广东省佛山市顺德区第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

（北京）股份有限公司 顺德一中2022-2023 学年度第一学期高二期中考试 数学试题 一､单项选择题（每题5 分，共40 分） 1.直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. ，若 三向量共面，则实数 （ ） A.3 B.2 C.15 D.5 3.在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4.如图，在直三棱柱 中，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 ，用数字 表示下雨，数字 表示不下雨，由计算机产生如下20 组随机数： ， . 由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 6.甲乙丙三个同学独立地解答一个数学题，已知三位同学能够正确解答这个数学题的概率分别为 ，则 这个数学题能被正确解答的概率为（ ） A. B. C. D. 7.已知直线 和 互相平行，实数 的取值为（ ） A. 或3 B. C. D.1 或 8.方程 有两个不同的解，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题，（4 小题，每题5 分，共20 分，漏选得2 分，错选得0 分） 9.已知直线 ，圆 ，则（ ） A. 的取值范围为 B.当与圆 相切时， C.当与圆 相切时，圆上的点到原点 的最短距离为 D.当与圆 相切时，圆上的点到原点 的最长距离为 10.有6 个相同的球，分别标有数字 ，从中有放回地随机取两次，每次取1 个球.甲表示事件“第 一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之 和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A.甲与乙互斥 B.丙与丁互斥 C.甲与丁相互独立 D.乙与丙相互独立 （北京）股份有限公司 11.已知圆 与直线 ，若直线和圆 交于 两点，设 面积的面积为（ ） A.直线必过定点 B.弦长 最短为 C.直线与圆可能没有交点 D. 的最大值为8 12.如图，在菱形 中， ，沿对角线 将 折起，使点 ， 之间的 距离为 ，若 分别为直线 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A.当 时，点 到直线 的距离为 B.线段 的最小值为 C.平面 平面 D.当 分别为线段 的中点时， 与 所成角的余弦值为 三､填空题（每题5 分，共20 分） 13.从 这4 个数中随机取出2 个不同的数为 ，则 的概率为__________. 14.经过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上截距的2 倍的直线方程__________. 15.已知棱长为1 的正四面体 为 中点， 为 中点，则 __________. （北京）股份有限公司 16.已知圆 ，点 ，点 在圆 上运动，则 的中点 的轨迹方程为____ ______；过原点 的两条直线与点 的轨迹分别交于 两点，直线 的斜率之积为 为垂足，有一定点 ，使得 为定值，则 点坐标为__________. 四､解答题（共6 小题，共70 分；第17 题10 分，其他题12 分） 17.已知 的顶点 ，边 上的中线所在直线的方程为 所在直线方程为 .求 （1）点 的坐标； （2）直线 关于直线对称的直线方程. 18.已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上. （1）求圆 的方程； （2）若过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. 19.如图，在直角梯形 中， .将矩形 沿 翻折，使得平面 平面 . （1）求 与平面 所成角的正弦值. （2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 20.第56 届世界乒乓球锦标赛于2022 年在中国成都举办，国球运动又一次扻起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球 （北京）股份有限公司 比赛，比赛采用7 局4 胜制，每局为11 分制，每赢一球得1 分. （1）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ， 且每局比赛的结果相互独立.求甲乙两人只需要再进行三局比赛就能结束本场比赛的概率. （2）已知某局比赛中双方比分为 ，此时甲先连续发球2 次，然后乙连续发球2 次，甲发球时甲得分的概 率为 ，乙发球时乙得分的概率为 ，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以 获胜的概率； 21.如图，三棱锥 中， ，平面 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）若点 在线段 上，直线 与直线 所成的角为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值. 22.如图，在直棱柱 中，底面 是边长为4 的菱形， 是 上的动点（不含端点）. （1）当 为 的中点时，求直线 到平面 的距离； （2）求直线 和平面 所成角的正弦值的取值范围. （北京）股份有限公司 顺德一中2022-2023 学年度第一学期高二期中考试数学试题 本试卷共22 题，共4 页，满分150 分，考试时间长120 分钟 一､单项选择题（每题5 分，共40 分） 1.【答案】D 【解析】设直线倾斜角为设 ，则 ，解得 . 2.【答案】D 【解析】 与 不共线， 又 三向量共面，则存在实数 使 即 解得 . 3.【答案】D 【解析】以 为原点， 所在直线分别为 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则 ， . 