专题40 重要的几何模型之12345模型（解析版）

专题40 重要的几何模型之12345 模型 初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、 特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的 “12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下， “12345”模型的独特魅力。 【模型解读】 模型1、12345 模型及其衍生模型 【模型来源】2019 年北京市中考 如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝（ ）°（点，B，P 是格交点）． 该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。 如图，即：∠PB+∠PB=∠BPQ=45°。 上面的∠PB 和∠PB 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看： t∠PB= ，t∠PB= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。 【常见模型】下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。 ∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GF； ∠DF+45°＝∠E； ∠α+∠β＝135°； ∠α+∠β＝90°； ∠DB+∠DB＝∠B； ∠DB+∠DB＝∠B； 切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来 解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的， 但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。 例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D 是上一点，连接 BD．若 ， ，则D 的长为（ ） ． B．3 ． D．2 【答】 【分析】法1：先根据 ， ，再由12345 模型知：∠BD＝45°，从而可求出D． 法2：先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D 作 于点E，依据三角 函数值可得 从而得 ，再由 得E=2，DE=1，由勾股定理得D= ，从而可求出D． 【详解】解法1：∵ ， ，∴根据12345 模型知：∠BD＝45°， ∵ ，∴三角形BD 为等腰直角三角形，∵ ，∴D= 解法2（常规解法）：在 中， ， ，∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D 作 于点E，如图， ∵ ， ，∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ , 在 中, ∴ ∵ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关 键． 例2（2023 成都市中考模拟）如图，正方形 ， ，点E 为 上一动点，将三角形 沿 折 叠，点落在点F 处，连接 并延长，与边 交于点G，若点G 为 中点，则 ． 【答】 【详解】解法1：延长EF 至,易证△BF B(L), ≌△ 则∠EB=45°， 又因为F==D，所以∠FD=90°，则∠B=∠FB=∠FD= DG ∠ ， 因为 ，根据“12345”模型，易知故 α α α β α H 解法2（常规解法）：如图，过点 作 的平行线，分别交 于点 ， 四边形 是正方形， ， ， ，四边形 是矩形， ， 点 为 中点， ， ， ， ，即 ， 设 ，则 ， ， 由折叠的性质得： ， ， 又 ， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 ，解得 ， ， ， 又 ， ，解得 或 ， 经检验， 是所列方程的解， 不是所列方程的解， 例 3（2023 湖北黄冈中考真题）如图，矩形 中， ，以点B 为圆心，适当长为半径画 弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，过点作 的垂线分别交 于点M，，则 的长为（ ） ． B． ． D．4 【答】 【详解】解法1：因为 ，所以 ， 如图，根据“12345”模型，易知 ，故 。 α α α 解法2（常规解法）：如图，设 与 交于点，与 交于点R，作 于点Q， 矩形 中， ， ， ． 由作图过程可知， 平分 ， 四边形 是矩形， ， 又 ， ，在 和 中， ， ， ， ，设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ， 解得 ， ． ． ， ． ， ， ， ，即 ，解得 ． 例4（2023 四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴 上，且点 在点 右方，连接 ， ，若 ，则点 的坐标为 ． 