精品解析：广东省江门市广雅中学2022-2023学年高二上学期期中B数学试题（解析版）

第1 页/共27 页 （北京）股份有限公司 启用前 保密 江门广雅学校中学2022－2023 学年第一学期期中教学质量检测 高二年级数学试卷 试卷类型：B （时间120 分钟，满分150 分）命题人：代鹏审题人：吴春尧 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试 卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应 的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 第2 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案. 【详解】∵ ∴x＝1， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴向量 与 的夹角为 故选：D. 2. 若直线 与 平行，则 与 间的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线平行，列方程求出 ，再利用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为直线 与 平行， 所以 ，且 ， 解得 ， 所以直线 ， ， 所以 ， ， 所以 与 间的距离为 ， 第3 页/共27 页 （北京）股份有限公司 故选：B 3. 设向量 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量基本定理，列方程，逐个检验，可得答案. 【详解】对于A，设 ，则 ，即 ，该 方程组无解，故A 符合题意； 对于B，设 ，则 ，即 ，解得 ，故B 不符合题意； 对于C，设 ，则 ，即 ，解得 ， 故C 不符合题意； 对于D，设 ，则 ，即 ，解得 ，故D 不符合题意； 故选：A. 第4 页/共27 页 （北京）股份有限公司 4. 与直线 切于点 ，且经过点 的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为 ，根据题意列出方程组，求得 ，即可得出答案. 【详解】解：设圆的方程为 ， 根据题意可得 ， 解得 ， 所以该圆的方程为 . 故选：D. 5. 已知椭圆 的焦距是2，则离心率e 的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用 、 进行求解. 第5 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【详解】因为椭圆 的焦距是2，所以 ， 当椭圆焦点在 轴上， ，所以 ， 当椭圆焦点在 轴上， ，所以 ，故A，C，D 错误. 故选：B. 6. 如图所示，在棱长为1 的正方形 中，点P 是 的中点，点M，N 是矩形 内 （包括边界）的任意两点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体 的中心为O，连接OP，OM，ON，根据向量的线性运算可得 ，再分析 的范围求解即可. 【详解】设正方体 的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知， ， ，那么 第6 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ，又 ，所以 . 当 与 反向，且 时， 有最小值，此时 ； 当 与 同向，且 时， 有最大值，此时 ， 即 的取值范围为 ． 故选：B 7. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦 娥四号”在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e， 设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 第7 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 ，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号” 到月球表面最远的距离. 【详解】椭圆的离心率 ，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 则 故选：B 8. 设抛物线 的焦点为F，准线为， 为C 上一动点， ，则下列结论错误的是（ ） A. 当 时， 的 值为6 B. 当 时，抛物线C 在点P 处的切线方程为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】由焦半径求出 的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合 第8 页/共27 页 （北京）股份有限公司 图象可判断CD. 【详解】当 时， ，故 ，故A 正确； 当 时， ，由 可得 ，所以 ， 所以抛物线C 在点P 处的切线方程为 ，整理得： ，故B 错误； 如图，过点P 作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知： ， 则 ，当A、P、B 三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C 正确； 由题意得： ，连接AF 并延长，交抛物线于点P， 此点即为 取最大值的点，此时 ， 其他位置的点 ，由三角形两边之差小于第三边得： ， 故 的最大值为 ，故D 正确. 故选：B. 第9 页/共27 页 （北京）股份有限公司 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9. 已知空间中三点 ，则下列结论正确的有（ ） A. 与 共线的单位向量是 B. C. 与 夹角的余弦值是 D. 平面 的一个法向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判定A 选项；向量垂直，则其点乘为0，判定B 选项； 利用向量夹角公式判定C 选项；D 选项，将 代入计算 ， 即可. 【详解】解： ， 与 不共线，故A 错误； ， ， ，故 ，故B 正确； ，C 错误； 设 ，则 ， ， 第10 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以 ，又 ，且 平面 ， 所以平面 的一个法向量是 ，D 正确. 