设异面直线 与 所成的角为 ， （北京）股份有限公司 . 4.【答案】B 由题意可得 ，故选： B 5.【答案】B 【解析】代表今后三天都不下雨的随机数有 ，共6 组， 记“今后三天中至少有一天下雨”为事件 ，“今后三天都不下雨”为事件 ，则 与 为对立事件.所以 ， 6.【答案】A 【解析】 解：“没有人能解决这个问题”的概率为 所以“有人能解决这个问题”的概率为 7.【答案】B 【解析】由题意可得 ， 解得 或 时，两直线重合，所以 .8. 8.【答案】C 【解析】设 ，其图象为圆 的上半圆， ，直线恒过点 ， 方程 有两个不同的实数根， 为实数， 即 和 有两个不同的交点， （北京）股份有限公司 画出 的图象，如图所示： 当直线与圆相切时， ， 当直线过 时， ， 或 ， 即实数 的取值范围为 . 二､多项选择题，（4 小题，每题5 分，共20 分，漏选得2 分，错选得0 分） 9.【答案】BD 解：圆 方程可化为 ，则圆心 ，半径 ， 对 ，解得 ，故 错误； 对 ：点 到直线的距离 ，若与圆 相切，则 ，解得 ，故B 正 确； 对 ，圆上的点到原点 的最短距离 错； 对 故选：BD. 10.【答案】BC 【解析】由题意可知，两点数和为6 的所有可能为 . （北京）股份有限公司 两点数和为7 的所有可能为 . 甲 乙 丙 丁 ， 对于 选项，甲与乙可以同时发生，故选项 错误； 对于 选项，丙与丁不可能同时发生，故选项 正确； 对于 选项， 甲丁 甲 ，故选项 正确； 对于 选项， 乙丙 乙 （丙），故选项 错误. 11.【答案】ABD 圆的方程为 ， 直线 . 令 ，解得 ， 不论 取何值，直线必过定点 ，在圆內，所以直线与圆一定相交， 错. 圆心 ，设圆心 到直线的距离为 ，可得 所以当 最大时，弦长 最短为 . 则 ， 因为 ，所以 时， 面积的最大值为8. 12.【答案】BCD 【解析】取 的中点 ，连接 ，由题意可知： ， 因为 ，所以 ， （北京）股份有限公司 又易知 ， 因为 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 ，故C 正确； 以 为原点， 分别为 轴建立坐标系， 则 ， 当 时， ， ， 所以点D 到直线 的距离为 ，故A 错误； 设 ，由 得， ， （北京）股份有限公司 当 时， ，故B 正确； 当 分别为线段 的中点时， 设 与 所成的角为 ， 所以 与 所成角的余弦值为 ，故D 正确； 故选：BCD 三､填空题（每题5 分，共20 分） 13.【答案】 【解答】取出的6 组数分别为 ，其中有 ， 满足 ， 所以 的概率为 . 14.【解析】当直线不过原点时，设所求直线方程为 ， 将 代入所设方程，解得 ，经检验是方程的解， 所以直线方程为 ； （北京）股份有限公司 当直线过原点时，设直线方程为 ， 则 ，解得 ， 所以直线方程为 ，即 . 故所求直线方程为 或 15.【解析】 ， 16.【答案】相关点法. 圆 的方程为 ； 设 所在直线方程为 ， 联立 得 ， 同理把 换做 ，可得 ， 所以 所在直线方程为 ， （北京）股份有限公司 当 时，可得 ，故直线 过定点 ， 由于OC 为定值，且 为直角三角形，OC 为斜边， 所以 中点 满足 为定值， 由于 ，故由中点坐标公式可得 ， 故点 ，使得|DP|为定值. 四､解答题，共6 小题，共70 分；第17 题10 分，其他题12 分）17. 17.【答案】 解：联立 . 点B 关于 对称点为 ，对称直线方程为 18.【答案】 解：（1）由圆心在直线 上， 设圆心 的坐标为 ，半径为 ， 圆的标准方程为 ， 可得 ，且 ， 解得 ， 圆 的标准方程为 ； （2）圆心 到直线 的距离为 ， 当直线 垂直于 轴时，方程为 ，满足条件； 当直线斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ， （北京）股份有限公司 由 ，解得 ， 所以直线 的方程为 . 综上所述，直线 的方程为 或 . 19.（1）解： 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，则 两两垂直， 以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 （北京）股份有限公司 （2） 平面 ， 平面 的一个法向量为 ， ， 20.【解析】（1）解：设事件 “只需要再进行三局比赛就能结束本场比赛”， （2）解：设事件 “在比分为 的条件下甲以 获胜”， 则 . 21.解析： （1）在 中， ， 是直角三角形， ， ， 平面 平面 ，平面 平面 平面 平面 ， 平面 ，又 ， 平面 . （2）以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向，过 垂直于平面 的直线为 轴， 建立空间直角坐标系 ， （北京）股份有限公司 由题意得： ， 设点 坐标为 ， 则 ， 点 坐标为 又 直线DE 与直线BC 所成的角为 解得： . 点 坐标为 .则 . 设平面 的法向量为 则 ，取 ，可得 . 再设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，可得 . 于是 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 . 22 解：（1） ，直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离. 连 交于 ，连 交于 ， 依题意可得 两两垂直， （北京）股份有限公司 以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， 为 的中点， 此时 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 取 ，则 ， 则点 到平面 的距离为 ； 此问也可以用等体积法. （2）设 ，则 ， 所以 ， （北京）股份有限公司 ， 设平面 的一个法向量 ， 则 ， 令 ，得 ，所以 ， 设直线 和平面 所成角为 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， （北京）股份有限公司