九下专题05 二次函数中的线段长度问题（学生版）

专题05 二次函数中的线段长度问题 类型一、单线段长度问题 例1．综合与探究 如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．点 是射线 上的动点，过点 作 ，并且交 轴于点 ． (1)请直接写出 ， ， 三点的坐标及直线 的函数表达式； (2)当 平分 时，求出点 的坐标； (3)当点 在线段 上运动时，直线 与抛物线在第一象限内交于点 ，则线段 是否 存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，抛物线 与x 轴交于点 、 ，与y 轴交于 点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M 是抛物线对称轴上的动点，求 的最小值； (3)若点P 是直线下方抛物线上的动点，过点P 作 于点Q，线段PQ 是否存在最大 值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，二次函数 的图象交x 轴于、B 两点，交y 轴于点 D，点B 的坐标为 ，顶点的坐标为 ． (1)求二次函数的解析式和直线 的解析式； (2)点P 是直线 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一 象限时，求线段 长度的最大值． 类型二、双线段长度问题 例1．已知抛物线 (，b，为常数， )的顶点 ，抛物线与x 交于点 和B，与y 轴交于点．平面直角坐标系内有点 和点 ． (1)求抛物线的解析式及点B 坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使 的值最小，求点E 的坐标； (3)若F 为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点作y 轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点 都满足P 到直线l 的距离与它到 定点F 的距离相等，求点F 的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使 最小，若存在，求出点P 的坐标 及 的最小值；若不存在，请说明理由． 例2 如图，平面直角坐标系中，二次函数 图像交x 轴于点、B，交y 轴于 点，图像对称轴交x 轴于点D．点P 是线段D 上一动点，从向D 运动，是射线B 上一点． (1)则点的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段B 的长为 ； (2)如图1，在P 点运动过程中，若△P 中有一个内角等于∠，求P 的长； (3)如图2，点 在二次函数图像上，在P 点开始运动的同时，点Q 在抛物线对称轴 上从D 点向上运动，Q 点运动速度是P 点运动速度的2 倍，连接QM，则 的最小 值为 ． 【变式训练1】已知抛物线 (b，为常数)的图象与x 轴交于 ，B 两点 (点在点B 左侧)．与y 轴相交于点，顶点为D． (1)当b=2 时，求抛物线的顶点坐标； (2)若点P 是y 轴上一点，连接BP，当PB=P，P=2 时，求b 的值； (3)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为 ，对称轴交x 轴于点E，点Q 是线段DE 上 一点，点为线段B 上一点，且=2B，连接Q，求 的最小值． 【变式训练2】已知如图，二次函数 的图象交x 轴于，两点，交y 轴于点 ，此抛物线的对称轴交x 轴于点D，点P 为y 轴上的一个动点，连接 ． (1)求的值；(2)求 的最小值． 【变式训练3】如图，已知抛物线 与x 轴相交于 ， 两点，与y 轴相交于点 ，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P 是直线B 下方抛物线上任意一点，过点P 作 轴于点，与B 交于点M． ①求线段PM 长度的最大值． ②在①的条件下，若F 为y 轴上一动点，求 的最小值． 【变式训练4】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)过点 作 ，垂足为 ，求证：四边形 为正方形； (3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最 小值；若不存在，请说明理由． 类型三、周长问题 例1．如图，已知抛物线y＝x2+4x+经过(2，0)、B(0，﹣6)两点，其对称轴与x 轴交于点． (1)求该抛物线和直线B 的解析式； (2)设抛物线与直线B 相交于点D，求△BD 的面积； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QB 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐 标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，抛物线y=x2+bx+(≠0)，经过点(-1，0)，B(3，0)，(0，3)三点． (1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)连接、B，为抛物线上的点且在第四象限，当S△B=S△B 时，求点的坐标； (3)在(2)问的条件下，过点作直线l∥x 轴，动点P(m，3)在直线l 上，动点Q(m，0)在x 轴上， 连接PM、PQ、Q，当m 为何值时，PM+PQ+Q 最小，并求出PM+PQ+Q 的最小值． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线 与x 轴交于点 、 两点，与y 轴交于点，连接B，直线 交y 轴于点MP 为直线B 上方抛 物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线B、BM 于点E、F． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P 落在抛物线的对称轴上时，求△PB 的面积； (3)①若点为y 轴上一动点，当四边形BEF 为矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足 ，当△QB 的周长最小时，求点Q 的 坐标．