精品解析：广东省佛山市顺德区德胜学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共25 页 （北京）股份有限公司 广东顺德德胜学校2022-2023 学年第一学期高二年级 数学试卷 一､单选题（本大题共8 小题，共40.0 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则 ， 两点间的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两点之间的距离公式: , 将 ， 两点代入,即可求得 , 两点间的距离. 【详解】 ， = = 故选:C. 【点睛】本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键. 2. 过点 ，且与直线 平行的直线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，可设直线方程为 ，代入点 ，可得解 【详解】由题意，设直线方程为 代入点 第2 页/共25 页 （北京）股份有限公司 可得 故直线方程为： 故选：A 【点睛】本题考查了与已知直线平行的直线方程求解，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 3. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得 ，进而根据投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 在 上的投影向量为 故选：C 4. 已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 ，且三人的录取结果 相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少 一个被录取的概率. 第3 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是 ，且三人录取结果相互之间没有影响， 所以他们三人都没有被录取的概率为 ，故他们三人中至少有一人被录取的概 率为 . 故选:D 5. 以 为顶点的三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 以 为直角顶点的直角三角形 C. 以 为直角顶点的直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模的关系即可确定三角形的形状. 【 详解】 ， ， ， ， 满足 ,且 ， 所以 是以 为直角顶点的直角三角形. 故选：C 6. 从装有大小和形状完全相同的 个红球和 个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对 立的是（ ） A. “至少一个白球”和“都是红球” 第4 页/共25 页 （北京）股份有限公司 B. “至少一个白球”和“至少一个红球” C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球” D. “恰有一个白球”和“都是红球” 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件， A 错误； B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B 错 误； C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C 错 误； D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都 是白球”事件，故不是对立事件，D 正确. 故选：D. 7. 数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离 是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ 的顶点 ， ， 且 ，则△ 的欧拉线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件求出 垂直平分线的方程，且△ 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合 欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线. 【详解】由题设，可得 ，且 中点为 ， 第5 页/共25 页 （北京）股份有限公司 ∴ 垂直平分线的斜率 ，故垂直平分线方程为 ， ∵ ，则△ 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上， △ ∴ 的欧拉线的方程为 . 故选：D 8. 在正四面体 中，点 在线段 上运动（不含端点）.设 与平面 所成角为 ， 与平 面 所成角为 ， 与平面 所成角为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ， ， ， ， ， ，然后算出 ， ， 即可. 【详解】 不妨设 ， ， ， ， ， 所以 ，所以 所以 第6 页/共25 页 （北京）股份有限公司 设平面 的法向量为 则有 ，即 ，即 所以可取 所以 ， 同理可得 ， 因为 ， 所以 ，故 ， 故选：D 二､多选题（本大题共4 小题，共20.0 分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知直线的一个方向向量为 ，且经过点 ，则下列结论中正确的是（ ） A. 的倾斜角等于 B. 在 轴上的截距等于 C. 与直线 垂直 D. 与直线 平行 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为 ， 所以直线的斜率为 ， 因为直线经过点 ， 第7 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以直线的方程为 ，即 对于A，设直线的倾斜角为 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以A 错误， 对于B，当 时， ，得 ， 所以直线在 轴上的截距等于 ，所以B 错误， 对于C，因为直线 的斜率为 ，且 ， 所以直线与直线 垂直，所以C 正确， 对于D，因为直线 的斜率为 ，且在 轴上的截距为 ， 而直线的斜率为 ，且在 轴上的截距为 ， 所以直线与直线 平行，所以D 正确， 故选：CD 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是 ，则 B. 直线l 的方向向量 ， 平面 的法向量是 ， 则 C. 两个不同的平面 的法向量分别是 ，则 D. 