15 四边形周长求最值问题

四边形周长求最值问题 1．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于和B（－3，0）两 点，与y 轴交于（0，－3），对称轴为直线 ，直线y＝－2x＋m 经过点，且与y 轴交 于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m 的值； （2）在y 轴上是否存在点P，使得以D、E、P 为顶点的三角形与△D 相似，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由； （3）直线y＝1 上有M、两点（M 在的左侧），且M＝2，若将线段M 在直线y＝1 上平移， 当它移动到某一位置时，四边形MEF 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留 根号）． 【答】（1） ；m=2；（2）存在， 或 ；（3） 【分析】 （1）根据抛物线的对称性求出（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点坐标代入直 线的解析式，即可求出m 的值； （2）先求出E（-5，12），过点E 作EP⊥y 轴于点P，从而得 ，即可得到P 的 坐标，过点E 作 ，交y 轴于点 ，可得 ，再利用t∠D=t∠PE ， 即可求解； （3）作直线y=1，将点F 向左平移2 个单位得到 ，作点E 关于y=1 的对称点 ，连接 与直线y=1 交于点M，过点F 作F∥ ，交直线y=1 于点，在 中和 中分别求出EF， ，进而即可求解． 【详解】 （1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于和B（－3，0）两点，对称轴为直线 ， ∴（1，0）， 设二次函数解析式为：y=(x-1)(x+3)，把（0，－3）代入得：-3=(0-1)(0+3)，解得：=1， ∴二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即： ， ∵直线y＝－2x＋m 经过点， ∴0=-2×1+m，解得：m=2； （2）由（1）得：直线F 的解析式为：y=-2x+2， 又∵直线y=-2x+2 与y 轴交于点D，与抛物线交于点E， ∴当x=0 时，y=2，即D（0，2）， 联立 ，解得： ， ， ∵点E 在第二象限， ∴E（-5，12）， 过点E 作EP⊥y 轴于点P， ∠ ∵ D=∠EDP，∠D=∠DPE=90°， ∴ ， ∴P（0，12）； 过点E 作 ，交y 轴于点 ，可得 ， ∠ ∵ ED +∠PED=∠PE +∠PED=90°， ∠ ∴ D=∠ED =∠PE ，即：t∠D=t∠PE ， ∴ ，即： ，解得： ， ∴ （0，145）， 综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，145）； （3）∵点E、F 均为定点， ∴线段EF 长为定值， ∵M=2， ∴当EM+F 为最小值时，四边形MEF 的周长最小， 作直线y=1，将点F 向左平移2 个单位得到 ，作点E 关于y=1 的对称点 ，连接 与直 线y=1 交于点M，过点F 作F∥ ，交直线y=1 于点， 由作图可知： ， 又∵ 三点共线， ∴EM+F= ，此时，EM+F 的值最小， ∵点F 为直线y=-2x+2 与直线x=-1 的交点， ∴F（-1，4）， ∴ （-3，4）， 又∵E（-5，12）， ∴ （-5，-10）， 延长F 交线段E 于点， ∵F 与直线y=1 平行， ∴F⊥E ， ∵在 中，由勾股定理得：EF= ， 在 中，由勾股定理得： = ， ∴四边形MEF 的周长最小值=ME+F+EF+M= ． 【点睛】 本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添 加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键． 2．（2021·新疆沙依巴克·中考三模）如图，抛物线 经过点 ，与 轴交 于点 和点 （点 在点 的右边），且 ． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图1，点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边 形 的周长的最小值； （3）如图2，点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3：5 两部 分，求点 的坐标． 【答】（1） ，顶点坐标为（1，4）； （2）四边形 的周长的最小值为 ；（3）点 的坐标为（4，－5）或（8，－45） 【分析】 （1）根据待定系数法求得、b、的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标． （2）把 向下移1 个单位得点 ，再作 关于抛物线的对称轴的对称点 ，连接 ，与 对称轴交于点 ，再在对称轴上 点上方取点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小，根据勾股定理即可得出． （3）分 或 两种情况讨论即可． 