专题57 二次函数中的线段最值问题（解析版）

【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 左侧），与y 轴 交于点，连接B，点P 是线段B 上方抛物线上一点，过点P 作PM⊥B 于点M，求线段 PM 的最大值． 解：过P 点作PQ∥y 轴交B 于Q，如图， 当y＝0 时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），（﹣1，0）， 当x＝0 时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则（0，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 把B（3，0），（0，3）代入得， ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+3， ∵B＝＝3， ∴△B 为等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵PQ∥y 轴， ∴∠PQM＝45°， ∵PM⊥B， ∴△PMQ 为等腰直角三角形， ∴PM＝ PQ， 设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3）， 例题精讲 ∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∴PM＝ （﹣t2+3t）＝﹣ （t﹣ ）2+ ， 当t＝ 时，PM 的最大值为 ． 变式训练 【变1-1】．如图，抛物线y＝ x2+bx+经过点B（3，0）、（0，﹣2），直线L：y＝﹣ x﹣ 交y 轴于点E，且与抛物线交于、D 两点，P 为抛物线上一动点（不与、D 重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 在直线L 下方时，过点P 作P∥y 轴交L 于点，求P 的最大值． （3）当点P 在直线L 下方时，过点P 作PM∥x 轴交L 于点M，求PM 的最大值． 解：（1）把B（3，0），（0，﹣2）代入y＝ x2+bx+得， ， ∴ ∴ 抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x 2 ﹣； （2）设P（m， m2﹣ m 2 ﹣）， ∵P∥y 轴，在直线D 上， ∴（m，﹣ m﹣ ）， ∴P＝﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2＝﹣ m2+ m+ ． ∴当m＝ 时，P 的最大值是 ； （3）设P（m， m2﹣ m 2 ﹣）， ∵PM∥x 轴，M 在直线D 上，M 与P 纵坐标相同， 把y＝ m2﹣ m 2 ﹣，代入y＝﹣ x﹣ 中，得x＝﹣m2+2m+2 ∴M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m 2 ﹣） ∴PM＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2 ∴当m＝ 时，PM 的最大值是 ． 【变1-2】．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对 称轴交x 轴于点D，已知（﹣1，0），（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最 大值． 解：（1）抛物线y＝﹣ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，（﹣1，0）， （0，2）． ∴ ， 解得： ， 故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2； （2）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 设P（m，﹣ m+2）；则Q（m，﹣ m2+ m+2）， 则PQ＝（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m＝﹣ （m 2 ﹣） 2+2， 此时PQ 的最大值为2． 【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，＝＝3，顶 点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在对称轴上找一点P，使△BP 的周长最小，求出P 点坐标； （3）在下方的抛物线上有一点，过点作直线l∥y 轴，交与点M，当点坐标为多少时，线 段M 的长度最大？最大是多少？ 解：（1）如图1，∵＝＝3， ∴（﹣3，0），（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2+bx+经过点（﹣3，0），（0，﹣3）， ∴将（﹣3，0），（0，﹣3），分别代入抛物线y＝x2+bx+， 得 ， 解得 ． 故此抛物线的函数关系式为：y＝x2+2x 3 ﹣； （2）如图，连接P，BP，B，，与抛物线对称轴交于点P′， ∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x 3 ﹣， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵B 是抛物线与x 轴的另一个交点，（﹣3，0）， ∴B（1，0）， ∴B＝ ＝ ＝ ， ∵点，B 关于抛物线对称轴对称， ∴P＝BP， ∴PB+P 的最小值即为P+P 的最小值，此时P+P+B 最小，即△BP 的周长最小， ∴当P、、三点共线时，△BP 的周长最小，即P 在P′所在的位置， 设直线的解析式为y＝kx+b1， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为：y＝﹣x 3 ﹣， ∴当x＝﹣1 时，y＝﹣2， ∴点P 的坐标为（﹣1，﹣2）； （3）如图3，设（t，t2+2t 3 ﹣），则M（t，﹣t 3 ﹣）， ∴M＝﹣t 3 ﹣﹣（t2+2t 3 ﹣）＝﹣t2 3 ﹣t＝﹣（t+ ）2+ ， 1 ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣ ，即点的坐标为（﹣ ， ）时，线段M 的长度最大，最大值为 ． 