【答】 【详解】解法1：因为点 ，点 ，所以 因为 ，根据“12345”模型，易知 ,故 解法2（常规解法）：∵点 ，点 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，过点 作 于点 ， ∵ ， 是 的角平分线，∴ ∵ ∴ 设 ，则 ， ， ∴ 解得： 或 （舍去），∴ 例5（2022 四川泸州中考真题）如图，在边长为3 的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，过点 作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，则 的长为（ ） ． B． ． D．1 【答】B 【详解】解法1：因为B=D=3, ，所以E=1,BE=2,所以 根据“12345”模型，易知 ， ，因为∠DEF=90°，所以 ， 所以 ，故 ，故 2 3 2 3 2 3 1 解法2（常规解法）：在D 上截取＝E，连接E． 则∠E＝∠E＝45°，∴∠DE＝135°．由题意，D＝B，∠EBF＝135°，∴D＝BE，∠DE＝∠EBF． ∵∠＝∠DEF＝90°，∴∠DE＝∠BEF＝90°－∠DE，∴△DE BEF ≌△ ，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°． BE ∵ ＝2E，D＝B＝3E，∴t DE ∠ ＝ ，∴t D ∠＝ ，B＝＝ B＝ ． ∵∠＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△DE BEM ≌△ ，∴BM＝ BE＝ ，∴M＝B－BM＝ ． 例6（2023 内蒙古中考真题）如图，在 中， ，将 绕点逆时针方 向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为 ． 【答】5 【详解】解法1：因为 ，根据“12345”模型，易知 ，故 。 45° α 解法2 （常规解法）：解：过点D 作 于点F ，∵ ， ， ，∴ F G M E B D ， ∵将 绕点逆时针方向旋转 得到 ， ∴ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ，即 ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ， 又∵ ，∴ ， ∴ ， ，∴ ，故答为：5． 例7（2023 呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ． 【答】 2 【详解】解法1：易知 ， ，接下来对△ME 分析，如图易知 ， 过M 作E 的垂线段，设EM=5x，则 ， ，则 2 5x 12x-2 4x 3x H E A M 解法2（常规解法）：如图，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的长，证明 ，相似比求出 的长，证明 ，求出 的长，证明 ，求出 的长，再利用勾股定理求出 的长． 【常规法】解：∵正方形 的边长为 ，点 是 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 故点 作 ，则： ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 课后专项训练 1（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形 中， 是 中点，连接 ， ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【简证】 1 2 4 5 ° 5 m 5 m 5 m 1 0 m 3 m m M 【常规法详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ 是 中点，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，设 ，则 ， ∴ ，∴ ；故选： 2（2018 湖北中考真题）如图，正方形BD 中，B=6，G 是B 的中点，将△BG 沿G 对折至△FG，延长GF 交 D 于点E，则DE 长是( ) ．1 B．15 ．2 D．25 【答】 【解析】根据BG 是B 的一半，可得t∠BG= ， 连接E，易证△EF≌△ED，∴∠GE＝45°，∴∠α+∠β＝45°， 根据12345 模型知：t∠DE= ，∴DE=2，故此题选 3（2021 宜宾中考真题）如图，在矩形纸片BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，将矩形纸片沿E，F 折叠， 点B 落在处，点D 落在G 处，点，，G 恰好在同一直线上，若B＝6，D＝4，BE＝2，则DF 的长是（ ）． ．2 B． 7 4 ． 3 2 2 D．3 【答】 【解析】由题意，∠BE＝∠E，∠DF＝∠GF．