专题16.6 二次根式全章五类必考压轴题（解析版）

专题166 二次根式全章五类必考压轴题 【人版】 1．已知x、y 为实数，且y=❑ √x−2023+❑ √2023−x+1，则x+ y的值是（ ） ．2022 B．2023 ．2024 D．2025 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的值，代入求得y的值，代 入代数式求值即可． 【详解】解：∵x−2023≥0，2023−x ≥0， ∴x−2023=0， ∴x=2023， ∴y=1， ∴x+ y=2023+1=2024， 故选：． 2．已知❑ √x−11−|7−x|+ ❑ √(x−9) 2=3 y−2，则2 x−18 y 2的值为（ ）． ．22 B．20 ．18 D．16 【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答． 【详解】解：解：∵❑ √x−11一定有意义， ∴x ≥11， ∴❑ √x−11−|7−x|+ ❑ √(x−9) 2=3 y−2， ❑ √x−11+7−x+x−9=3 y−2， 整理得：❑ √x−11=3 y， ∴x−11=9 y 2， 则2 x−18 y 2=2 x−2 (x−11)=22． 故答为：22． 3．已知﹣1＜＜0，化简❑ √(a+ 1 a ) 2 −4+ ❑ √(a−1 a ) 2 +4的结果为___． 【分析】根据题意得到a−1 a >0，a+ 1 a <0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次 根式的性质计算即可 【详解】解：原式¿ ❑ √ a 2+2+ 1 a 2−4+❑ √ a 2−2+ 1 a 2 +4 1 ¿ ❑ √ a 2−2+ 1 a 2 +❑ √ a 2+2+ 1 a 2=❑ √(a−1 a) 2 +❑ √(a+ 1 a) 2 ∵−1<a<0， ∴0<a 2<1， ∴a> 1 a， a 2+1>0， ∴a−1 a >0，a+ 1 a=a 2+1 a <0， 原式¿ ❑ √(a−1 a) 2 +❑ √(a+ 1 a) 2 =a−1 a−a−1 a=−2 a 故答为：−2 a ． 4．若实数，b，满足关系式❑ √a−199+❑ √199−a=❑ √2a+b−c+❑ √b−6，则＝______． 【分析】根据二次根式有意义条件求得＝199，然后由非负数的性质求得b、的值． 【详解】解：根据题意，得¿， 解得＝199， 则❑ √2a+b−c+❑ √b−6=0， 所以¿， 解得¿， 故答为：404． 5．已知整数x，y 满足x ❑ √y+ y ❑ √x−❑ √2022 x−❑ √2022 y+❑ √2022 xy=2022，则 ❑ √x−y−7的最小值为 _____． 【分析】原式可变形为❑ √xy(❑ √x+❑ √y)−❑ √2022(❑ √x+❑ √y)+❑ √2022 xy− ❑ √2022 2=0，然 后因式分解为(❑ √x+❑ √y+❑ √2022)(❑ √xy−❑ √2022)=0，从而得到❑ √xy−❑ √2022=0，进而 分析得出 x=337，y=6，则答可得． 【详解】解：x ❑ √y+ y ❑ √x−❑ √2022 x−❑ √2022 y+❑ √2022 xy=2022， 变形为❑ √xy(❑ √x+❑ √y)−❑ √2022(❑ √x+❑ √y)+❑ √2022 xy− ❑ √2022 2=0， ∴(❑ √x+❑ √y+❑ √2022)(❑ √xy−❑ √2022)=0， ∴❑ √xy−❑ √2022=0， ∴xy=2022=2×3×337， ∵x，y 均为整数，x−y−7>0， ∴❑ √x−y−7最小值时x=337，y=6， ∴❑ √x−y−7最小值为❑ √337−6−7=❑ √324=18． 1 故答为：18． 6．已知实数x，y，m满足等式❑ √3 x+5 y−3−m +(2 x+3 y−m) 2=¿ ❑ √x+ y−2−¿ ❑ √2−x−y，求❑ √m+4的值 【分析】根据二次根式的性质，分别计算等式的左右两边，根据非负数之和为0，列三元 一次方程组，进而求得m的值，再将m代入求解即可． 【详解】依题意得：¿ 又∵❑ √3 x+5 y−3−m≥0，(2 x+3 y−m) 2≥0 得¿ 解得x=1，y=1，m=5， ∴❑ √m+4=❑ √5+4=3． 1．若A=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋯+❑ √ 1+ 1 2021 2 + 1 2022 2，则[ A ]=¿ （ ）（其中[ A ]表示不超过的最大整数） ．2019 B．2020 ．2021 D．