 点所形成的面积为 D. 设P 为 上的动点，则三棱锥 的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体建立空间直角坐标系，利用坐标运算可以验证选项A，B；利用四点共面确定M 点区 第12 页/共26 页 （北京）股份有限公司 域，即可求解面积，验证选项C；利用三棱锥体积转换，求解三棱锥 的体积，验证D 选项. 【详解】解：如图，因为正方体 ，建立空间直角坐标系 则 对于选项A， ， 故 ，选项A 错误； 对于选项B，由于正方体中有 平面 ， 所以 可以作为平面 的一个法向量 又 所以 所以 则 是平面 的一个法向量 设二面角 的大小为 ，且 为锐角 所以 ， 第13 页/共26 页 （北京）股份有限公司 故 ，则 ，故B 选项正确； 对于选项C，若 ，则若 四点共面 则正方体内的M 点所形成区域为三角形 ，且 则 ，故C 选项正确； 对于选项D，设P 为 上的动点，则三棱锥 的体积 ，故D 选项正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大共4 小题，每小题5 分，满分20 分） 13. 若直线l 的一个方向向量为 ，则它的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角. 【详解】解：因为直线l 的一方向向量为 ， 所以直线的斜率为 ，， 设直线l 的倾斜角 ，则 ， 所以 ，即 . 故答案为： 第14 页/共26 页 （北京）股份有限公司 14. 已知 三点不共线，O 为平面 外一点，若向量 ，且点P 与 共面，则实数 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得存在实数 ，使得 ，从而可得结论 ，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P 与 共面, 三点不共线, 故存在实数 ，（ 不同时为 0），使得 ， 则 , 即 ， 而 ，故 ，即得 ， 故答案为： . 15. 已知实数x，y 满足直线l 的方程 ，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化求点 到直线l： 上点的距离最小值，即可得结果. 【详解】由题意， 表示点 到直线l： 上点的距离， 第15 页/共26 页 （北京）股份有限公司 所以其最小值为 . 故答案为： 16. 甲乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局，三 个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4， 0.8，各项目的比赛结果相互独立.则甲学校获得冠军的概率为__________. 【答案】0.6## 【解析】 【分析】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用 互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出. 【详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 故答案为：0.6 四、解答题（共70 分.解析须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量 ， . （1）求 的值； （2）求向量 与 夹角的余弦值. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 第16 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解. 【小问1 详解】 ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ； 【小问2 详解】 设 与 的夹角为 ，则 ， ， ， ， ， ∴ ， ∴向量 与 夹角的余弦值为 . 18. 求满足下列条件的圆的标准方程． （1）圆心在x 轴上，半径为5，且过点 ； （2）与圆 同圆心且过点 的圆的方程 （3）A(0，3)， B(4，0) C（0，0）求三角形ABC 的外接圆方程 【答案】（1） 或 ； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）设圆心的坐标为 ，求出 的值即得解； 第17 页/共26 页 （北京）股份有限公司 （2）设圆的方程为 ，求出 即得解； （3）求出圆心和半径即得解. 【小问1 详解】 解：设圆心的坐标为 ，所以 或 . 所以所求圆的标准方程为 或 . 【小问2 详解】 解：设圆的方程为 ，代入 ， 得 . 所以圆的标准方程为 . 【小问3 详解】 解：所以 的垂直平分线方程为 ， 边的垂直平分线方程为 ， 所以圆心坐标为 ，半径 则三角形ABC 的外接圆的标准方程为 . 19. 如图，在长方体 中， ， ，求： （1）点 到直线BD 的距离； （2）点 到平面 的距离； （3）异面直线 之间的 距离. 第18 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量 和向量 的坐标，再求 在 上的投 影向量的大小，结合勾股定理求点 到直线BD 的距离；(2)求平面 的法向量 ，再求向量 在向 量 上的投影的大小即可；(3)证明 平面 ，利用向量方法求点 到平面 的距离即可. 