【详解】 解：（1）∵点 ， ， ∴ , 把 、 、 三点坐标代入 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为： ， ∵ ， ∴顶点坐标为（1，4）； （2）把 向下移1 个单位得点 ，再作 关于抛物线的对称轴的对称点 ，连接 ，与 对称轴交于点 ，再在对称轴上 点上方取点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小， 则 , ∵ , ∴ , ∵对称轴是直线 ， ∴ , ∵ , ∴ , , ∴四边形 的周长的最小值为 ； （3）如图，设直线 交 轴于点 ， 直线 把四边形 的面积分为3：5 两部分， 又∵ ， 则 或5:3， 则 或15， 即点 的坐标为（15，0）或（05，0）， 将点 的坐标代入直线 的表达式： ， 解得： 或－2， 故直线 的表达式为： 或 ， 联立方程组 解得： （不合题意值已舍去）， 解 ， 解得： 8（不合题意值已舍去）， 故点 的坐标为（4，－5）或（8，－45） 【点睛】 本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与 性质，勾股定理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键 3．（2021·山东曹县·九年级期中）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 是抛物线上任意一点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，若 ， 求点 的坐标． （3）设点 ， 是直线 上两动点，且 ，点 在点 上方，求四边形 周长 的最小值． 【答】（1） ；（2）点 的坐标为 或 或 或 ；（3） 【分析】 （1）先求得点B 的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线B 的函数表达式，分点M 在直线B 的上方和下方两种情况讨论，分别得到 一元二次方程，解方程即可求解； （3）根据题意知当 最小时，四边形 的周长最小．过B 作BF⊥ 轴于B，并 截取BF=DE=1，过F 作FD∥BE 交直线x=3 于D，根据轴对称的性质得到D+ E 的最小值为 F，利用两点之间的距离公式即可求解． 【详解】 解：（1）∵点B 与点关于直线x=3 对称， ∴点B 的坐标为(8，0)， ∴ 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为 ； （2）当x=0 时，y=4, ∴点 的坐标为(0，4)， 设直线 的函数表达式为 ，则 解得 ， 设点 的坐标为 ， 则点 的坐标为 ①当点M 在直线B 的上方时， 则 ， ，整理得 ， 解得 ， , 点 的坐标为(2，6)或 (6，4)； ②当点M 在直线B 的下方时， 则 ， ，整理得 ， 解得 ， ， 的坐标为 或 ； 所以点 的坐标为(2，6)或 (6，4)或 或 ； （3）∵ ，(0，4)， ∴ ， 又 ， ∴当 最小时，四边形 的周长最小． ∵点B 与点关于直线x=3 对称， ∴E=BE， 过B 作BF⊥ 轴于B，并截取BF=DE=1，连接F， 点F 的坐标为(8，1)， 过F 作FD∥BE 交直线x=3 于D， ∴四边形FDEB 是平行四边形， ∴FD=EB=E， ∴D+ E= D+ FD F， ∴D+ E 的最小值为F， ∵(0，4)，F (8，1)， ∴F= ， ∴四边形DE 的周长最小值为+DE+F= ． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象与性质，轴 对称的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4．（2021·四川岳池·中考三模）抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左边），与 轴交于点 ，点 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接 ，求线段 的长； （2）如图2，点 是直线 上方抛物线上一点， 轴于点 ， 与线段 交于点 ；将线段 沿 轴左右平移，线段 的对应线段是 ，当 的值最大时， 求四边形 周长的最小值，并求出对应的点 的坐标． 【答】（1） ；（2）四边形 周长的最小值为 ，对应的点 的坐标为 【分析】 （1）根据抛物线解析式即可求出点和点D 坐标，再利用两点的距离公式即可求出结果． （2）根据题意可求出 ， ．从而求出直线 的解析式，即可设 ， ．由此即可用x 表示出PF 和EF 的长．在 中，利用勾股定理可求出 ，即说明 ，从而得出 ， 即可用x 表示E 的长．再利用 ，即可用x 表示 的长 为： ，根据二次函数的顶点式即可知，当 的值最大时， ，此时 ，由此可求出 的长， 由题意可知 ，即要使四边形 周长的最小，即 的值最小即可． 将点 向右平移 个单位长度得点 ，连接 ，则 ，再作点 关于 轴的对称点 ，则 ，由所做图形易得 ， 即求出 的长即可求出四边形 的周长最小值，最后利用 点为 的中点，即可 求出 坐标，从而得到 坐标． 【详解】 （1）当 时，代入抛物线解析式得： ， ∴ ， 将抛物线一般式改为顶点式为： ， ∴ ， ∴ ； （2）在 中，令 ，则 ， 解得： ， ， ∴ ， ， ∵ ，易得直线 的解析式为： ， 设 ， ， ∴ ， ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∴当 的值最大时， ，此时 ， ∴ ， ∵ ， ∴要使四边形 周长的最小，即 的值最小， 如图，将点 向右平移 个单位长度得点 ，连接 ，则 ，再作点 关于 轴的对称点 ，则 ， ∴ ， ∴连接 与 轴的交点即为使 的值最小时的点 ， ∴ ，即 ． 