∵∠BD＝90°，∴∠BE＋∠DF＝45°． t BE ∵∠ ＝ ＝ ＝ ，∴t DF ∠ ＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ D＝2 4（2023 湖北 九年级期中）如图，已知正方形BD 的边长为4，E 是B 边延长线上一点，BE＝2，F 是B 边上 一点，将△EF 沿F 翻折，使点E 的对应点G 落在D 边上，连接EG 交折痕F 于点，则F 的长是（ ） G F E B D ． B． ．1 D． 【答】B 【简证】易知 ，故 ， 5 m 3 m 4 m 5 m 【常规法详解】解：∵四边形 是边长为 的正方形， ∴ ， ，∴ ， 由翻折得 ， ， 垂直平分 ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，且 ，∴ ，解得 ， ∵ ，∴ ，解得 5（2023 浙江中考模拟）如图，，B，，D 是边长为1 的小正方形组成的6×5 格中的格点，连接 交 于 点E，连接 ．给出4 个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中 正确的是（ ） ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．②③④ 【答】B 【简证】易知 ， ， ，故③错误，选B 【详解】解：连接 ， ， 为格点，如图， 由题意得： ， ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ①的结论正确； ， ， ． ， ， ． ②的结论正确； ， ， ，在 中， ， ， ③的结论不正确； ， ， ， ， ， ④的结论正确．综上，正确的结论有：①②④． 6（2023 山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片BD 的边B 斜着向D 边对折，使点B 落在D 上，记为点 B'，折痕为E，再将D 边斜向下对折，使点D 落在B'上，记为点D'，折痕为F，若B'D'＝2，BE＝ 1 3 BC ，则 矩形纸片BD 的面积为_________． 【答】15 【解析】由题意，B＝B'，D＝'D，∠BE＝∠B'E，∠DF＝∠D'F． BD ∵∠ ＝90°，∴∠EF＝∠B'E＋∠D'F＝45°． BE ∵ ＝ ，∴t BE ∠ ＝ ，∴t D'F ∠ ＝ ，t B'B ∠ ＝ ． D B ∵∥，∴∠FB'D'＝∠B'B，∴t FB'D' ∠ ＝ ， DF ∴ ＝D'F＝ BD’＝ ，∴D＝D'＝2D'F＝3， B ∴＝B'＝B'D'＋D'＝2＋3＝5，∴S 矩形BD ＝B·D＝5×3＝15． 7（2022 贵州中考真题）如图，折叠边长为4m 的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分 别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 m． B′ D′ F E B D 【答】 【简证】连接 易知△DF EDF ≌△ （L），记 ， ，则 故 , 【常规法】解：连接 如图， ∵四边形BD 是正方形，∴ ∵点M 为B 的中点，∴ 由折叠得， ∠ ∠ ∴ ， 设 则有 ∴ 又在 中， ， ∵ ∴ ∴ 在 中， ∴ 解得， （舍去）∴ ∴ ∴ ∠ ∵ ∠ ∴ ∠ ∴ 又∠ ∴△ ∴ 即 ∴ 8（2023 成都市九年级期中）如图，在正方形BD 中，点E 在B 上，点F 是D 的中点，∠EF＝45°，连接E 与 BF 交于点G，连接F 与DG 交于点，则 DH HG 的值为_________． 【答】 【解析】过点G 作GM F ⊥于点M，过点D 作D F ⊥于点． ∵四边形BD 是正方形，点F 是D 的中点，∴t DF ∠ ＝∠t BF ∠ ＝ ． FB ∵∠ ＝180°－∠FD－∠BF＝2( 90°－∠FD )＝2 DF ∠ ，∴ ＝t FB ∠ ＝t2 DF ∠ ＝ ． 设M＝GM＝4，则FM＝3，F＝7，＝2D＝4F， G F E B D G M F E B D F＝ F＝ ，D＝2F＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ． 9（2022 北部湾中考真题）如图，在正方形BD 中，B＝4 2 ，对角线，BD 相交于点．点E 是对角线上一 点，连接BE，过点E 作EF⊥BE，分别交D，BD 于点F，G，连接BF 交于点，将△EF 沿EF 翻折，点的对应 点′ 恰好落在BD 上，得到△EF′．若点F 为D 的中点，则△EG′ 的周长是_________． 【答】5＋ 5 【解析】过点E 作EP⊥，交B 的延长线于点P． ∵四边形BD 是正方形，∴∠EB＝∠EF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠EF，∴EP＝E． BEF ∵∠ ＝90°，∴∠PEB＝∠EF，∴△EPB EF ≌△ ，∴EB＝EF，∴∠EB＝∠EF＝45°． B ∵∠＝45°，∴∠EB＝∠FB．∵点F 为D 的中点，∴t EB ∠ ＝t FB ∠ ＝ ． B ∵＝ ，∴B＝4，∴E＝2．