专题38 重要的几何模型之中点模型（一）（原卷版）

专题38 重要的几何模型之中点模型（一） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四 边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中 点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着 十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 如图，在三角形B 中，DE⊥B，且D 为B 中点，则BE=E。 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形 中，连接对角线 ，作 边的垂直平分线 ，分别交 、 、 于点 、 、 ，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知 ，以，B 两点为圆 心 的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，，则 的周长为（ ） ．8 B． ． D． 例3．（2023·山东济南·统考二模）如图，在 中， ， ，分别以 、 为圆 心，大于 的长为半径画弧，两弧交于 、 两点，作直线 交 于 点，若 ，则 的面积为（ ） ．2 B． ． D．4 例4．（2023 上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 平分 ，点 分别是 ， 边上的动点，则 的最小值是 ． 例5．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图， 中， ，点D 在 边上，连接 ，点 E 是 的中点， 交 于点F， ，若 ， ，则 的长为 ． 例6．（2023 上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， 为钝角，边 的垂直 平分线分别交 于点D，E．(1)若 ，求 的大小；(2)若 的平分线 和边 的垂直平分线 相交于点F，过点F 作 垂直于 的延长线于点G，求证： ． 模型2：等腰三角形的“三线合一” 定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。 如图，等腰三角形B 中，B=，D 为B 边上的中点，则∠BD =∠D，D⊥B， BD=D。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在 中，分别以点，为圆心，以大于 的长为半径作 弧，两弧相交于点M，，作直线 交 于点D，交 于点E，连接 ．则下列结论不一定正确的是 ( ) ． B． ． D． 例2．（2023·山东济宁·统考二模）如图， 中， ， 平分 ，点E 是 的中点．若 ， ，则 的长是（ ） ． B． ． D．7 例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若 ，则 ． 例4．（2023 上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰 中， ，延长 至点 ，使得． ，过点 作 ，垂足为 ，延长 至点 ，连接 ，若 ，则 ． 例5．（2023 上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 为 的 中点， 于点 ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 例6．（2023·黑龙江·统考三模）如图，在四边形 中， ， ，作 于点E， ，连接 ， ，则 的长为（ ） ．10 B．8 ．6 D．4 模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点 处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交， 即“延长中线交平行” 如图，B//D，点E 是B 的中点，可延长DE 交B 于点F。 模型运用条件：构造8 字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023 上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边 ，过 边上一点P 作 于点 E，点Q 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于M，已知 的长为2，则等边三角形 的边长为 ． 例2．（2023·山东济南·校联考一模）如图，在菱形BD 中，E、F 分别是B、B 边的中点，EP D ⊥ 于点P， ∠BD=110°，则∠FP 的度数是（ ） ．35° B．45° ．50° D．55° 例3．（2023·天津·中考真题）如图， 的顶点在等边 的边 上，点E 在 的延长线上，G 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为 ． 例4．（2023 下·重庆黔江·八年级统考期末）矩形 与矩形 ，如图放置，点 ， ， 共线，点 ， ， 共线，连接 ，取 的中点 ，连接 ．若 ， ，则 ( ) ． B． ． D． 例5．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在平行四边形 D 中，D＝2D，BE 垂直D 于点E，F 为D 的中点，连接EF，BF，下列结论（1） ；（2） ；（3） 四边形DEB 三角形EFB；（4） ， 其中正确结论的个数共有（ ） ．个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例6．（2023·吉林长春·统考三模）【感知】如图①，正方形 中，点 在 边上， 平分 ．若我们分别延长 与 ，交于点 ，则易证 ．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形 中，点 在 边的中点，点 在 边上， 平分 ．求证： ．【应用】在【探究】的条件下，若 ， ，直接写出 的长． 课后专项训练 1．（2023 上·河北张家口·八年级统考期中）如图，在 中， ，依据尺规作图痕迹，下列判断 正确的是( ) 结论Ⅰ： ； 结论Ⅱ： ． ．