专题39 重要的几何模型之中点模型（二）（原卷版）

专题39 重要的几何模型之中点模型（二） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四 边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中 点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着 十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若D 为 斜边上的中线，则： （1 ） ；（2 ） ， 为等腰三角形；（3 ） ， ． D C B A M M A B C D A B C D 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点，则（1） ；（2） ． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt 中， 为斜边 上的中线，若 ，则 ． 例2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 中， ，点D 是 的中点，过点D 作 ，垂足为点E，连接 ，若 ， ，则 ． 例3．（2023·河南新乡·统考三模）如图，点为菱形 的对角线 的交点，过点作 于点 E，连接 ，若 ，则菱形 的面积为 ． 例4．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形 中， ， ，连接 ． 是 的中点，连接 ．若 ，则 的面积为 ． 例5．（2023·江苏常州·中考真题）如图， 是 的弦，点是优弧 上的动点（不与、B 重合）， ，垂足为，点M 是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 例6．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，在 中， ， ，将 绕点顺时 针旋转 得到 ，点，B 的对应点分别是D，E，点F 是边 的中点，连接 ， ， ，则下列 说法不正确的是（ ） ． B． ． D．四边形 是平行四边形 模型2：中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图，在三角形B 的B，边的中点分别为D、E，则DE//B 且 ，△DE∽△B。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积 的四分之一。 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条 的一个端点连在一起，点 分别是 的中点．若 ，则该工件内槽宽 的长为 ． 例2．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， 的平分线 与边 相交于点 ， 是 中点，若 ， ，则 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 例3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形BD 的边长分别为，b，进行如下操作：第一次， 顺次连接矩形BD 各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到 四边形 ；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形 的面积是（ ） ． B． ． D． 例4．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．若 的长为10，则 的长为 ． 例5．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2 的正方形 中，E，F 分别是 上的动 点，M，分别是 的中点，则 的最大值为 ． 例6．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片 ，小宏做如下操作： （1）取 ， 的中点D，E，在边 上作 ；（2）连接 ，分别过点D，作 ， ，垂足为G，；（3）将四边形 剪下，绕点D 旋转 至四边形 的位置，将四边 形 剪下，绕点E 旋转 至四边形 的位置； （4）延长 ， 交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，，T 在一条直线上；② 四边形 是矩形；③ ；④四边形 与 的面积相等． 【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形 中， ，P，Q 分别是 ， 的中点，连接 ．求证： ． 【任务3】如图3，有一张四边形纸 ， ， ， ， ， ，小丽 分别取 ， 的中点P，Q，在边 上作 ，连接 ，她仿照小宏的操作，将四边形 分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求 的长． 模型3：中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉 及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 如图1，已知点M、、P、Q 是任意四边形BD 各边中点，则四边形MPQ 为平行四边形。 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 如图2，已知点M、、P、Q 是四边形BD 各边中点，⊥DB，则四边形MPQ 为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 如图3，已知点M、、P、Q 是四边形BD 各边中点，=DB，则四边形MPQ 为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 如图4，已知点M、、P、Q 是四边形BD 各边中点，=DB，⊥DB，则四边形MPQ 为正方形。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的 。 例1．（2023·广东阳江·统考二模）若顺次连接四边形 各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形 的两条对角线 ， 一定是（ ） ．互相平分 B．互相平分且相等 ．互相垂直 D．相等 例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形BD 中，E，F 分别是边D，B 的中点，G，分别是对角线 BD，的中点，若四边形EGF 为矩形，则四边形BD 需满足的条件是（ ） ．＝BD B．⊥BD ．B＝D D．B⊥D 例3．（2023·辽宁抚顺·中考模拟）如图， ， 是四边形 的对角线，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ， ，要使四边形 为正方形， 则需添加的条件是（ ） ． ， B． ， ． ， D． ， 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在任意四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 上的点，对于四边形 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如 下结论，其中错误的是（ ） ．当 ， ， ， 是各边中点，且 时，四边形 为菱形 B．当 ， ， ， 是各边中点，且 时，四边形 为矩形 ．当 ， ， ， 不是各边中点时，四边形 可以为平行四边形 D．当 ， ， ， 不是各边中点时，四边形 不可能为菱形 例5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形 中， ， ，顺次连接菱形 各边中点 、 、 、 ，则四边形 的周长为（ ） ． B． ． D． 例6．（2023 上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得 到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四 边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． ．平行四边形 B．矩形 ．菱形 D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形 是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形 的对角 线 ， 的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角 的两边 ， 为边长，分别向外侧作正方形 和正方 形 ，连接 ， ， ．求证：四边形 是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形 是“中方四边形”，M，分别是 ， 的中点． （4）试探索 与 的数量关系，并说明理由．