16 四边形面积求最值问题

四边形面积求最值问题 1．（2021·广西·中考一模）如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+与x 轴交于原点和点(6， 0)，抛物线的顶点为B． （1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标； （2）若动点P 从原点出发，以每秒1 个长度单位的速度沿线段B 运动，同时有一动点M 从 点出发，以每秒2 个长度单位的速度沿线段运动，当P、M 其中一个点停止运动时另一个 点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t 为何值时，四边形BPM 的面积最小？并求此最小值． （3）在（2）的条件下，当t 为何值时， PM 是直角三角形？ 【答】（1） ，B ， ；（2） ， ；（3） 秒或 秒 【分析】 （1）根据点 ， 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析 式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点 的坐标； （2）当运动时间为时， ， ， ， ，结合点 ， 的运动 速度可得出 ，由 可得出四边形 的面积关于的函数关 系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． （3）由（2）得到∠P=60°，分∠PM=90°，∠MP=90°两种情况，分别列方程求解． 【详解】 解：（1）将 ， 代入 ，得： ， 解得： ， 该抛物线的解析式为 ． ， 顶点 的坐标为 ， ． （2）过P 作P⊥ 轴于，过B 作BD⊥ 轴于D，如图： ∵点 的坐标为 ， ， ∴ ， ∴ ， ， 当运动时间为时， ， ， ， ． 当 、 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动， ． ， ， ， ， ． ， 当 时，四边形 的面积取最小值，最小值为 ； （3）由（3）得：∵（6，0），B（3， ）， ， ∠ ∴ P=60°， P=t，M=2t， 则M=6-2t， 若△PM 是直角三角形， 当∠PM=90°时， ∠MP=30°， 则M=2P，即6-2t=2t， 解得：t= ； 当∠MP=90°时， ∠PM=30°， 则P=2M，即t=2（6-2t）， 解得：t= ； 综上：当t 为 秒或 秒时，△PM 是直角三角形． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、 三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出 二次函数解析式，同时注意分类讨论． 2．（2021·重庆巴蜀中学中考二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），其中 ，并且抛物线过点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点 为直线 上方抛物线上一点，过 作 轴交 于点 ．连接 ， ， ，求四边形 面积的最大值及点 的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线 方向平移得新抛物线 ，是否在新抛 物线上存在点 ，在平面内存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为正方形？ 若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2） 时， 最大为 ，点P 的坐标为(3， )；（3） 存在，新抛物线的顶点坐标为(5，2)或(3，-1)或( ， )． 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）要使S 四边形PDE最大，则PE 最大，设P(t， t2+t+3)，则E(t， t+3)，利用二次函数 的性质求解即可； （3）分情况讨论，当为正方形M 的边时，当为正方形M 的边时，当为正方形M 的对角线时， 分别作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质以及二次函数的平移规律解答即可． 【详解】 解：（1）因为抛物线过点(−2，0)和D(4，3)， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）抛物线 的对称轴为 ， 则顶点坐标为(2，4)， ∵点(−2，0)， ∴点B(6，0)， 令 ，则 ， ∴(0，3)， 又D(4，3)， ∴D//x 轴， ∴PE⊥D， ∵S 四边形PDE= PE⋅D， ∴S 四边形PDE最大，即PE 最大， 设直线B 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线B 的解析式为 ， 设P(t， t2+t+3)，则E(t， t+3)， ∴PE= t2+ t= ， ∴t=3 时，S 四边形PDE最大为 ， 此时P 的坐标为(3， )； （3）∵(−2，0)，(0，3)， ∴=2，=3， ∴= ， 当为正方形M 的边时，如图， 则M=M== ， 过M 作MG⊥ 轴于G，过作Q⊥ 轴于Q， ∵M 为正方形， ∠ ∴ M=∠=90 ， ∠ ∴ +∠GM=∠+∠Q=∠+∠ =90 ， ∠Q+∠Q =90 ， ∠ ∴ GM=∠=∠Q， ∴Rt△GM Rt△ Rt△Q， ∴G==Q=2，GM==Q=3， ∴M(3，1)，(1，2)， ∵经过点M 的新抛物线是原抛物线 平移得到的， ∵原抛物线 的顶点坐标为(2，4)， 由平移的性质得，新抛物线的顶点坐标为(2+3，4-2)，即(5，2)； 当为正方形M 的边时，如图， 同理求得， (3，1)，M(1，2)， 同理，新抛物线的顶点坐标为(2+1，4-5)，即(3，-1)； 当为正方形M 的对角线时，如图， 则M=M==，∠M=90 ， 过M 作MF⊥ 轴于F，过M 作M⊥ 轴于， ∴四边形MF 为矩形，MF∥， ∠ ∴ FM=∠M，∠MF+∠FM=90 ，∠MF+∠MF=90 ， ∠ ∴ M=∠MF， ∴Rt△M Rt△MF， ∴=F，M=MF， ∴四边形MF 为正方形， 设正方形MF 的边长为x， ∴+=-F，即2+x=3-x， 解得： ， 点M 的坐标为( ， )， 同理，新抛物线的顶点坐标为(2+ ，4- )，即( ， )； 综上，新抛物线的顶点坐标为(5，2)或(3，-1)或( ， )． 【点睛】 本题是二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的 性质，勾股定理，二次函数的平移等知识点，正确的作出辅助线、分类讨论是解题的关键． 3．（2021·重庆市育才中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y 轴交于点，与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），且点的坐标 为 ，直线 的解析式为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过作 ，交抛物线于点D，点P 为直线 下方抛物线上一动点，连接 ， ，求四边形 面积的最大值： （3）将抛物线 向左平移 个单位长度，平移后的抛物线的顶点为E， 连接 ，将线段 沿y 轴平移得到线段 （ 为B 的对应点， 为E 的对应点），直 线 与x 轴交于点F，点Q 为原抛物线对称轴上一点，连接 ， 能否成为 以 为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不 能，请说明理由． 【答】（1） ；（2） ；（3）能，点Q 的坐标为( ， )或( ， )或Q( ， )或( ， ) ． 【分析】 （1）利用一次函数解析式，将点B、的坐标写出来，再利用待定系数法即可； （2）四边形 面积最大时，即 的面积最大，利用过P 作 轴交 于点，将 三角形利用分割的方法计算出面积即可； （3）分以FQ 为斜边和以E1Q 为斜边，两种大的情况讨论，分别作出图形，利用特殊角的三 角函数值以及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】 （1）∵直线 的解析式为 , ∴ ，将 代人 得： ， 解得： ∴抛物线解析式为 ； （2）连接 ， ∵ ∴ ． ∴四边形 面积最大时，即 的面积最大 设 ，过P 作 轴交 于点 ∴ ， ∴ ∴ ∴当 时， 的面积最大为 ∴四边形 面积的最大值为 （3）抛物线 的对称轴为： ， ∵将抛物线 向左平移 个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为 ， ∴E(0，-3)， ∵B(3 ，0)， ∴在Rt△BE 中， ， ∠ ∴ BE=30°，∠EB=60°， ∵E1F∥BE， ∠ ∴ E1F=30°，∠FE1 =60°， ∠ ∵ QE1F=90°， ∠ ∴ QE1=30°， 以FQ 为斜边，且E1在x 轴上方时， 过Q 作Q⊥ 轴于，设Q( ，m)， 在Rt△QE1中，Q= ， ∴E1= Q=3，QE1=2 ， ∵ 能否成为以 为直角边的等腰直角三角形， ∴E1F= QE1， △ ∴E1F △QE1， ∴E1= Q= ， ∴E1=E1+= ， ∴ ， ∴Q( ， )； 以FQ 为斜边，且E1在x 轴下方时， 同理可得 ， ∴Q( ， )； 以E1Q 为斜边，且Q 在x 轴上方时， 同理可证△QPF △FE1，∠PQF =30°， 设Q( ，m)， ∴PQ=F=m，PF=m- ， 在Rt△QPF 中，PQ= PF， ∴ ， ∴Q( ， )； 以E1Q 为斜边，且Q 在x 轴下方时， 同理可证△QPF △FE1，∠PQF =30°， 设Q( ，m)， ∴PQ=F=-m，PF= ， 在Rt△QPF 中，PQ= PF， ∴ ， ∴Q( ， )； 综上，能，点Q 的坐标为( ， )或( ， )或Q( ， )或( ， )． 【点睛】 本题考查二次函数解析式，一次函数，三角形的面积，特殊角的三角函数值，全等三角形的 判定和性质等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4．（2021·浙江·绍兴市九年级期中）如图，已知抛物线 的图象经过点 ， ，与y 轴交于点，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上点B 和点D 之间是否存在一点使得四边形B 的面积最大，若存在求出四边 形B 的最大面积，若不存在，请说明理由． （3）直线BD 上有一点P，使得 时，过P 作 轴于F，点M 为x 轴上一动点， 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F，，G，M 四点为顶点的四边形为正 方形时，求点M 的坐标． 