故选：BD. 10. 已知 为4， 为8 或 ，则下列对曲线 描述正确的是（ ） A. 曲线 可表示为焦点在 轴的 椭圆 B. 曲线 可表示焦距是4 的双曲线 C. 曲线 可表示为离心率是 的椭圆 D. 曲线 可表示渐近线方程是 的双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断. 【详解】由题意得，当 时，方程 表示焦点在 轴的椭圆， 所以A 选项正确; 当 时，方程 表示焦点在 轴的双曲线， 此时 ，则 ， ，则焦距 ， 所以B 选项错误; 当 时，方程 表示焦点在 轴的椭圆， 此时 ，则 ， ， 则离心率为 ， 所以C 选项正确; 当 时，方程 表示焦点在 轴的双曲线， 第11 页/共27 页 （北京）股份有限公司 此时 ，则 ， 则 ， ，则渐近线方程为 ， 即 ， 所以D 选项正确; 故选:ACD. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线 恒过定点 B. 圆 ： 与圆 ： 恰有三条公切线 C. 两圆 与 的公共弦所在的直线方程为 D. 已知圆 ： ， 为直线 上一动点，过点 向圆 引条切线 ，其中 为 切点，则 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用求定点的方法即可判断A 选项；判断两个圆的位置关系即可判断B 选项；两圆方程联立作差 可判断C 选项；利用切线长可判断D 选项. 【详解】令 ，则 ，解得 ， 所以直线过定点 ，所以A 正确； 圆 的圆心为 半径 ， 圆 的圆心为 半径 ， 圆心距 ,所以 ， 所以圆 与圆 外切，则有3 条公切线， 所以B 正确； 第12 页/共27 页 （北京）股份有限公司 两圆方程联立 ， 作差整理得 ，所以C 错误； 设圆心 到直线 的距离为 ，半径 , 则 ，所以 ， 根据切线长 ， 当 取最小值时， 有最小值， 所以 , 所以D 错误. 故选:AB. 12. 如图，正三棱柱 中，底面ABC 是边长为2 的等边三角形， ，D 为BC 中点，则 （ ） A. 直线 平面 B. 点 到平面 的距离为 C. 异面直线 与 所成角的余弦值为 第13 页/共27 页 （北京）股份有限公司 D. 设P，Q 分别在线段 ， 上，且 ，则PQ 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】解：在正三棱柱 中， 为 的中点，所以 ， 如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ，因 为 ，即 ，又 平面 ，所以 平面 ， 故A 正确； 因为 ，所以 ，则点 到平面 的距离为 ，故B 正确； 因为 ， ，设直线 与 所成角为 ，则 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故C 错误； 设 ，则 、 ，因为 ， ，所以 第14 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ， ，则 ， ，所以 ，所以当 时 有最小值，所以 ，所以 ，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面列出方程组，求出 . 【详解】 ， ， ，若 ， ， 三向量共面， 设 ， 即 ， 第15 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以 ，解得: ，所以 . 故答案为：5 14. 已知过点 且倾斜角为 的直线与圆 相交于 两点，则线段 的长为_______ ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程求出直线的一般式方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离， 结合垂径定理计算即可得出结果. 【详解】由题意可知，直线方程为 ，即 ． 则圆心 到直线 的距离 ． 所以弦长 ． 故答案为： . 15. 已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，且其右焦点为 ，则双曲线C 的 标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得 ， ，即可求出 、 的值，从而得解. 【详解】解：双曲线 的渐近线方程为 ， 第16 页/共27 页 （北京）股份有限公司 可得 ，其右焦点为 ，可得 ，又 ， 解得 ， ， 则双曲线 的方程为： ． 故答案为： ． 16. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成 果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q，P 的距离之比 ，那么点 的轨迹就是 阿波罗尼斯圆.已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点， 且 ，若点 ，则 的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由阿波罗尼斯圆的定义求出定点 坐标，再由 结合三点共线求出最小值即可. 【详解】设 ， ，所以 ，又 ，所以 . 因为 且 ，所以 ，整理可得 ，又动点M 的 第17 页/共27 页 （北京）股份有限公司 轨迹是 ， 所以 ，解得 ，所以 ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 的最小值为 ，当且仅当 三点共 线时取等. 故答案为： . 四、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知 ， ，且 ，求 ， 的值； （2）已知 ， ，若 与 （ 为坐标原点）的夹角为 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答； （2）先算出 ， ，然后利用数量积的坐标运算得到 ，再利用夹角公式即 可得到答案 【详解】（1）因为 ， ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ； 第18 页/共27 页 （北京）股份有限公司 （2）因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 与 的夹角为 ， 所以 ，因为 解得 18. 