【小问1 详解】 以点 为原点， ， ， 为 ， ， 轴的 正方向建立空间直角坐标系，因为 ， ，则 ， ， ， ， ， 所以 ， ，所以 在 上的投影向量的大小为 ，又 ，所以点 到直线 BD 的距离 ； 第19 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 由(1) ， ， ， 设平面 的法向量 ，则 ，所以 ， 取 ，可得 ， ，所以 是平面 的一个法向量，向量 在法向量 上的投影为 ，所以点 到平面 的距离为 ； 【小问3 详解】 由(1) ， ，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以异面直线 之间的距离与点 到平面 的距离相等， 设平面 的法向量 ，因为 ，则 ，所以 ， 取 ，可得 ， ，所以 是平面 的一个法向量，向量 在法 第20 页/共26 页 （北京）股份有限公司 向量 上的投影为 ，所以点 到平面 的距离为 ； 故异面直线 之间的距离为 . 20. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐 曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该 小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是 ，乙猜对歌名的概率是 ， 丙猜对歌名的概率是 ，甲、乙、丙猜对与否互不影响. （1）求该小组未能进入第二轮的概率； （2）该小组能进入第三轮的概率； （3）乙猜歌曲的次数不小于2 的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）该小组未能进入第二轮也即甲、乙、丙至少有一人未猜对，根据对立事件求解； （2）该小组能进入第三轮即前两轮三人都猜对，根据事件积的概率计算即可； （3）乙猜歌曲的次数不小于2 即该组过第一轮且甲猜对，据此求概率即可． 【小问1 详解】 解：设该小组未能进入第二轮为事件A， 则 ， 第21 页/共26 页 （北京）股份有限公司 故该小组未能进入第二轮的概率为 ． 【小问2 详解】 解：设该小组能进入第三轮为事件B， 则 ， 故该小组能进入第三轮的概率为 ． 【小问3 详解】 解：设乙猜歌曲的次数不小于2 为事件C， ． 故乙猜歌曲的次数不小于2 的概率为 ． 21. 已知 的三个顶点 、 、 ． （1）求 边所在直线的方程； （2） 边上中线 的方程为 ，且 ，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） 或 ． 【解析】 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先根据 直线方程，可得 ，然后利用点到直线距离，得到点 到直线 的距离 为： ，再根据 ，得到 ，最后解方程组即可得到参数的值. 【小问1 详解】 第22 页/共26 页 （北京）股份有限公司 因为 、 ，所以BC 边所在直线的方程为： ； 【小问2 详解】 BC 边上中线AD 的方程为 ，所以有 ， 点A 到直线BC 的距离为： ， ，因为 ， 所以有 ， 因此有 或 ，解得： 或 ， 所以点A 的坐标为： 或 ． 22. 如图，圆柱的轴截面 为正方形，点 在底面圆周上，且 为 上的一点，且 为线段 上一动点（不与 重合） （1）若 ，设平面 面 ，求证： ； （2）当平面 与平面 夹角为 ，试确定 点的位置. 【答案】（1）证明见解析； 第23 页/共26 页 （北京）股份有限公司 （2） 为 中点. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直、圆的性质有 、 ，再由线面垂直的判定及性质得 ，进而有 面 ，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论； （2）构建空间直角坐标系求 的坐标，设 ，可得 ，再分别求出面 、面 的法向量，结合已知面面角的大小求参数 ， 即可确定 点的位置. 【小问1 详解】 由题知 面 面 ，则 ， 由 为底面圆的直径，则 ， 由 ， 面 ， 面 ， 又∵ 面 ，∴ ， 又 ， 面 ， 面 ， 又∵ 面 ，故 . 由 ，在 中，由射影定理： ， 故 面 面 , ∴ 面 ，又面 面 ， 面 ， 第24 页/共26 页 （北京）股份有限公司 ∴ . 【小问2 详解】 由（1）知，以 为原点 为 轴正方向，过 的母线为 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设 ， 则 ， 设 ， ， 设面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， 又平面 的一个法向量 设平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 解得 或 ， 第25 页/共26 页 （北京）股份有限公司 其中 时 重合，不合题意， 故当平面 与平面 夹角为 时 ，此时 为 中点. 第26 页/共26 页 （北京）股份有限公司