专题38 重要的几何模型之中点模型（一）（解析版）

专题38 重要的几何模型之中点模型（一） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四 边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中 点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着 十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 如图，在三角形B 中，DE⊥B，且D 为B 中点，则BE=E。 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形 中，连接对角线 ，作 边的垂直平分线 ，分别交 、 、 于点 、 、 ，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】如图，连接 ，证明 ， ，设 ，证明 ， ， ，可得 ，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ，由菱形的对称性可得： ， 由作图可得： 是 的垂直平分线，∴ ， ，而 ， ∴ ， ，∴设 ， ∵菱形 ，∴ ， ， ， ∴ ，∴ ，解得： ，∴ ；故选B 【点睛】本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用方 程思想解题是关键． 例2．（2023 上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知 ，以，B 两点为圆 心 的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，，则 的周长为（ ） ．8 B． ． D． 【答】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可知， 垂直平分 ，则 ，根据 的周长为 ，计算求解 即可． 【详解】解：由作图可知， 垂直平分 ，∴ ， ∴ 的周长为 ．故选：． 例3．（2023·山东济南·统考二模）如图，在 中， ， ，分别以 、 为圆 心，大于 的长为半径画弧，两弧交于 、 两点，作直线 交 于 点，若 ，则 的面积为（ ） ．2 B． ． D．4 【答】B 【分析】连接 ，由作法得 垂直平分线 ，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得 ，由三角形外角的性质得到 ，根据含30 度直角三角形的性质和勾股定理 求出 ， ，根据三角形的面积公式即可求出 的面积． 【详解】解：连接 ，由作法得 垂直平分线 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 的面积 ．故选： ． 【点睛】本题考查了作图 复杂作图，线段垂直平分线的性质，含30 度直角三角形的性质和勾股定理等知 识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 例4．（2023 上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 平分 ，点 分别是 ， 边上的动点，则 的最小值是 ． 【答】 【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得 ，则欲求 的最小值即为 的最小值，即 的最小值，则当 时， 即 的值最小，最小值为 的长． 【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ， 是 、 的对称轴，即 是线段 的垂直平分线， ， 的最小值即为 的最小值，即 的最小值， 当 时， 即 的值最小，此时 与 重合， 与 重合，最小值为 的长， 在 中， ， ， ， ， 的最小值是．故答为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含 角 的直角三角形的性质，解题关键是找出点 、 的位置． 例5．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图， 中， ，点D 在 边上，连接 ，点 E 是 的中点， 交 于点F， ，若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】设 ， ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ，先证明 ，得 ，设 ， ，再在 中，根据勾股定理即 可． 【详解】解： 点E 是 的中点， ， 中， ， 交 于点F， ， 设 ， ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ， 点E 是 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， 中， ， 勾股定理得： ， ，解得： ，故 的长为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是本题 的关键． 例6．（2023 上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， 为钝角，边 的垂直 平分线分别交 于点D，E． (1)若 ，求 的大小；(2)若 的平分线 和边 的垂直平分线 相交于点 F，过点F 作 垂直于 的延长线于点G，求证： ． 【答】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）如图1，连接 ，由垂直平分线的性质可知 ，由 ，可得 ，则 为直角三角形，且 ，由三角形内角和，三角形外角的性质 可求 ，根据 ，计算求解即可； （2）如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ， ，作 于 ，则 ， ，证明 ，由等腰三角形的判定与性质可得 ，证明 ，则 ， ，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，连接 ， ∵ 为边 的垂直平分线， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ 为直角三角形，且 ，∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，∴ ； （2）证明：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ， ，作 于 ， ∵ 是 的平分线， ， ，∴ ， ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∵ 是 的垂直平分线，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角 平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握垂直平分线的性质，勾股 定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等 腰三角形的判定与性质是解题的关键． 