将 向左平移 个单位长度即得点 ， ∴ ， ∴在 中， ， 对应的点 的坐标为 ，即 ． ∴四边形 周长的最小值为 ． 【点睛】 本题为二次函数综合题．考查抛物线图象与坐标轴的交点问题，抛物线的顶点式与最值问题， 利用待定系数法求一次函数解析式，两点的距离公式以及轴对称变换等知识，为压轴题， 困难题型．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 5．（2021·山东·济南外国语学校九年级月考）如图，抛物线y＝x2＋bx＋3 经过 (1，0)、 B(4，0)两点，与y 轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P 的周长最小?若存在，求出四边形 P 周长的最小值；不存在，请说明理由． (3)在(2)的条件下，点Q 是线段B 上一动点，当△BPQ 与△B 相似时，求点Q 的坐标． 【答】（1） ；（2）存在，9；（3）（ ，0）或（ ，0） 【分析】 （1）将（1，0）、B（4，0）代入线y=x2+bx+3，求出、b 即可； （2）四边形P 的周长最小值为：++B=1+3+5=9； （3）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△B，②当△BQP∽△B． 【详解】 解：（1）把 (1，0)、B(4，0)代入y＝x2＋bx＋3 得， ， 解得 所以，抛物线的解析式为 ； （2）∵、B 关于对称轴对称，如图，连接B，与对称轴的交点即为所求的点P，此时 P+P=B， ∴四边形P 的周长最小值为：++B， ∵（1，0）、B（4，0）、（0，3）， ∴=1，=3，B=5， ∴++B=1+3+5=9； ∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形P 的周长最小，四边形P 周长的最小值为9； （3）如图，设对称轴与x 轴交于点D． ∵（1，0）、B（4，0）、（0，3）， ∴B=4，B=3，B=5， 直线B： ， 由二次函数可得，对称轴直线x= ， ∴P（ ， ），BP= ， ①当△BPQ∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ②当△BQP∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴BQ= ， ∴Q=B-BQ=4- = ， ∴Q2（ ，0）， 综上，求得点Q 的坐标（ ，0）或（ ，0） 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与相似三角形的性质是解题的关键． 6．（2021·云南·曲靖市九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，交 轴于点 ． （1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标； （2）点 是抛物线上 、 之间的一点，过点 作 轴于点 ， 轴，交抛物线 于点 ，过点 作 轴于点 ，当矩形 的周长最大时，求点 的坐标； （3）如图2，连接 、 ，点 在线段 上（不与 、 重合），作直线 轴交 抛物线于点 ，是否存在点 ，使得 与 相似？若存在，求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】（1） ， ；（2） ；（3）存在， 或 【分析】 （1）根据点B、 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将二次 函数解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点D 的坐标； （2）设点 ，可得 ， ，矩形 的 周长 ，即可求解； （3）设点 ，则 ， ，根据相似三角形的性质,可得 关于 m 的方程，可得 M 点的坐标，要分类讨论,以防遗漏． 【详解】 解：（1）∵抛物线 经过点 和点 ，交 轴于点 ， 将B，代入解析式得： 解得：b=－2，=3 ∴抛物线的表达式为： ， ∵ ∴点 ； ∴解析式为 ，顶点坐标 （2）设点 ，则 ， ∵顶点坐标 ， ∴ ， 矩形 的周长 ， ，故当 时，矩形 周长最大， 此时，点 的横坐标为 ；将-2，代入 得y=3 ∴坐标为 ； （3）设点 ，则 ， 令y=0,得 解得： ∴点（-3,0）， ∴M=m+3 ,B=1,=3 ∵ ， ∴当 时 即 ， 解得: (舍去) ∴ ∵ ， ∴当 时 即 ， 解得： (舍去) ∴ 综上所述：存在点 ，即 或者 ，使得 与 相似． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数求函数解析式、三角形相似和二次函数的最值； (1)的关键是顶点是函数解析式；解(2)的关键是利用已知条件把 表示出来；(3)的关 键是利用相似三角形的性质得出关于 m 的方程,要分类讨论，以防遗漏． 7．如图，抛物线 的图象与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左边），与y 轴交 于点，点D 为抛物线的顶点．