直线的方向向量 ， 平面 的法向量是 ，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可． 第8 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是 ，且 ，所以 ，选项A 正确∶ 对于B，直线l 的方向向量 ，平面 的法向量是 且 ，所以 或 ，选项B 错误； 对于C，两个不同的平面 的法向量分别是 ，且 ，所以 ，选项C 正确； 对于D，直线l 的方向向量 ，平面a 的法向量是 且 ，所以 ，选项 D 错误． 故选∶ AC 11. 某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向 上的点数为3 的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子 游戏?”．已知被调查的150 名学生中，共有30 人回答“是”，则下列结论正确的是（ ） A. 这150 名学生中，约有50 人回答问题“投掷点数是不是奇数?” B . 这150 名学生中，必有5 人迷恋电子游戏 C. 该校约有5%的学生迷恋电子游戏 D. 该校约有2%的学生迷恋电子游戏 【答案】AC 【解析】 【分析】先由题意计算出回答问题一的 人数50 人，再计算出回答问题一“是”的人数25 人，故可得到回 答问题二“是”的人数5 人,最后逐一分析四个选项即可. 【详解】由题意可知掷出点数为3 的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3 的倍数的概率为 ，故理论上回答 第9 页/共25 页 （北京）股份有限公司 问题一的人数为 人.掷出点数为奇数的概率为 ，理论上回答问题一的50 人中有25 人回答“是”， 故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5 人. 对于A, 抽样调查的这150 名学生中，约有50 人回答问题一，故A 正确. 对于B, 抽样调查的这150 名学生中，约有5 人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B 错. 对于C,抽样调查的150 名学生中，50 名学生回答问题一，故有100 名学生回答问题二，有5 名学生回答 “是”， 故该校迷恋电子游戏的学生约为 ，故C 正确. 对于D,由C 可知该校迷恋电子游戏的学生约为 ，故D 错. 故选：AC. 12. 在长方体 中， ， ，动点 在体对角线 上（含端点）， 则下列结论正确的有（ ） A. 当 为 中点时， 为锐角 B. 存在点 ，使得 平面 C. 的最小值 第10 页/共25 页 （北京）股份有限公司 D. 顶点 到平面 的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，当 为 中点时，根 据 判断 得符号即可判断A；当 平面 ，则 ，则有 ，求出 ，即可判断B；当 时， 取得最小值，结合B 即可判断C；利用向量法求出点 到平面 的距离，分析即可判断D. 【详解】解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系， 设 ， 则 ， 则 ，故 ， 则 ， ， 对于A，当 为 中点时， 则 ， ， 则 ， ， 第11 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以 ， 所以 为锐角，故A 正确； 当 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 则 ，解得 ， 故存在点 ，使得 平面 ，故B 正确； 对于C，当 时， 取得最小值， 由B 得，此时 ， 则 ， ， 所以 ， 即 的最小值为 ，故C 错误； 对于D， ， 设平面 的法向量 ， 则有 ， 可取 ， 第12 页/共25 页 （北京）股份有限公司 则点 到平面 的距离为 ， 当 时，点 到平面 的距离为0， 当 时， ， 当且仅当 时，取等号， 所以点 到平面 的最大距离为 ，故D 正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为 ，用随机模拟的方法进行试验，由､ ､ ､ 表示下雨，由 ､ ､ ､ ､ ､ 表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生 之间随机整数的 组 第13 页/共25 页 （北京）股份有限公司 如下： 通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________. 【答案】0.25## 【解析】 【分析】找出对应的数据，再根据古典概型即可得解. 【详解】解：由数据可知， 表示恰有两天下雨的数据为 共5 组， 所以三天中恰有两天下雨的概率近似为 . 故答案为： . 14. 已知向量 ， ， ，则 ______________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的模求得 ，然后由数量积的坐标表示计算． 【详解】由已知 ， ， 所以 ． 故答案为：2 15. 已知直线 ，若直线 ，则直线 的倾斜角大小为_____________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据直线方程 可求出 ；根据 求出 ，进而可求出直线 的倾斜 角. 第14 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【详解】 直线方程 直线 的倾斜角 大小为 故答案为： 16. 如图，长方体 中， 、 与底面所成的角分别为 和 ， ，点 为线段 上一点，则 最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】因为 平面 ，所以 ， ，根据 ，求出 ， ， ，又 可化为 ，所以只需求出 的最小值即可， 即求直角三角形 的斜边 上的高即可得解. 【详解】如图： 第15 页/共25 页 （北京）股份有限公司 因为 平面 ，所以 ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 ， ， ， 所以 ， 当 时， 取最小值，最小值为 ， 所以 的最小值为 ，即 的最小值为 . 故答案为： 【点睛】本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面所成的角，考查了空间向量的数量积，属于中 档题. 四､解答题（本大题共6 小题，共70.0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某校夏令营有 名男同学 和 名女同学 ，现从这 名同学中随机选出 人参加知识竞赛. （1）写出试验的样本空间； 第16 页/共25 页 （北京）股份有限公司 （2）设 为事件“选出的 人恰有名男生和名女生”，求事件 发生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列出所有可能的结果即可得样本空间； （2）由古典概型即可求得概率. 