2022 【分析】根据1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2=( n+1 n −1 n+1) 2 ，得出 ❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2=n+1 n −1 n+1=1+ 1 n−1 n+1，将 A=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋯+❑ √ 1+ 1 2021 2 + 1 2022 2进行变形为： 【详解】解：对于正整数n，有 1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2=(1+ 1 n) 2 −2 n + 1 (n+1) 2=( n+1 n ) 2 −2 n +( 1 n+1) 2 =( n+1 n −1 n+1) 2 ， ∴❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2=n+1 n −1 n+1=1+ 1 n−1 n+1， ∴A=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋅⋅⋅+❑ √ 1+ 1 2021 2 + 1 2022 2 ¿(1+ 1 1−1 2)+(1+ 1 2−1 3)+(1+ 1 3−1 4)+⋅⋅⋅+(1+ 1 2021− 1 2022) ¿2022− 1 2022， 因此，不超过的最大整数为2021，故正确． 故选：． 1 2．已知T 1=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=❑ √ 9 4 =3 2，T 2=❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=❑ √ 49 36 =7 6 ， T 3=❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=❑ √( 13 12) 2 =13 12 ，…T n=❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2，其中n为正整数．设 Sn=T 1+T 2+T 3+⋯+T n，则S2022值是（ ） ．2022 2022 2023 B．2023 2022 2023 ．2022 1 2023 D．2023 1 2022 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答． 【详解】解：由题意，可得 T 1=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=3 2=1+(1−1 2 )， T 2=❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=7 6=1+( 1 2−1 3 )， T 3=❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=13 12=1+( 1 3−1 4 )， …… T n=❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2=1+( 1 n−1 n+1 )， ∴S2022=T 1+T 2+T 3+⋯+T 2022 ¿1+(1−1 2 )+1+( 1 2−1 3 )+1+( 1 3−1 4 )+⋅⋅⋅+1+( 1 2022− 1 2023 ) ¿1×2022+(1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋅⋅⋅+ 1 2022− 1 2023 ) ¿2022+(1− 1 2023 ) ¿2022 2022 2023． 故选：． 3．将一组数据❑ √3，❑ √6，3，2❑ √3，❑ √15，…，3 ❑ √10，按下面的方法进行排列：❑ √3，❑ √6， 3，2❑ √3，❑ √15； 3 ❑ √2，❑ √21，2❑ √6，3 ❑ √3，❑ √30； ⋯； 若2❑ √3的位置记为(1，4 )，2❑ √6的位置记为(2，3)，则这组数中❑ √87的位置记为（ ） ．(6，4 ) B．(5，3) ．(5，2) D．(6，5) 【分析】由题意可知，每行5 个数，数的被开方的规律是3，由此可得❑ √87是第29 个数， 1 进而判断❑ √87是第6 行的第4 个数． 【详解】解：一组数据的排列变形为 ❑ √3×1，❑ √3×2，❑ √3×3，❑ √3×4，❑ √3×5； ❑ √3×6，❑ √3×7，❑ √3×8，❑ √3×9，❑ √3×10； ⋯； 由题意可知，每行5 个数， 87=3×29 ∵ ， ∴❑ √87是第29 个数， ∵29÷5=5…4， ∴❑ √87是第6 行的第4 个数， ∴❑ √87的位置记为(6，4 )， 故选：． 4．