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 ．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 2．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图， 是半圆的直径，为半圆上一点， ，过作 交 于点E，则 的长为（ ） ． B． ． D． 3．（2022·安徽·合肥校考模拟预测）如图，矩形 的对角线交于点 ， 经过点 且 ， 分别与 ， 交于点 ， ，若 ， ，则 等于（ ） ． B．2 ． D．3 4．（2023·重庆九龙坡·校考三模）如图，正方形 的边长为12，点E 为 边上一点， ，点F 为 边上一动点，连接 交于点G，连接 ，当 时，则 的长为（ ） ． B． ． D．5 5．（2023·陕西西安·校考三模）如图，在等腰 中， ， ，点 为 的中点， 于点E，则 的值为（ ） ． B． ． D． 6．（2023·广西贵港·统考一模）如图，在平行四边形BD 中，D＝2B，F 是B 的中点，作E⊥D 于点E，连 接EF、F，下列结论：①2∠BF＝∠BD；②EF＝F；③S△BF＝S△EF；④∠BFE＝3∠EF．其中一定成立的 个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知 于点B， 于点，点E 是 的中点， ，若 ， ，则 的长是 ． 8．（2023·山东临沂·统考一模）如图， 的顶点 在等边 的边 上，点 在 的延长线 上， 为 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ． 9．（2023 上·山西大同·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 边的垂直平分线 与 的平 分线 交于点 ． 交 的延长线于点 ， 交 于点 ． ， ．则 的长是 ． 10．（2023·山东临沂·统考二模）在 中， ， ，将 沿 翻折到 ， 的垂直平分线与 相交于点E．若 ，则 的长为 ． 11．（2023·山东泰安·统考二模）在 中， ，D 为 中点， ， ， ，则 12．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图， 是等边三角形， ， 是 边上的高，点 是 射线 上的动点，连接 ，交直线 于点 ，当 是等腰三角形时， 的长为 ． 13．（2023 上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在矩形BD 中，E，F 分别为边D，D 的中点，F 与 E、EB 分别交于点M，．已知B＝8，B＝12，则M 的长为 ． 14．（2023 上·浙江绍兴·八年级校考期中）两个同样大小的含 角的三角尺，按如图所示的方式放置，其 中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 ，且另三个锐角顶点 ， ， 在同一直线上， 为 中点，已知 ．(1)求 的长．(2)求 的长． 15．（2023 上·浙江丽水·九年级统考期中）已知：如图，在 中， ，以边 为直径作半圆 ，分别交 于点 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数． 16．（2023·江苏无锡·校考二模）如图， 中， ，点 、 分别在 、 边上， ． (1)求证： ；(2)若 ， ，当 时，求 的长． 17．（2023 上·四川成都·九年级校考期中） 中， ， 垂直平分 ，交线段 于点E （点E 与点不重合），点F 为直线 上一点，点G 为边 上一点（点G 与点不重合），且 ．(1)如图1，当 时，求证：线段 ； (2)如图2，当 时，猜想线段 和 的数量关系，并说明理由； (3)若 ， ， ，求线段 的长． 18．（2022 上·辽宁沈阳·八年级校考期末）【问题】：如图1，等腰直角三角形 中， ， ， 是 的角平分线，点E 为 上一点， 交 延长线于点F，连接 ，探 究 ， ， 之间的数量关系． 【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出 ，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模 型，便尝试着过点E 作 的垂线与 相交于点G（如图2），通过证明 ，最终探究出 ， ， 之间的数量关系．（1）请根据小明的思路，补全 的证明过程； （2）请直接写出 ， ， 之间的数量关系； 【应用】（3）当 时，请直接写出 的长为 ； 【拓展】（4）若 的中点为点M，当B，E，M 三点共线时，请直接写出 的长为 ． 19．（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 中， ，垂足为B，且 ．求证： ． ①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在 上截取 ，连接 ，将线段 与 ， 之间的数量关系转化为 与 之间的数量关系． ②如图3，小亮同学从 这个条件出发给出另一种解题思路：作 的垂直平分线，分别与 ， 交于F，E 两点，连接 ，将 转化为 与 之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线 段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1 进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在 中， ，过点作 （点D 与点在 同侧），若 ．求 证： ． 【学以致用】（3）如图5，在四边形 中， ，求四边形 的面积． 20．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形 和正三角形 中， ， 是 的中 点，连接 、 ．(1)如图1，当点 在 边上时，写出 与 的数量关系 ．（不必证明） (2)如图2，当点 在 的延长线上时，线段 、 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； (3)如图3，当点 在 的延长线上时，线段 、 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证 明）．