【小问1 详解】 所有可能的结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10 种情况. 故样本空间为： . 【小问2 详解】 事件M 包含的结果有： ，共6 个结果， 故事件M 发生的概率为 . 18. 已知三角形的三个顶点 ， ， . （1）求线段 的中线所在直线方程； （2）求 边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）先求出BC 中点的坐标，再求BC 的中线所在直线的方程；（2）先求出AB 的斜率，再求 出 边上的高所在的直线方程. 【详解】（1）由题得BC 的中点D 的坐标为（2，-1）, 第17 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以 , 所以线段 的中线AD 所在直线方程为 即 . （2）由题得 , 所以AB 边上的高所在直线方程为 ， 即 . 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 19. 如图在平行六面体 中， ， ， ， ， ､ ､ 分别为 ， ， 的中点. （1）求证： （2）求 和 所成角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 第18 页/共25 页 （北京）股份有限公司 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明 即可； （2）利用向量数量积和模求向量间的夹角即可. 【小问1 详解】 取 为一组基底， 设 ， 依题： ∴ . ， ∴ ， 故 . 【小问2 详解】 ， . ∴ 第19 页/共25 页 （北京）股份有限公司 . . . ∴ 所以直线 与 所成角的余弦值为 . 20. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､ 延迟5 分钟内送达､延迟5 至10 分钟送达､其他延迟情况，分别评定为 四个等级，各等级依次奖 励3 元､奖励0 元､罚款3 元､罚款6 元.假定评定为等级 的概率分别是 . （1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； （2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3 元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解； （2）由条件可知两单共获得的奖励为3 元即事件 ，同样利用互斥事件和的概率，即可求 解. 【小问1 详解】 第20 页/共25 页 （北京）股份有限公司 设事件 分别表示“被评为等级 ”， 由题意，事件 两两互斥， 所以 ， 又 “不被罚款”， 所以 . 因此“不被罚款”的概率为 ； 【小问2 详解】 设事件 表示“第单被评为等级 ”， ， 则“两单共获得的奖励为3 元”即事件 ， 且事件 彼此互斥， 又 ， 所以 . 21. 如图，四边形 是边长为的 菱形， ，四边形 为矩形， ，且平 面 平面 . 第21 页/共25 页 （北京）股份有限公司 （1）求二面角 的大小； （2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， 【小问1 详解】 由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 因为 ， 所以 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ，令 ，则 ，所以 ， 第22 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以 ， 二面角 为钝角，故二面角 的大小为 . 【小问2 详解】 因为 ，所以 ， 因为平面 的一个法向量为 ，所以点C 到平面 的距离 ， 22. 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点 O，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P∉平面ABCE）． （1）证明：平面POB⊥平面ABCE； （2）若PB ，试判断线段PB 上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正 弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE⊥平面POB，然后结合已知可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解. 【小问1 详解】 连接BE，在等腰梯形ABCD 中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E 为CD 中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD⊥AE， ∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O， 第23 页/共25 页 （北京）股份有限公司 OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，∴AE⊥平面POB， 又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE． 【小问2 详解】 由（1）可知四边形ABED 为 菱形，∴AD＝DE＝2， 在等腰梯形ABCD 中AE＝BC＝2，∴△PAE 正三角形， ∴ ，同理 ， ∵ ， ∴OP2+OB2＝PB2， ∴OP⊥OB， 由（1）可知OP⊥AE，OB⊥AE， 以O 为原点， 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 则 ，A（﹣1，0，0）， ， ，E（1，0，0）， ∴ ， ， 设 ， ， 设平面AEQ 的一个法向量为 （x，y，z）， 则 ，即 取x＝0，y＝1，得 ，∴ (0，1， )， 设直线PC 与平面AEQ 所成角为 ， 第24 页/共25 页 （北京）股份有限公司 则 ，即 ， 化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得 ， ∴存在点Q 为PB 的中点，即 时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为 ． 第25 页/共25 页 （北京）股份有限公司