变式训练 【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B 点坐标为（1，0），且＝＝3B，抛物 线y＝x2+bx+（≠0）图象经过，B，三点，其中D 点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△D 的形状并且求△D 的面积； （3）如图2，点P 是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P 点作PE⊥于E 点，当 PE 的值最大时，求此时P 点的坐标及PE 的最大值． 解：（1）∵B 点坐标为（1，0）， ∴B＝1， 又∵＝＝3B， ∴＝＝3， ∴（﹣3，0），（0，﹣3）， 将，B，三点代入解析式得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x 3 ﹣； （2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x 3 ﹣， ∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1， 当x＝﹣1 时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4， ∴D 点的坐标为（﹣1，﹣4）， | ∴D|＝ ＝2 ，||＝ ＝3 ，|D| ＝ ＝ ， | ∵D|2＝||2+|D|2， ∴△D 是直角三角形， S△B＝ ||•|D|＝ × ＝3； （3）设直线的解析式为y＝sx+t， 代入，点坐标， 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为y＝﹣x 3 ﹣， 如右图，过点P 作y 轴的平行线交于点， ∵＝， ∴∠＝∠＝45°， ∵P∥y 轴， ∴∠PE＝∠＝45°， 设点P（x，x2+2x 3 ﹣），则点（x，﹣x 3 ﹣）， ∴P＝﹣x 3 ﹣﹣（x2+2x 3 ﹣）＝﹣x2 3 ﹣x， ∴PE＝P•s∠PE＝（﹣x2 3 ﹣x）× ＝﹣ （x+ ）2+ ， ∴当x＝﹣ 时，PE 有最大值为 ， 此时P 点的坐标为（﹣ ，﹣ ）． 【变2-2】．如图，二次函数y＝x2+bx+ （≠0）的图象交x 轴于、B 两点，交y 轴于点D， 点B 的坐标为（3，0），顶点的坐标为（1，4）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在 第一象限时，求线段PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q 在第一象限，使△BDQ 中BD 边上的高为 ？ 若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由二次函数顶点（1，4），设y＝（x 1 ﹣）2+4， 将B（3，0）代入得：4+4＝0， ∴＝﹣1， ∴y＝﹣（x 1 ﹣）2+4＝﹣x2+2x+3， 答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3 中，令x＝0 得y＝3， ∴D（0，3）， 设直线BD 解析式为y＝kx+3，将B（3，0）代入得： 3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BD 解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，﹣m+3），则M（m，﹣m2+2m+3）， ∴PM＝﹣m2+2m+3+m 3 ﹣＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣ ）2+ ， 1 ∵﹣＜0， ∴当m＝ 时，PM 取最大值，最大值为 ； （3）存在点Q，使△BDQ 中BD 边上的高为 ，理由如下： 过Q 作QG∥y 轴交BD 于点G，交x 轴于点E，作Q⊥BD 于，如图： 设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3）， ∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|， ∵B＝D， ∴∠BD＝45°， ∴∠BGE＝45°＝∠QG， ∴△QG 是等腰直角三角形， 当△BDQ 中BD 边上的高为 时，即Q＝G＝ ， ∴QG＝2， ∵点Q 在第一象限，QG＝|﹣x2+3x|， ∴﹣x2+3x＝2， 解得x＝1 或x＝2， ∴Q（1，4）或（2，3）， 综上可知存在满足条件的点Q，坐标为（1，4）或（2，3）． 1．已知抛物线的顶点（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x 轴分别交于，D 两点． （1）求直线B 和该抛物线的解析式； （2）如图1，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线B 的上方，过点M 作x 轴的平行 线与直线B 交于点，求M 的最大值； （3）如图2，E∥x 轴交x 轴于点E，点P 是抛物线上、D 之间的一个动点，直线P、PD 与E 分别交于F、G，当点P 运动时，求t∠PD+t∠PD 的值． 解：（1）设直线B 的解析式为y＝kx， ∵B（﹣2，3）， 2 ∴﹣k＝3， ∴k＝﹣ ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x， ∵抛物线的顶点为（﹣1，4）， ∴设抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4． 