模型2：等腰三角形的“三线合一” 定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。 如图，等腰三角形B 中，B=，D 为B 边上的中点，则∠BD =∠D，D⊥B， BD=D。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在 中，分别以点，为圆心，以大于 的长为半径作 弧，两弧相交于点M，，作直线 交 于点D，交 于点E，连接 ．则下列结论不一定正确的是 ( ) ． B． ． D． 【答】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】由作图可知， 垂直平分线段 ，∴ ， ， ， ∴ ，（等腰三角形“三线合一”）故选项B，，D 正确，故选：． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形“三线合一”性质，正确掌握线段垂直平分线 的性质是解题关键． 例2．（2023·山东济宁·统考二模）如图， 中， ， 平分 ，点E 是 的中点．若 ， ，则 的长是（ ） ． B． ． D．7 【答】 【分析】先由三线合一定理得到 ，再由勾股定理求出 ，最后证明 是 的中位线，即可得到 ． 【详解】解：∵ ， 平分 ， ∴ ，∴点D 为 的中点， 在 ，由勾股定理得 ， ∵点E 是 的中点，∴ 是 的中位线，∴ ，故选． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解 题的关键． 例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若 ，则 ． 【答】5 【分析】过 作 ，交 于点 ，先说明 ，再根据含30 度直角三角形的性质可得 的长；由 ，利用等腰三角形三线合一可得 为 中点，再根据 求出 的长，最后根 据 即可解答． 【详解】解：如图：过 作 交 于点 ， 在 中， ∴ ，∵ ， ， ， ， ， ， ．故答为：5． 【点睛】本题主要考查的是含30 度直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键． 例4．（2023 上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰 中， ，延长 至点 ，使得． ，过点 作 ，垂足为 ，延长 至点 ，连接 ，若 ，则 ． 【答】24 【分析】过点作 于点G，过点B 作 于点，设 ，根据三角形内角和定 理求出 的度数， 的度数，于是求出 的度数，根据 即可求出 的度 数，根据周角的定义求出 ，于是可求出 的度数，从而得出 是等腰三角形，再证 和 全等得出 ，根据 的面积求出 的长，于是得出 的长，再根据等腰 三角形三线合一即可求出 的长． 【详解】解：如图，过点作 于点G，过点B 作 于点， ∵ ，∴ ，设 ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ ∵ ，∴ ∴ ， 在 中， ， ∴ ，∴ ，即 是等腰三角形， 由等腰三角形三线合一的性质得 ∵ ， ， ，∴ ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ∴ ，∴ ， ∵ 是等腰三角形， ，∴ ，故答为：24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面 积公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 例5．（2023 上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 为 的 中点， 于点 ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性 质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．连接 ，由 中， ， ， 为 中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得 ，再利用勾 股定理，求得 的长，那么在直角 中根据三角函数的定义求出 ，然后根据同角的余角 相等得出 ，于是 ． 【详解】解：连接 ， 中， ， ， 为 中点， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ．故选：． 例6．（2023·黑龙江·统考三模）如图，在四边形 中， ， ，作 于点E， ，连接 ， ，则 的长为（ ） ．10 B．8 ．6 D．4 【答】 【分析】过点F 作 交 与点F，根据等腰三角形的性质得出 ，根据同角的余角相等易 证 ，根据全等三角形的性质得出 ，设 ，则 ，从而得 出 ，再将 建立方程，求解即可得出答． 【详解】解：过点F 作 交 与点F， ， ， ， 在 和 中 ， 设 ，则 ， ； ； 经检验 符合题意，即 ，故选． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、无理方程，熟练掌握性质 定理是解题的关键． 模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点 处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交， 即“延长中线交平行” 如图，B//D，点E 是B 的中点，可延长DE 交B 于点F。 模型运用条件：构造8 字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023 上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边 ，过 边上一点P 作 于点 E，点Q 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于M，已知 的长为2，则等边三角形 的边长为 ． 【答】4 【详解】过P 作 交 于F，如图所示： ∵ ， 是等边三角形，∴ ， ， ∴ 是等边三角形，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ，故答为：4． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行 线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 例2．（2023·山东济南·校联考一模）如图，在菱形BD 中，E、F 分别是B、B 边的中点，EP D ⊥ 于点P， ∠BD=110°，则∠FP 的度数是（ ） ．35° B．45° ．50° D．55° 【答】D 【分析】延长PF、EB 交于点G；连接EF，根据菱形的性质易证△BGF PF ≌△ ，根据全等三角形的性质可得 PF=GF，即可得点F 为PG 的中点，又因∠GEP=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 FP=FG=FE，所以∠FP= FGB= GEF ∠ ∠ ；连接，即可得∠GEF= B= ∠ BD=55° ∠ ，所以∠FP 的度数是55°． 