2025年六升七数学衔接期三角形三边关系与不等式结合试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期三角形三边关系与不等式结合试卷及答案 一、单项选择题(共10 题，每题2 分) 1. 以下各组线段中，能围成一个三角形的是： A. 3cm, 4cm, 7cm B. 2cm, 5cm, 6cm C. 1cm, 1cm, 3cm D. 4cm, 4cm, 9cm 2. 若三角形两边长分别为5 和9，则第三边长度x 的取值范围是： A. 4 < x < 14 B. 5 ≤ x ≤ 9 C. 4 < x < 9 D. x > 4 3. 一个等腰三角形的两条边长为7cm 和3cm，其周长可能是： A. 13cm B. 17cm C. 20cm D. 10cm 4. “ ” 根据两点之间线段最短，可推导出三角形三边关系的核心是： A. 内角和为180° B. 两边之和大于第三边 C. 两边之差小于第三边 D. 直角三角形的勾股定理 5. 若三角形的三边长为a, b, c 且满足a² + b² < c²，则这个三角形 是： A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 用长16cm 的铁丝围成一个三角形（无剩余），各边长均为整数且 互不相等，则最短边至少为： A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 7. 若三角形两条边长分别为10 和15，第三边长度为偶数，则它的最 大值是： A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 8. 若三角形的三边长为x, 8, 10，且这个三角形是锐角三角形，则x 的取值范围是： A. 6 < x < 18 B. 6 < x < 12 C. 2 < x < 6 且12 < x < 18 D. \(\sqrt{36} < x < \sqrt{164}\) 9. 一个三角形两边的长分别为3k 和8k ，若第三边满足\(x 5k\)，则 k 的取值范围是： A. k > 0 B. k ≥ 0 C. k ≠ 0 D. 无法确定 10. 李师傅要用一段长30 米的篱笆围一个三角形菜地（全部用完）。 他计划让一边长10 米，另两边之差为2 米，则第三边长为： A. 12 米 B. 14 米 C. 10 米 D. 8 米 二、多项选择题(共10 题，每题2 分) 11. 下列三组数中，均可能构成一个三角形三边长的是： A. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\) 和\(0.3, 0.4, 0.6\) B. \(\sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}\) 和\(1, 2, 3\) C. \(6a, 8a, 10a\) 且\(a>0\) 和\(m, m+1, m+2\) 且\(m>1\) D. \(x^2, 4x^2, 5x^2\) (\(x>0\)) 和\(y, 2y, 4y\) (\(y>0\)) 12. 关于三角形的周长P 与三边关系，错误的有： A. P 总是大于任意一边的2 倍 B. P 大于最短边的3 倍 C. P 小于最长边的3 倍 D. 若两边固定，则P 随第三边增大而增大 13. 一个三角形的三条边长均为正整数，且满足以下哪些条件时，该 三角形一定是钝角三角形： A. 最长边c 满足\(c > \sqrt{a^2 + b^2}\) B. \(a = b\) 且最大角大于90° C. 满足\(a^2 + b^2 < c^2\) D. 三边之比为\(5 : 12 : 13\) 14. 若三角形三边满足\(ab + bc = b^2 + ac\)，则该三角形可能 是： A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 15. 三条线段长度分别为\(\sqrt{x}\), \(\sqrt{y}\), \(\sqrt{z}\) （x, y, z > 0）。若它们能构成三角形，则下列关系必然成立的有： A. \(x < y + z\) B. \(x < (\sqrt{y} + \sqrt{z})^2\) C. \(\sqrt{x} < \sqrt{y} + \sqrt{z}\) D. \(x < (y + z) + 2\sqrt{yz}\) 16. 