将B（﹣2，3）代入y＝（x+1）2+4，得：3＝+4， 解得：＝﹣1， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2 2 ﹣x+3． （2）设M（t，﹣t2 2 ﹣t+3），M＝s， 则的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣ （t﹣s）， ∵ ， ∴x1＝﹣2，x2＝ ， ∵点M 是直线B 的上方抛物线上的点， 2 ∴﹣＜t＜ ， ∵M∥x 轴， ∴﹣t2 2 ﹣t+3＝﹣ （t﹣s）， ∴s＝﹣ +2＝﹣ ， 2 ∵﹣＜t＜ ， ∴当t＝﹣ 时，M 的最大值为 ； （3）解：过点P 作PQ∥y 轴交x 轴于Q， 设P（t，﹣t2 2 ﹣t+3），则PQ＝﹣t2 2 ﹣t+3，Q＝t+3，DQ＝1﹣t， t ∴∠PD+t∠PD＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝1﹣t+t+3， ＝4． 2．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点和点B（3，0），与y 轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作M∥y 轴交直线B 于点，求线段M 的最大值； （3）在（2）的条件下，当M 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P，使 △PB 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将点B（3，0）、（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+中， 得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝x2 4 ﹣x+3． （2）设点M 的坐标为（m，m2 4 ﹣m+3），设直线B 的解析式为y＝kx+3， 把点B（3，0）代入y＝kx+3 中， 得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+3． ∵M∥y 轴， ∴点的坐标为（m，﹣m+3）． ∵抛物线的解析式为y＝x2 4 ﹣x+3＝（x 2 ﹣）2 1 ﹣， ∴抛物线的对称轴为x＝2， ∴点（1，0）在抛物线的图象上， 1 ∴＜m＜3． ∵线段M＝﹣m+3﹣（m2 4 ﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣ + ， ∴当m＝ 时，线段M 取最大值，最大值为 ． （3）假设存在．设点P 的坐标为（2，）． 当m＝ 时，点的坐标为（ ， ）， ∴PB ＝ ＝ ，P ＝ ，B ＝ ＝ ． △PB 为等腰三角形分三种情况： ①当PB＝P 时，即 ＝ ， 解得：＝ ， 此时点P 的坐标为（2， ）； ②当PB＝B 时，即 ＝ ， 解得：＝± ， 此时点P 的坐标为（2，﹣ ）或（2， ）； ③当P＝B 时，即 ＝ ， 解得：＝ ， 此时点P 的坐标为（2， ）或（2， ）． 综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P，使△PB 是等腰三角形，点P 的坐标为（2， ）、（2，﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）． 3．已知，如图，抛物线与x 轴交点坐标为（1，0），（﹣3，0）， （1）如图1，已知顶点坐标D 为（﹣1，4）或B 点（0，3），选择适当方法求抛物线 的解析式； （2）如图2，在抛物线的对称轴D 上求作一点M，使△BM 的周长最小，并求出点M 的 坐标； （3）如图3，将图2 中的对称轴向左移动，交x 轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1）， 与抛物线，线段B 的交点分别为点E、F，用含m 的代数式表示线段EF 的长度，并求出 当m 为何值时，线段EF 最长． 解：（1）由抛物线的顶点D 的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝（x+1）2+4， 将点（﹣3，0）代入，得：4+4＝0， 解得＝﹣1， 则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2 2 ﹣x+3； （2）连接B，交D 于点M，此时△BM 的周长最小， 当y＝0 时，﹣（x+1）2+4＝0， 解得x＝﹣3 或x＝1， 则（1，0），（﹣3，0）， 当x＝0 时，y＝3，则B（0，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 将B（0，3），（﹣3，0）代入得 ， 解得： ， ∴直线B 解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1 时，y＝﹣1+3＝2， 所以点M 坐标为（﹣1，2）； （3）由题意知E（m，﹣m2 2 ﹣m+3），F（m，m+3）， 则EF＝EP﹣FP＝﹣m2 2 ﹣m+3﹣（m+3）＝﹣m2 3 ﹣m＝﹣（m+ ）2+ ， ∴当m＝﹣ 时，线段EF 最长． 4．在平面直角坐标系中，直线y＝mx 2 ﹣m 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，顶点为D 的抛 物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2 与y 轴交于点． （1）如图，当m＝2 时，点P 是抛物线D 段上的一个动点． ①求，B，，D 四点的坐标； ②当△PB 面积最大时，求点P 的坐标； （2）在y 轴上有一点M（0， m），当点在线段MB 上时， ①求m 的取值范围； ②求线段B 长度的最大值． 