【详解】延长PF、EB 交于点G；连接EF， ∵四边形BD 是菱形，∴G D ∥，∴∠GBF= PF ∠ ， F ∵是B 中点，∴BF=F，在△BGF 和△PF 中， ， BGF PF ∴△ ≌△ ，∴PF=GF，∴点F 为PG 的中点， GEP=90° ∵∠ ，∴FP=FG=FE，∴∠FP= FGB= GEF ∠ ∠ ， 连接，则∠GEF= B= ∠ BD=55° ∠ ，∴∠FP 的度数是55°．故选D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键． 例3．（2023·天津·中考真题）如图， 的顶点在等边 的边 上，点E 在 的延长线上，G 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】延长D 交EF 于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△FM 是等边三角 形，BF=BE=EF=B+F=5，可求出F=M=MF=2，可得、G 是DM 和DE 的中点，根据中位线的性质，可得出G= ，代入数值即可得出答． 【详解】解：如下图所示，延长D 交EF 于点M， ， ， 平行四边形 的顶点在等边 的边 上， ， 是等边三角形， ． 在平行四边形 中， ， ， 又 是等边三角形， ， ． G 为 的中点， ， 是 的中点，且 是 的中位线， ．故答为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长D 交EF 于点M，利用 平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出 是 的中位线是解题的关键． 例4．（2023 下·重庆黔江·八年级统考期末）矩形 与矩形 ，如图放置，点 ， ， 共线，点 ， ， 共线，连接 ，取 的中点 ，连接 ．若 ， ，则 ( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长G 交D 于M 点，由矩形的性质得出D=E=FG=1，B=EF=G=3， ，推出DG=G- D=2，∠M=∠FG，由S 证得△M≌△FG，得出M=FG=1，M=G，则MD=D-M=2，在Rt△MDG 中，根据勾股 定理可得GM，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长G 交D 于点M， ∵四边形BD 与四边形EFG 都是矩形，∴D=E=FG=1，B=EF=G=2， ， ∴DG=G-D=2-1=1，∠M=∠FG，∵点为F 的中点，∴=F， 在△M 和△FG 中，∵ ，∴△M≌△FG（S），∴M=FG=1，M=G， ∴MD=D-M=2-1=1，在Rt△MDG 中， ，∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证 明三角形全等是解题的关键． 例5．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在平行四边形 D 中，D＝2D，BE 垂直D 于点E，F 为D 的中点，连接EF，BF，下列结论（1） ；（2） ；（3） 四边形DEB 三角形EFB；（4） ， 其中正确结论的个数共有（ ） ．个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】延长EF 交B 的延长线于G，取B 的中点连接F，根据四边形BD 是平行四边形，D＝2D，F 为D 的中点，可证明 ，则EF=FG，BE⊥BG，又由是B 的中点，得F=D= D=F=B，所以 四边形BF 是菱形，通过这些条件，即可解决问题． 【详解】如图，延长EF 交B 的延长线于G，取B 的中点，连接F，则=B， （1）∵D＝2D，DF=F，∴F=B∴ ∵四边形BD 是平行四边形∴ ∴ ∴ ∴ ，故（1）正确； （2）∵四边形BD 是平行四边形∴ ∴ ∵F 为D 的中点，∴DF=F 在 和 中， ∵ ，∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ，故（2）正确； （3） ，∴ ，故（3）正确； （4）∵ ， ， ∴ ∵ ∴四边形BF 是菱形∴ ∵ ， ， ∴ ∴ ∴ ，故（4）正确；其中正确结论的个数共有4 个，故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题 中的压轴题． 例6．（2023·吉林长春·统考三模）【感知】如图①，正方形 中，点 在 边上， 平分 ．若我们分别延长 与 ，交于点 ，则易证 ．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形 中，点 在 边的中点，点 在 边上， 平分 ．求证： ．【应用】在【探究】的条件下，若 ， ，直接写出 的长． 【答】【感知】见解析；【探究】见解析；【应用】 【分析】感知：如图①，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出结论； 探究：如题②，作辅助线，证明△ED GE ≌△ ，得到D=G=B，再由感知中得到F=FG，可得出结论； 应用：设F=x，则F=x+6，BF=6-x，由勾股定理列方程可得结论． 【详解】感知：证明：如图①∵四边形BD 是正方形，∴D B ∥，∴∠DE= G ∠， E ∵平分∠DF，∴∠DE= FG ∠ ，∴∠FG= G ∠，∴F=FG． 探究：解：如图，分别延长 与 ，交于点 ． ∵点E 是D 边的中点，∴DE=E 矩形 ， ， ， 又 ， (S)， ， ， 是 的平分线， ， ．即 ． 应用：解：如图②，设F=x，则F=x+6，BF=6-x， ∵点E 是D 的中点，DE=2，∴D=4，在Rt△BF 中，由勾股定理得：F2=B2+BF2， （6+x）2=42+（6-x）2解得： ，∴ ． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，掌握正方形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和 判定以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 课后专项训练 1．（2023 上·河北张家口·八年级统考期中）如图，在 中， ，依据尺规作图痕迹，下列判断 正确的是( ) 结论Ⅰ： ； 结论Ⅱ： ． ．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 ．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 【答】 【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知， 为 的角平分线， 为 的垂线，可得 ，可判断结论Ⅱ，再由 ， ，可得结论Ⅰ正确． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知， 为 的角平分线， 为 的垂线， ∴ ， 为直角