三边长均为整数的三角形（不等边）中，周长L 的可能取值特 点： A. L 的最小值为6 B. L 一定不小于最短边的3 倍 C. L 不可能是任意质数 D. 若L=15，则最长边可能为6 或7 17. 若三角形两边之和为10，两边之差为2，则该三角形： A. 三边长为4, 6, 10 B. 第三边范围是(4, 10) C. 周长范围是(8, 20) D. 是锐角三角形 18. △ 已知ABC 的三边长分别为\(a=5\), \(b=12\), \(c=k\)（k 为整 数），若其面积也为整数，则k 可能的取值有： A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 19. 点P △ 为ABC 内部一点，连接PA, PB, PC 至各边。下列PA, PB, PC 的关系中，必然成立的是： A. PA + PB > AB B. PA + PB < CA + CB C. PA + PB + PC < AB + BC + CA D. \(\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < PA + PB + PC < AB + BC + CA\) 20. 关于三角形三边关系定理，正确的理解是： A. "两边和大于第三边"是构成三角形的充要条件 B. 在不等式\(a + b > c\) 中，只需对最长边成立即可 C. "两边差小于第三边" 是指\(|a-b| < c\) D. 可推广为：任意一边大于另两边之差且小于另两边之和 三、判断题(共10 题，每题2 分) 21. 长度为8cm, 15cm, 17cm 的三边可构成锐角三角形。（T / F ） 22. 满足\(a + b > c\) 的任意正实数a, b, c 都能构成三角形。（ T / F ） 23. 若一个三角形的三边长分别为\(x, 2x-1, 3\)（x > 1），则其周 长大于6 。（T / F ） 24. 钝角三角形中，有且仅有一条边上的高在三角形外部。（T / F ） 25. 周长相等时，等边三角形的面积最大。（T / F ） 26. 三边长分别是\(n, n+1, n+2\)（n≥1）的三角形一定是锐角三 角形。（T / F ） 27. 三角形中，最短边所对的角一定最小。（T / F ） 28. 若两个三角形的两边长对应相等但夹角不同，则第三边长度也不 同。（T / F ） 29. 三边长分别为\(m^2-1, 2m, m^2+1\)（m>1）的三角形是直 角三角形。（T / F ） 30. △ 在ABC 中，若满足\(AC - AB < BC < AC + AB\)，则B, C 两点位置关系唯一。（T / F ） 四、简答题(共4 题，每题5 分) 31. 已知一个三角形的两条边长分别为7cm 和10cm： (1) 若第三边长为整数，求所有可能的取值。 (2) 若该三角形为钝角三角形，求第三边长的范围。 32. 等腰三角形ABC 的周长为30cm，AB=AC，且其腰长是底边长 的2 倍少3cm。 (1) △ 求ABC 的各边长。 (2) 通过计算判断该三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 33. 用一条长50cm 的细绳围成一个三角形： (1) 若其中一边长为18cm，另两边长度相差2cm，求另两边长。 (2) 若要求三边长均为整数厘米，且最长边小于25cm，写出所有满 足条件的三角形边长组合。 34. △ 在ABC 中，点D 在BC 上，BD = 3cm, DC = 5cm。已知 AD = 4cm。 (1) 求AB + AC 的最小值并说明理由。 (2) △ 当ABC 周长最小时，求此时AB 的长度。 答案 一、单项选择题答案 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. D 9. A 10. B 二、多项选择题答案 11. AC 12. BD 13. ABC 14. AB 15. BCD 16. ACD 17. CD 18. ABD 19. ACD 20. BCD 三、判断题答案 21. F (直角) 22. F (需同时满足3 个不等式) 23. T 24. F (两条) 25. T 26. F (n=2 时直角，n=1 时钝角) 27. T 28. T 29. T 30. F (可 能在线段外) 四、简答题答案 31. (1) 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 (共13 个) (2) 若10 