解：（1）∵直线y＝mx 2 ﹣m 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点， ∴（2，0），B（0，﹣2m）； ∵y＝﹣（x﹣m）2+2， ∴抛物线的顶点为D（m，2）， 令x＝0，则y＝﹣m2+2， ∴（0，﹣m2+2）． ①当m＝2 时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2， ∴B（0，﹣4），（0，﹣2），D（2，2）． ②由上可知，直线B 的解析式为：y＝2x 4 ﹣，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x 2 ﹣． 如图，过点P 作PE∥y 轴交直线B 于点E， 设点P 的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2+4t 2 ﹣），E（t，2t 4 ﹣）． ∴PE＝﹣t2+4t 2 ﹣﹣（2t 4 ﹣）＝﹣t2+2t+2， ∴△PB 的面积为： ×（2 0 ﹣）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t 1 ﹣）2+3， 1 ∵﹣＜0， ∴当t＝1 时，△PB 的面积的最大值为3． 此时P（1，1）． （2）由（1）可知，B（0，﹣2m），（0，﹣m2+2）， ①∵y 轴上有一点M（0， m），点在线段MB 上， ∴需要分两种情况： 当 m≥﹣m2+2≥ 2 ﹣m 时，可得 ≤m≤1+ ， 当 m≤﹣m2+2≤ 2 ﹣m 时，可得﹣3≤m≤1﹣ ， ∴m 的取值范围为： ≤m≤1+ 或﹣3≤m≤1﹣ ． ②当 ≤m≤1+ 时， ∵B＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m 1 ﹣）2+3， ∴当m＝1 时，B 的最大值为3； 当 m≤﹣m2+2≤ 2 ﹣m 时，即﹣3≤m≤1﹣ ， ∴B＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2 2 ﹣m 2 ﹣＝（m 1 ﹣）2 3 ﹣， 当m＝﹣3 时，点M 与点重合，B 的最大值为13． ∴当m＝﹣3 时，B 的最大值为13． 5．如图1，抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于（﹣1，0），B 两点，与y 轴交于点，且＝B，连 接B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段B 交于点E，求线段DE 的长度； （3）如图3，垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段B 于点P 和点F，连接P，D， 抛物线上是否存在点P，使△DE∽△PF，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请 说 明 理 由 ． 解：（1）在抛物线y＝x2+bx+3 中，令x＝0，得y＝3， ∴（0，3）， ∴＝3， ∵＝B， ∴B＝3， ∴B（3，0）， ∵（﹣1，0）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∵B（3，0），（0，3）， ∴ ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+3， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3 的顶点D 坐标为（1，4）， ∴当x＝1 时，y＝﹣1+3＝2， ∴E（1，2）， ∴DE＝2； （3）∵PF∥DE， ∴∠ED＝∠FP， 当 ＝ 时，△PF∽△DE， 由D（1，4），（0，3），E（1，2）， 利用勾股定理，可得E＝ ＝ ， DE＝4 2 ﹣＝2， 设点P 坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F 坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，F＝ ＝ t， ∴ ＝ ， ∵t≠0， ∴t＝2， 当t＝2 时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3， ∴点P 坐标为（2，3）． 6．如图1，已知在平面直角坐标系xy 中，四边形B 是边长为3 的正方形，其中顶点，分别 在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+经过，两点，与x 轴交于另一个 点D． （1）①求点，B，的坐标； ②求b，的值． （2）若点P 是边B 上的一个动点，连结P，过点P 作PM⊥P，交y 轴于点M（如图2 所示）．当点P 在B 上运动时，点M 也随之运动．设BP＝m，M＝，试用含m 的代数 式表示，并求出的最大值． 解：（1）①四边形B 是边长为3 的正方形， ∴（3，0），B（3，3），（0，3）； ②把（3，0），（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+中得： ， 解得： ； （2）∵P⊥PM， ∴∠PM＝90°， ∴∠PB+∠PM＝90°， ∵∠B＝∠PB+∠BP＝90°， ∴∠BP＝∠PM， ∵∠B＝∠PM＝90°， ∴△MP∽△PB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 3 ∴＝m（3﹣m）， ∴＝﹣ m2+m＝﹣ （m﹣ ）2+ （0≤m≤3）， ∵﹣ ＜0， ∴当m＝ 时，的值最大，最大值是 ． 7．已知二次函数y＝x2﹣x 2 ﹣的图象和x 轴相交于点、B，与y 轴相交于点，过直线B 的下 方抛物线上一动点P 作PQ∥交线段