已知直线 的方程为 ， ，且 与 轴交于点 ． （1）求直线 和 的交点坐标； （2） 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，点 关于直线 的对称点为 ，求 的面积． 【答案】（1） ; （2） . 【解析】 【分析】（1）求出直线 的方程，联立直线 的方程，可解得直线 和 的交点坐标； （2）求出 ， 两点坐标，计算 的值，根据对称性列方程解得 点坐标，求出点 到直线 的距离， 代入三角形的面积公式计算得答案. 【小问1 详解】 因为直线 的方程为 ， ， 所以 ，又 与 轴交于点 ， 第19 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以 的方程为， ， 由 解得交点坐标为 ； 【小问2 详解】 设 关于 的对称点为 ， 由题意得 解得 ， 则 到 ： 的距离 , 由 ： ，令 得 ，令 得 ， ， 所以 的面积 . 19. 已知抛物线 的焦点F 到其准线的距离为4． （1）求p 的 值； （2）过焦点F 且斜率为1 的直线与抛物线交于A，B 两点，求 ． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案； （2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线 的方程，与抛物线进行联立可得 ，利用 第20 页/共27 页 （北京）股份有限公司 韦达定理可得 ，即可得到答案 【小问1 详解】 由抛物线 可得焦点 ，准线方程为 ， 又因为抛物线 的焦点到其准线的距离为 ， 所以 ； 【小问2 详解】 由（1）可得抛物线的方程为 ，所以焦点 ， 则直线 的方程为 设 ， 联立 ，整理可得 ，所以 ， 由抛物线的性质可得 ． 20. 已知圆 经过 ， ， 三点. （1）求圆 的标准方程； （2）若直线 与圆 相交于不同的两点 ， ，且线段 的垂直平分线在两坐标轴上截 距之和为 ，求实数 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程利用待定系数法，代入点得到方程，解之即可. （2）先判断得 ，进而求出线段 的垂直平分的方程，根据题意可求得 的值，再由 与圆 第21 页/共27 页 （北京）股份有限公司 相交，得到 的取值范围，进一步确定 的值. 【小问1 详解】 设圆 的方程为 ， 因为圆 经过 ， ， 三点， 所以 解得 ， 所以圆 方程为 ，即 ， 所以圆 的标准方程为： . 【小问2 详解】 若 ，直线 ： 为 ，与圆 相切，只有一个交点，不合题意，故 ； 又弦 的垂直平分线必过圆心 ，且 的斜率为 ， 所以线段 的垂直平分线方程为 ， 当 时 ，当 时 ，所以 ，即 ， 解得： 或 . 因为圆 的方程为： ，所以 ，半径 ， 又直线 与圆 相交，所以 ，即 ，得 或 ， ∴ 符合题意，即 . 21. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，且 ， 第22 页/共27 页 （北京）股份有限公司 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； （3）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在 ，且 . 【解析】 【分析】（1）过 作 于 ，以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和直 线 的向量，从而可证明线面平行. （2）求出平面 的法向量，利用向量求夹角公式解得. （3）令 ， ，设 ，求出 ，结合已知条件可列出关于 的方程，从而 可求出 的值. 第23 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【小问1 详解】 过 作 ，垂足为 ，则 ， 如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， 为 的中点， ，则 ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，令 ，解得： . ，即 ， 又 平面 ，所以 平面 ． 【小问2 详解】 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 所以 ，令 ，解得 . 所以 . 第24 页/共27 页 （北京）股份有限公司 即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 【小问3 详解】 假设线段 上存在一点 ，设 ， ， . ， ，则 又直线 与平面 所成角的正弦值为 ，平面 的一个法向量 ， 化简得 ，即 ， ， ，故存在 ，且 . 22. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆C 上，点F 是椭圆C 的右焦点． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，则在x 轴上是否存在一点P，使得直线l 绕点F 无论怎样 转动都有 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2）存在 ， . 【解析】 【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c 的方程组，解得a、b 即可求得椭圆C 的方程； （2）由题意可知在x 轴上存在一点 ，使 成立，据此结合根与系数的关系可求解. 【小问1 详解】 第25 页/共27 页 （北京）股份有限公司 由题意得 ，解得： ． 所以椭圆C 的 方程为 ． 【小问2 详解】 由题意可知 ． 若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为 ， 联立得 ，整理得 ． 由题意可知 恒成立，所以 ， 假设在x 轴上存在一点 ，使得x 轴平分 ，则 ， 所以 ，整理得 ， 即 ， 整理得， ， 则 ， 即 ，解之得 ． 若直线l 斜率不存在时，则M，N 两点关于x 轴对称，当点P 坐标为 时，x 轴平分 ． 第26 页/共27 页 （北京）股份有限公司 综上所述，在x 轴上存在一点 ，使得x 轴平分 ． 第27 页/共27 页 （北京）股份有限公司