【答】（1） ；（2）存在， ；（3）点M 的坐标为 ， ， ， 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出、D 的坐标，设点 ，即可得到 ，由此求解即可； （3）先求出E 点坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，利用 求出P 点坐标， 设设 ，则 ， ，利用 建立方程求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线 的图象经过点 ， ∴ ，∴ ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）当 时， ，所以点 ，当 时 ，所以点 设点 所以 当 时， ． （3）由（1）知，抛物线的解析式为 ； ∴ ，抛物线的顶点 ， ∴ ，设直线BD 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ∴直线BD 的解析式为 ，设点 ， ∵ ， ， 根据勾股定理得， ， ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 如图，作 轴于F， ∵ ，设 ，则 ， ∴以点F，，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有 ， ∴ ∴ 或 ， ∴点M 的坐标为 ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式 等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．（2021·广东深圳·中考一模）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，过点 的抛物线 与直线 交于另一点 ，且点 的横坐 标为1 （1）该抛物线的解析式为 ； （2）如图1， 为抛物线上位于直线 上方的一动点（不与 、 重合），过 作 轴，交 轴于 ，连接 ， 为 中点，连接 ，过 作 交直线 于 ，若点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，求 与的函数关系式；在此条件下，如图 2，连接 并延长，交 轴于 ，连接 ，求为何值时， ． （3）如图3，将直线 绕点 顺时针旋转15 度交抛物线对称轴于点 ，点 为线段 上 的一动点（不与 、 重合），以点 为圆心、以 为半径的圆弧与线段 交于点 ， 以点 为圆心、以 为半径的圆弧与线段 交于点 ，连接 ．在点 运动的过程 中，四边形 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值． 【答】（1） ；（2） ； ；（3）存在最小值， 【分析】 （1）先求出点 、 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式； （2）过点 作 轴于 ， 于 ，先证明 、 、 三点在以 为圆心 为半径的 上，再证明 ，然后得到 ， ，再设 ， 通过建立关于的方程，解方程即可； （3）设 ，四边形 的面积为，过 作 ，垂足为 ，利用三角函数和 三角形面积关系即可得到结论． 【详解】 解：（1） 直线 与 轴交于点 ， 令 ，则 ， 点 为 ， 直线 经过点 ，点 的横坐标为1， 点 的纵坐标为： ， 点 为： ， 把点 、 代入 ，得： ， 解得： ， 抛物线解析式为 ． （2）如图1，过点 作 轴于 ， 于 ， 设直线 与 轴交于点 ， 当 时， ， ， ， ， ， ， ， 、 、 三点在以 为圆心 为半径的 上， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，连接 并延长，交 轴于 ，连接 ， ， ， ， 为 中点，即 ， ， ， 解得 ， 时， ． （3）四边形 的面积有最小值． 设 ，四边形 的面积为， 是抛物线对称轴上一点， ． 直线 绕 点旋转 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 如图3，过 作 ，垂足为 ， 则 ， ， ． 在点 运动的过程中，四边形 的面积有最小值为 ． 【点睛】 本题考查了全等三角形判定和性质，三角函数、三角形面积、二次函数的图像和性质、旋转 的性质等重要知识点，解题时必须认真审题，熟练运用相关知识，运用数形结合、方程思 想和转化思想思考问题和解决问题． 6．（2021—2022 江苏常熟市九年级开学考试）如图，已知抛物线 的图像 经过点 ， ，其对称轴为直线： ，过点 作 轴交抛物线于点 ， 的平分线交线段 于点 ，点 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点 在直线 下方的抛物线上，连结 ，当 为何值时，四边形 面积最大，并求出其最大值． （3）如图②， 是抛物线的对称轴上的一点，连接 ，在抛物线 轴下方的图像 上是否存在点 使 满足：① ；② ？