为最长边：\( \sqrt{7^2+10^2} < c < 7+10 \) ⇒ \( \sqrt{149} < c < 17 \) ⇒ c 取12,13,14,15,16 若c 为最长边：\( c > \sqrt{7^2+10^2} = \sqrt{149} ≈12.2 \) 且\( c<17 \) ⇒ c 取13,14,15,16 综上：c∈{12,13,14,15,16} 32. (1) 设底边长x cm，腰长(2x-3)cm 周长：2(2x-3) + x = 30 ⇒ 5x = 36 ⇒ x=7.2cm 腰长：2×7.2 - 3 = 11.4cm 三边：AB=AC=11.4cm, BC=7.2cm (2) 最大边11.4cm → \(7.2^2 + 11.4^2 ? 11.4^2\) \(51.84 + 129.96 = 181.8 < 129.96\)？计算错误 ² 正确：腰= 11.4² ≈129.96, ² 底=7.2²=51.84 \(7.2^2 + 7.2^2 = 2×51.84=103.68 < 129.96\) \( \text{ ∴ 底}^2 + \text{底}^2 < \text{腰}^2 \) ⇒ 钝角 三角形 33. (1) 设另两边a,b (a≥b), a+b=32cm, a-b=2cm → a=17cm, b=15cm (2) 设边长a≤b≤c, a+b+c=50, a+b>c, a≤b≤c<25, c≥17 c≥17 且c<25 → c=17,18,19,20,21,22,23,24 逐对验证： c=24：a+b=26, a≥b, a+b>c → (11,15,24),(12,14,24), (13,13,24) c=23：a+b=27 → (10,17,23),(11,16,23),(12,15,23), (13,14,23) c=22：a+b=28 → (6,22,22),(7,21,22),...,(14,14,22) (需满足a+b>22 且b≤22 → b≥11.5? 最小整数 a+b=28>22, 只要b≤22) 实际上a≤b≤c=22，a+b=28 ，所以b 至少为14，所以 b≥14 c=21：a+b=29 → b≥14.5? 即b≥15, a≤b≤21 → (8,21,21? b=21=c 合法),(9,20,21)...(14,15,21) 同理列出所有： 合法组合：(11,15,24), (12,14,24), (13,13,24), (10,17,23), (11,16,23), (12,15,23), (13,14,23), (6,22,22), (7,21,22), (8,20,22), (9,19,22), (10,18,22), (11,17,22), (12,16,22), (13,15,22), (14,14,22), (8,21,21), (9,20,21), (10,19,21), (11,18,21), (12,17,21), (13,16,21), (14,15,21), ...(15,16,19), (16,16,18) 等（完整解略） 34. (1) AB + AC ≥ AD + AD = 8cm (当A,D 共线时取等) ∴最小值为8cm (2) 当周长最小时，点A 在线段DC 延长线上（AD=4cm, BD=3, DC=5） 最小周长时A 位于使AB+AC 最小的位置，即AD 直线上 当A 在线段BD 延长线时：设AB=x, AC=y 由题意：x + y ≥ 2AD = 8（取等时A 在BD 延长线） △ 此时ABD △ 与ACD 退化成直线 周长= AB + AC + BC = (AB+AC) + 8 ≥ 8 + 8 = 16cm 此时AB = AD - BD = 4-3=1cm（但此时C 不在直线上）需 仔细画图 正确：若A 在BD 延长线： 则BA = BD + DA = 3 + 4 = 7cm (即AB=7cm) 而AC = AD + DC = 4 + 5 = 9cm 周长=7 + (3+5) + 9 = ...错误 重新思考：点D 固定分BC 为BD=3, DC=5. 周长= AB + BC + CA = AB + 8 + AC AB + AC 的最小值在A, D, C 共线时取得（即A 在DC 延长线 上） 此时：AC = AD + DC = 4+5=9cm AB ≥ |BD - AD| = |3-4|=1cm （三角形不等式在B,D,A 中） 此时AB 的最小值=1cm (当A 位于BD 延长线上时) 此时周长=1 + 8 + 9 = 18cm 此时AB=1cm