观察下列各式： ❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=1+ 1 1×2…………① ❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=1+ 1 2×3…………② ❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=1+ 1 3×4 …………③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1)) 2=¿___________（n为正整数）； (2)计算❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋅⋅⋅+❑ √ 1+ 1 2022 2 + 1 2023 2=¿__________ _； (3)如果❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋅⋅⋅+❑ √ 1+ 1 (n−1) 2 + 1 n 2=n−1 5，那么 n=¿___________． 【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答； （2）利用（1）的规律解答即可； （3）利用（1）的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=1+ 1 1×2， 1 ❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=1+ 1 2×3， ❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=1+ 1 3×4 ，…… ∴❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1)) 2=1+ 1 n (n+1)=n 2+n+1 n (n+1) ． 故答为：n 2+n+1 n (n+1) ； （2）解：原式=1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 +1+ 1 3×4 +⋯+1+ 1 2022×2023 ¿2022+1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 2022− 1 2023 ¿2022+ 2022 2023 ¿2022 2022 2023． 故答为：2022 2022 2023； （3）解：根据题意，得1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 +1+ 1 3×4 +⋯+1+ 1 (n−1)n=n−1 5， ∴(n−1)+1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 n−1−1 n=n−1 5， ∴n−1 n=n−1 5， ∴n=5， 经检验得n=5是原方程的解． 故答为：n=5． 5．观察下面的式子：S1=1+ 1 1 2 + 1 2 2，S2=1+ 1 2 2 + 1 3 2，S3=1+ 1 3 2 + 1 4 2…S=1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2 （1）计算：❑ √S1= ，❑ √S3= ；猜想❑ √Sn= （用的代数式表示）； （2）计算：S=❑ √S1+❑ √S2+❑ √S3+…+❑ √Sn（用的代数式表示）． 【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1+1 2+1+ 1 12 +…+1+ 1 n (n+1)，求出答即可． 【详解】（1）∵S1=1+ 1 1 2 + 1 2 2= 9 4 ，∴❑ √S1=3 2； 1 S ∵ 2=1+ 1 2 2 + 1 3 2= 49 36 ，∴❑ √S2=7 6 ； S ∵ 3=1+ 1 3 2 + 1 4 2=169 144 ，∴❑ √S2=13 12； S=1+ ∵ 1 n 2 + 1 (n+1) 2= (n 2+n+1) 2 (n+1) 2n 2 ，∴❑ √Sn=n (n+1)+1 n（n+1) ； （2）解：S=3 2 + 7 6 + 13 12 +…+ n (n+1)+1 n (n+1) =1+ 1 2 +1+ 1 6 +1+ 1 12 +…+1+ 1 n (n+1) =n+(1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +…+ 1 n−1 n+1) ¿n+1−1 n+1 =n 2+2n n+1 1．材料：如何将双重二次根式❑ √a±2❑ √b(a>0，b>0，a±2❑ √b>0)化简呢？如能找到两 个数m，n(m>0,n>0)，使得(❑ √m) 2+(❑ √n) 2=a，即m+n=a，且使❑ √m⋅❑ √n=❑ √b，即 m⋅n=b，那么a±2❑ √b=(❑ √m) 2+(❑ √n) 2±2❑ √m⋅❑ √n=(❑ √m± ❑ √n) 2 ∴ ❑ √a±2❑ √b=¿ ❑ √m± ❑ √n∨¿，双重二次根式得以化简． 