若存在，求点 的坐标， 若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2）当 时，四边形PE 的面积最大，最大值为： ； （3） 【分析】 （1）首先根据对称性得出抛物线与 轴的另一个交点坐标，然后根据两坐标设抛物线解析式， 代入点的坐标，即可得解； （2）设P 坐标，过点P 作PF 轴，将四边形PE 的面积表示为： 梯形 ， 计算即可； （3）根据 ，确定 点的位置，构造一线三直角，证明相似，列出等量关系，计 算即可． 【详解】 （1）如图，设抛物线与 轴的另一个交点为D 由对称性得：D(3,0) 设抛物线的解析式为： 把(0,3)代入得： 即 ∴抛物线的解析式： （2）如图，过点P 作 轴，交于点F 在 中，点与点关于对称轴对称 ∵（0，3）， ∴（4，3） ∵E 平分 ，且 ∴ ∴E==3 设 ，则 则 ， ， 故 四边形 = 梯形 ， ∵P 在B 的下方 ∴ ∴当 时，四边形PE 的面积最大，最大值为： （3）存在，理由如下， 如图，过点P 作 交 轴于点M，交于点 点在左侧， ∴ ∵ ，则 ， ∴ 即 解得： 在 轴下方，则 当 时， 点P 为 ． 【点睛】 此题主要考查二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程，正切的 定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2021·重庆·巴川中学校九年级月考）抛物线 与x 轴交于、B 两点， 与y 轴交于点，抛物线的对称轴交x 轴于点D，已知 ， （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P 是线段 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点Q，当 点P 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出四边形 的最大面积及此时 Р 点的坐标． （3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线 方向以每秒 个单位的速度平移t 秒，平移后的抛物线的顶点为 ，当 是等腰三角形时，求t 的值． 【答】（1） ；（2）面积的最大值为 ，P ；（3） 或0625 或 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由 ，即可求解； （3）抛物线沿射线 方向以每秒 个单位的速度平移秒，即运动了 个单位，由直线 的表达式知，此时点 向右平移了 个单位向下平移了个单位，则点 ， ，进而求解． 【详解】 解：（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ， 故抛物线的表达式为 ； （2）对于 ，令 ，解得 或4， 故点 的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，故点 的坐标为 ， ， 则 ， 由点 、 的坐标得：直线 的表达式为 ， 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， 设四边形 的面积为， 则 ， ，故有最大值， 当 时，即四边形 的面积取得最大值为 ， 此时，点 的坐标为 ； （3）由抛物线的表达式知，点 的坐标为 ， ， 抛物线沿射线 方向以每秒 个单位的速度平移秒，即运动了 个单位， 由直线 的表达式知，此时点 向右平移了 个单位向下平移了个单位， 则点 ， ， 由点 、 、 的坐标知， ， 同理可得， ， ， 当 时，则 ，解得 （不合题意的值已舍去）； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 （不合题意的值已舍去）； 故 或0625 或 ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数 形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求 出线段之间的关系． 8．（2021·吉林铁西·九年级期末）如图，抛物线 （ ， 是常数，且 ） 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．并且 ， 两点的坐标分别是 ， ， 抛物线顶点为 ． （1）①求出抛物线的解析式； ②顶点 的坐标为______； ③直线 的解析式为______； （2）若 为线段 上的一个动点，其横坐标为 ，过点 作 轴于点 ，求当 为 何值时，四边形 的面积最大？ （3）若点 在抛物线的对称轴上，若线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的对应点 恰 好也落在此抛物线上，请直接写出点 的坐标． 【答】（1）① ；② 的坐标为： ；③ ；（2）当 时， ；（3） 或 ． 【分析】 （1）①利用待定系数法把 ， 代入 ，得 ，解方程 组即可； ②把抛物线配方变为顶点式 即可； ③利用待定系数法将点 、 的坐标代入一次函数表达式 并得： 解方 程组即可； （2）由点 的横坐标为 ，可得点E（m，2m+6），求出 ，利用梯形面积可得 利用函数性质即可求解； （3）抛物线对称轴与 轴交于，过 作G⊥D 于G，先证△P≌△ （S），可得=PG， ,用含m 代数式表示点 ，利用点 在抛物线 上，列出m 的方程，求解即可． 【详