点坐标的为 ，点的坐标为 ． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）点M 为线段 上一点（点M 不与点、B 重合），过点M 作轴的垂线，与直线 交 于点E，与抛物线交于点P，过点P 作 交抛物线于点Q，过点Q 作 轴于点． 若点P 在点Q 左边，当矩形 的周长最大时，求 的面积； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形 的周长最大时，连接 ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线 交于点G（点G 在点F 的上方）．若 ，求点F 的坐标． 【答】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 或 【分析】 （Ⅰ）将点，点坐标代入解析式可求解； （Ⅱ）设M（x，0），P（x，-x2-2x+3），利用对称性可求点Q（-2-x，-x2-2x+3），可求 MP=-x2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x，则可用x 表示矩形PMQ 的周长，由二次函数的性质可求 当矩形PMQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E，点M 的坐标，由三角形面积公式 可求解； （Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ= ，可得FG=4，设F （m，-m2-2m+3），则G （m，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】 解:（Ⅰ）依题意 解得 所以 （Ⅱ） 抛物线的对称轴是直线 ， ，其中 ∵P、Q 关于直线 对称 设Q 的横坐标为 则 ∴ ∴ ∴ ， ∴周长 当 时，d 取最大值，此时， ∴ 设直线 的解析式为 则 ，解得 ∴设直线 的解析式为 将 代入 ，得 ∴ ， ∴ ∴ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形 的周长最大时， 此时点 ，与点重合， ∴ ∵ ∴ 过D 作 轴于K， 则 ， ∴ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ 设 ，则 ∴ ，解得 ， 当 时， 当 时， ． ∴ 或 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等， 利用参数表示线段的长度是本题的关键． 8．（2021·山东·济南市济阳区中考模拟预测）如图，抛物线y＝ ﹣2x 3 ﹣经过点（﹣ 2，），与x 轴相交于B、两点（B 点在点左侧）． （1）求的值及B、两点坐标； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BD 沿直线BD 翻折得到△B D，若 点 恰好落在抛物线的对称轴上，求点 和点D 的坐标； （3）设P（m，-3)是该抛物线上一点，点Q 为抛物线的顶点，在x 轴、y 轴分别找点M、， 使四边形MQP 的周长最小，请求出点M、的坐标． 【答】（1）5；（-1,0），（3,0） （2）（1， ）；（1， ） （3）（ ，0）； （0， ） 【分析】 （1）把（-2，）代入y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣可得的值，分别 令y=0 求出抛物线与x 轴的交点坐标，从 而可得B、点坐标； （2）设对称轴于B 的交点为E，先求出点，点E 坐标，可求B=4，B==2，由折叠的性质可得 B'的长，由勾股定理可求'，D 的长，即可求解； （4）作Q 点关于y 轴的对称点Q′（-1，-4），作点P（2，-3）关于x 轴的对称点P′（2， 3），连接Q′P′分别交x、y 轴于点M、，此时，四边形QPM 的周长最小，即可求解． 【详解】 解：（1）把（-2，)代入y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣，得=5； 当y=0 时，x2 2 ﹣x 3=0 ﹣ 解得x1=3, x2=-1 ∵B 点在点左侧 ∴B(-1,0)，(3,0) (2)如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点，则点的坐标为（1，0），B＝2， 由翻折得′B＝B＝4， 在Rt△B′中，由勾股定理，得 ， ∴点′的坐标为（1，2 ），t ， ∠ ∴ ′B＝60°， 由翻折得∠DB＝ ∠′B＝30°， 在Rt△BD 中，D＝B•t∠DB＝2•t30°＝ ， ∴点D 的坐标为（1， ）． （3）如图2， ∵Q 为抛物线的顶点， ∴Q（1，﹣4）， ∴Q 关于y 轴的对称点Q'（﹣1，﹣4）， ∵P（m,-3）在抛物线上， ∴P（2，﹣3）， ∴点P 关于x 轴的对称点P'（2，3）， 连接Q′、P′分别交x、y 轴于点M、，此时，四边形PM 的周长最小，， 设直线Q′P′的解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ， ∴直线P'Q'的解析式为y＝ x﹣ ， 当x=0 时，y=﹣ ；当y=0 时，x= ; ∴M（ ，0），（0，﹣ ）． 【点睛】 本题