例如化简：❑ √3±2❑ √2， 因为3=1+2且2=1×2， ∴3±2❑ √2=(❑ √1) 2+(❑ √2) 2±2❑ √1×❑ √2∴❑ √3±2❑ √2=¿1± ❑ √2∨¿， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成❑ √a±2❑ √b的形式，且能找到m， n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二 次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：❑ √5±2❑ √6=___________，❑ √12±2❑ √35=___________； (2)化简：❑ √9±6 ❑ √2； (3)计算：❑ √3−❑ √5+❑ √2± ❑ √3． 【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答； （2）把6 ❑ √2变形成2❑ √18，仿照阅读材料的方法可得答； 1 （3）将❑ √5变形成2❑ √ 5 4 ，❑ √3变形成2❑ √ 3 4 ，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答． 【详解】（1）解：❑ √5±2❑ √6= ❑ √(❑ √3± ❑ √2) 2=❑ √3± ❑ √2， ❑ √12± ❑ √2❑ √35= ❑ √(❑ √7± ❑ √5) 2=❑ √7± ❑ √5， 故答为：❑ √3± ❑ √2，❑ √7± ❑ √5； （2）❑ √9±6 ❑ √2=❑ √9±2❑ √18= ❑ √(❑ √6± ❑ √3) 2=❑ √6± ❑ √3； （3）❑ √3−❑ √5+❑ √2+❑ √3 ¿ ❑ √3−2❑ √ 5 4 + ❑ √2+2❑ √ 3 4 ¿ ❑ √(❑ √ 5 2−❑ √ 1 2 ) 2 + ❑ √(❑ √ 3 2 +❑ √ 1 2 ) 2 ¿ ❑ √ 5 2−❑ √ 1 2 +❑ √ 3 2 +❑ √ 1 2 ¿ ❑ √10+❑ √6 2 ， 同理可得 ❑ √3−❑ √5+❑ √2−❑ √3= ❑ √10+❑ √6−2❑ √2 2 ． 2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如3+2❑ √2=(1+❑ √2) 2，善于思考的小明进行了以下探索： 若设a+b ❑ √2=(m+n ❑ √2) 2=m 2+2n 2+2mn ❑ √2（其中a、b、m、n均为整数），则有 a=m 2+2n 2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b ❑ √2的式子化为平方式的方法， 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若a+b ❑ √7=(m+n ❑ √7) 2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b， 得：a=¿______，b=¿______； (2)若a+6 ❑ √3=(m+n ❑ √3) 2，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简下列格式： ①❑ √5+2❑ √6 ②❑ √7−2❑ √10 ③❑ √4−❑ √10+2❑ √5+ ❑ √4+❑ √10+2❑ √5． 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、表示出、b； （2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用、m、均为正整数得到m=1，n=3或m=3， n=1，然后利用a=m 2+3n 2计算对应的值； （3）设❑ √4−❑ √10+2❑ √5+ ❑ √4+❑ √10+2❑ √5=t，两边平方得到t 2=4−❑ √10+2❑ √5+4 1 +❑ √10+2❑ √5 +2❑ √16−(10+2❑ √5)，然后利用（1）中的结论化简得到t 2=6+2❑ √5，最后 把6+2❑ √5写成完全平方形式可得到t 的值． 【详解】（1）设a+b ❑ √7=(m+n ❑ √7) 2=m 2+7n 2+2mn ❑ √7（其中、b、m、均为整数）， 则有a=m 2+7n 2，b=2mn； 故答为：m 2+7n 2，2mn； （2）∵6=2mn， ∴mn=3， ∵、m、均为正整数， ∴m=1，n=3或m=3，n=1， 当m=1，n=3时，a=m 2+3n 2=1 2+3×3 2=28； 当m=3，n=1时，a=m 2+3n 2=3 2+3×1 2=12； 即的值为12 或28； （3）①❑ √5+2❑ √6=❑ √3+2+2❑ √3×❑ √2=(❑ √3+❑ √2) 2=❑ √3+❑ √2 ②❑ √7−2❑ √10=❑ √5+2−2❑ √5×❑ √2=(❑ √5−❑ √2) 2=❑ √5−❑ √2 ③设❑ √4−❑ √10+2❑ √5+ ❑ √4+❑ √10+2❑ √5=t， 则t 2=4−❑ √10+2❑