（5）若 ，求 的最小值． 课后专项训练 1．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，在 中， ， 是 边上的中线，若 ， ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在 中，点D、E 分别是边 、 的中点，点F 在 边上运动（不与B、重合）， 交 于点G，则下列等式错误的是（ ） ． B． ． D． 3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ，点 是 的延长线上一动点，连接 交 于点 ，若 ， ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 4．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在边长为 的正方形 中， ，连接 ， ， ， 分别是 ， 的中点，连接 ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 5．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在▱BD 中，B＝5，B＝8．E 是边B 的中点，F 是▱BD 内一点，且 ∠BF＝90°．连接F 并延长，交D 于点G．若EF∥B，则DG 的长为（ ） ． B． ．3 D．2 6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形 中，对角线 与 交于点，若 ， ，点E 是边 的中点，则 的长为（ ） ．5 B．4 ．6 D．8 7．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ） ．四边形 是矩形 B．四边形 的内角和小于四边形 的内角和 ．四边形 的周长等于四边形 的对角线长度之和 D．四边形 的面积等于四边形 面积的 8．（2023 下·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，分别是 ， ， ， 的中点，且 ，下列结论：①四边形 是菱形；② ；③若 ，则 ；④ ；其中正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 9．（2023·山东临沂·统考一模）四边形 的对角线 ， 交点 ，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形 ，四边形 可能不是平行四边形； ②若 ，则四边形 一定是菱形；③若 ，则四边形 一定是矩形； ④若四边形 是菱形，则四边形 也是菱形．所有正确推断的序号是 ． 10．（2023 下·江苏南京·八年级校考期中）点，B，为平面内不在同一直线上的三点．点D 为平面内一个 动点（不与，B，重合）．线段． ， ， ， 的中点分别为M，，P，Q．在点D 的运动过程 中，有下列结论：①存在无数个中点四边形 是平行四边形；②存在无数个中点四边形 是菱 形；③存在无数个中点四边形 是矩形；④存在一个中点四边形 是正方形．所有正确结论的序 号是 ． 11．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， 为边 上一动点， 为 中点， 为 上一点， ，则 的最小值为 ． 12．（2023·江西上饶·校联考二模）在 中， ， ， ， 是 的中点， 是 上 的动点，若点 到 的一边的距离为2，则 的长为 ． 13．（2023·广东广州·校考三模）如图， 中， ， ， ， 是 的中 线， 是边 上一动点，将 沿 折叠，点 落在点 处， 交线段 于点 ，当 是直角 三角形时，则 ． 14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在四边形 中，对角线 平分 ， 、 、 分别为 、 、 中点，连接 交 于 ，交 于 ，若 ， ，且 ，则 = ． 15．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在矩形 中，点E 为 的中点，将 绕点D 旋转得到 ，连接 ，G 为 的中点，连接 ，若 ， ， ，当 时， 的长为 ． 16．（2023·安徽·校联考二模）如图，在 中， ，延长 到点D， ， 点E 是 的中点， 交 于点F，则 的面积为 ． 17．（2023·江苏南通·统考一模）如图， 是四边形 的对角线， ，点 在边 上，连 接 交 于 ，取 的中点 若 ， ， ，则 的最小值为 ． 18．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知 ， ， ， ， 绕着斜边B 的中点D 旋转，DE、DF 分别交、B 所在的直线于点P、Q．当 为 等腰三角形时，P 的长为 ． 19．（2023 下·山西临汾·八年级统考期中）综合与探究：如图1，四边形 中， 、 、 、 分别 是 、 、 、 的中点，顺次连接 、 、 、 ． (1)猜想四边形 的形状是________（直接回答，不必说明理由）． (2)如图2， 在四边形 内一点，使 ， ， ，其他条件不变，试探究 四边形 的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下， ， ， ， ，求四边形 的面积． 20．（2023 下·河北石家庄·八年级统考期中）四边形BD 中，点E、F、G、分别为B、B、D、D 边的中 点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFG 称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形BD 怎样变化，它的中点四边形EFG 都是平行四边形．特殊的： ①当对角线 时，四边形BD 的中点四边形为__________形； ②当对角线 时，四边形BD 的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形BD 中，已知 ，且 ，请利用（1）中的结论，判断四边形 BD 的中点四边形EFG 的形状并进行证明． 21．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）类比探究 【问题背景】已知D、E 分别是 的 边和 边上的点，且 ，则 把 绕着逆时针方向旋转，连接 和 ． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形_________②若 ， ， ，则 _________ _． 【迁移应用】在 中， ， ，D、E、M 分别是 、 、 中点，连接 和 ．①如图3，写出 和 的数量关系__________；②如图4，把 绕着点逆时针方向旋转， 当D 落在 上时，连接 和 ，取 中点，连接 ，若 ，求 的长． 【创新应用】如图5： ， ， 是直角三角形， ， ， 将 绕着点旋转，连接 ，F 是 上一点，且 ，连接 ，请直接写出 的取值范围． 22．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象 的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在 学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 如图①，在矩形BD 中，点E、F、G 分别为边B、B、D 的中点，连接EF、DF，为DF 的中点，连接G． 将△BEF 绕点B 旋转，线段DF、G 和E 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解 决下列问题： (1)图②中，B=B，此时点E 落在B 的延长线上，点F 落在线段B 上，连接F，猜想G 与E 之间的数量关 系，并证明你的猜想；(2)图③中，B=2，B=3，则 ；(3)当B=m , B=时． ．(4)在 （2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得△B（如图④)．点M、分别在、B 上，连 接M，将△M 沿 M 翻折，使点的对应点P 落在B 的延长线上，若PM 平分∠P，则M 长为 ． 23．（2023·河南新乡·联考二模）【材呈现】如图是华师版九年级上册数学材第77 页的部分内容． 如图2342，在 中，点D、E 分别是 与 的中点．根据画出的图形，可以猜想： ，且 ，对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据材内容，结合图1，写出证明过程． 【定理应用】如图2，在矩形 中， ，点为 的中点，点M 为 边上一动点，点为 的中点，连接 、 、 ． （1）当 时， 与 的数量关系是__________， 的值为__________； （2）如图3，在平行四边形 中，点E 为 边上一点，连接 ，点P 在 上， ， 点G 是 的中点，连接 交 于点F，若点F 为 的中点， ，连接 ． ①求 的度数；②直接写出 的值．