∵∠′EF＝∠EF＝90°－∠BE＝∠EB， t EF ∴∠ ＝t EB ∠ ＝ ，∴t ′E ∠ ＝ ， G ∴＝ E＝1，′＝ E＝ ，E′＝ E＝ ，∴EG＝ 5 ，G′＝ －1＝ ， EG′ ∴△ 的周长＝E'＋EG＋G'＝ ＋ ＋ ＝5＋ 10（2023 成都市九年级期中）如图，在矩形BD 中，B=2，B=4，点E、F 分别在B、D 上，若E=√5 ， B G F ′ E D P B G F ′ E D ∠EF=45°，则F 的长为 【答】 【解析】根据B=2，E=√5 ，∠B=90°得到：BE=2，可得t∠BE= ， ∵∠FE＝45°，∠BD＝90°，∴∠BE+∠DF＝45°， 根据12345 模型知：t∠DF= ，∴DF= ， 再根据勾股定理求得：F= ，故答为： 11（2019 盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点、B，将 直线B 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式是_______________． 【答】 【解析】∵一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点、B。 ∴（ ，0）B（0，-1），= ，B=1，可得tα= ， ∵∠α+∠β+∠B＝90°，∠B＝45°，∴∠α+∠β＝45°， 根据12345 模型知：tβ= ，∴=3，（3，0） ∵B（0，-1），（3，0），∴直线B 的函数表达式为： ，故答为： 。 12（2017 无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，、B、、D 都在 格点处，B 与D 相交于，则t∠BD 的值等于__________． 【答】3 【解析】如图所示，取点E，设∠E=α，易知∠E=45°，tα= ∵根据外角定理：∠BD=α+45°，根据12345 模型知：t∠BD=3，故答为：3。 13（2023 甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片B 放入平面直角坐标系中，使、分别落在x 轴、y 轴上， 连接B，将纸片B 沿B 折叠，使点落在点’位置，B= ，t∠B= ，则点’的坐标为____________． 【答】（- ， ） 【解析】设∠B=α，过点’作’⊥B ∵B= ，t∠B= ，∴=1，B=2 根据翻折知：∠B=∠B，∴t∠B=t∠B= ，’B=B=2 根据12345 模型知：t∠B’= ，即B：’：’B=3:4:5，故’= ，B= ，坐标（- ， ）． 14（2023 广东九年级期中）如图，折叠边长为4m 的正方形纸片BD，折痕是DM，点落在点E 处，分别延 长ME，DE 交B 于点F，G，若点M 是B 边的中点，则FG＝_________m． 【答】 【解析】连接DF．由题意，DE＝D＝D，∠DEF＝∠＝90°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DF，∴∠EDF＝∠DF． ∵∠DM＝∠EDM，∠D＝90°，∴∠FDM＝45°． ∵t∠DM＝ ＝ ，∴t∠DF＝ ＝ ，t∠DG＝t∠DG＝ ． ∵D＝B＝4m，∴EF＝F＝ m，∴FG＝ ＝ m． 15（2017 浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y=-x+m 分别交x 轴、y 轴于、B 两点， 已知点（2，0），点P 为线段B 的中点，连接P、P，若∠P=∠B，则m 的值是__________． 【答】2 【解析】∵一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点、B。 ∴（m，0）B（0，m），=m，B=m，∴∠B=45°， G E M F B D ∵∠P=∠B，∴∠P=45°，设∠P=α，∠P=β， ∵∠α+∠β+∠P＝90°，∠P＝45°，∴∠α+∠β＝45°， ∵点P 为线段B 的中点，∴P（0， ），P= ，可得tα= ， 根据12345 模型知：tβ= ，∴3=P，∵（2,0）∴P=6，∴=12，m=12． 16（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形BD 的边长为 6，E 为B 的中点，将△BE 沿直线E 折叠 后，点B 落在点F 处，F 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________． G F E B C A D 【答】 【解析】∵E 为B 的中点，B=6，∴BE=3，可得t∠BE= ，由翻折知：t∠FE= ， 根据12345 模型知：t∠GD= ，过点G 作G⊥D，∵BD 是正方形，∴D=G 设=4x，则G=D=3x，G=5x，D=7x，故B=F=7x，GF=2x。 ∵B=6，∴7x=6，x= ，G= ，故答为： 。 17（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF＝ 45°，BE＝2，则DF 的长为_________． 【答】2 【解析】∵∠BD＝90°，∠EF＝45°，∴∠BE＋∠DF＝45°． t ∵∠BE＝ ＝ ＝ ，∴t∠DF＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ ＝2． 18（2023 广东九年级期中）如图