专题19.8 一次函数全章七类必考压轴题（解析版）

专题198 一次函数全章七类必考压轴题 【人版】 1．（2022 秋·山西吕梁·八年级校考期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线 l 上，且点与点B 重合，如图①所示．△B 固定不动，将△′B′′在直线l 上自左向右平移．直到 点B′移动到与点重合时停止．设△′B′′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y 与x 之间的函数关系如图②所示，则△B 的直角边长是（ ） ．4❑ √2 B．4 ．3❑ √2 D．3 【答】 【分析】由当A ' B '与B 重合时，即x=m，此时B '走过的距离为m，重叠部分面积达到最 大值，为△A ' B 'C '的面积，结合题意即可求出m 的值．再根据，当A 'C '与重合时，此时 x=m+4．此时B '走过的距离为m+4，由此可求出B B '的长，从而可求出B 的长，进而即 可求出结果． 【详解】如图，当A ' B '与B 重合时，即点B '到达B 点，此时x=m．此时B '走过的距离为 m，即为B 'C '的长．且此时重叠部分面积达到最大值，为△A ' B 'C '的面积，大小为1． ∵△A ' B 'C '为等腰直角三角形 ∴S△A ' B 'C '=1 2 A ' B '⋅A 'C '=1， ∴A ' B '=A 'C '=❑ √2， ∴B 'C '=❑ √2 A ' B '=2=m． 如图，当A 'C '与重合时，即点C '到达点，此时x=m+4．此时重叠部分面积即将变小，且 B '走过的距离为m+4． 根据情景确定函数图象 必考点1 1 ∴此时B B '=m+4−m=4． ∴BC '=B B '+B 'C '=4+m=4+2=6，即BC=6． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB= ❑ √2 2 BC= ❑ √2 2 ×6=3 ❑ √2． 故选． 【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的 关键是通过函数图象得到△A ' B 'C '平移过程中重合部分的形状． 2．（2022 秋·广东汕头·八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4 的菱形BD 中， ∠A=60°，点P 从点出发，沿路线→B→→D 运动．设P 点经过的路程为x，以点，D，P 为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y 与x 的函数关系的是（ ） A． B． B．． D． 【答】B 【分析】过点B 作BE⊥AD于点E，根据题意，得出AB=AD=BC=4，∠ABE=30°， 再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，得出AE=2，在利用勾股定理，得 出BE=2❑ √3，然后分三种情况：当点P 在线段B 上时，即0≤x ≤4时；当点P 在B 上运动 时，即4≤x ≤8；当点P 在线段D 上时，即8≤x ≤12，进行讨论，即可得出结论． 【详解】解：如图1，过点B 作BE⊥AD于点E， ∵在边长为4 的菱形BD 中，∠A=60°， 1 ∴AB=AD=BC=4， ∴∠ABE=30°， ∴AE=2，BE=2❑ √3， 当点P 在线段B 上时，即0≤x ≤4时，如图2，过点P 作PF ⊥AD于点F， 则AP=x，AF=1 2 x，PF= ❑ √3 2 x， ∴S△ADP=1 2 ⋅AD⋅PF=1 2 ×4× ❑ √3 2 x=❑ √3 x， ∴△ADP的面积随x的增大而增大； 当点P 在B 上运动时，即4≤x ≤8， S△ADP=1 2 ⋅AD⋅BE=1 2 ×4×2❑ √3=4 ❑ √3， ∴△ADP的面积保持不变； 当点P 在线段D 上时，即8≤x ≤12，如图3，过点P 作PH ⊥AD交D 的延长线于点， ∴AB+BC+CP=x， ∴DP=12−x，DH=6−1 2 x，PH=❑ √3 DH=6 ❑ √3− ❑ √3 2 x， ∴S△ADP=1 2 ⋅AD⋅PH=1 2 ×4×(6 ❑ √3− ❑ √3 2 x)=12❑ √3−❑ √3 x， ∴△ADP的面积随x的增大而减小． 综上可得：当0≤x ≤4，y随x的增大而增大； 当4≤x ≤8时，y随x的增大而不变； 当8≤x ≤12时，y随x的增大而减小． 故选：B 【点睛】本题考查了动态问题与函数图象，涉及菱形的性质、含30°的直角三角形、勾股定 理、三角形的面积等知识点，解本题的关键在根据点P 运动的轨迹，分情况进行讨论． 3．（2022 春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，有一矩形ABCD，长 AD=2，宽AB=1, AB/¿ y轴，AD/¿ x轴．点D坐标为(3,1)，该矩形边上有一动点P， 沿A →B→C →D→A运动一周，则点P的纵坐标y p与点P走过的路程s之间的函数关系 用图象表示大致是( ) 1 ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据则点P 的纵坐标y 随点P 走过的路程s 之间的函数关系图象可以分为4 部分， 当P 点在B 上，当P 点在B 上，当P 点在D 上，点P 在D 上即可得出图象． 【详解】∵矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,矩形边上有一动点P，沿 A →B→C →D→A运动一周， ∴点P 的纵坐标y 随点P 走过的路程s 之间的函数关系图象可以分为4 部分， P ∴点在B 上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2， P 点在B 上，此时纵坐标为定值2． 当P 点在D 上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1， P 点在D 上，此时纵坐标为定值1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同 位置时的函数关系，进而得出图象． 4．（2022 秋·浙江金华·八年级统考期末）已知甲、乙两地相距24 千米，小明从甲地匀速 跑步到乙地用时3 小时，小明出发05 小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲 乙两地中点处的景区游玩1 小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地． 小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示． 1 （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时． （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S 随t 的增大而增大时，t 的取值范围是_ _____． 【答】 24 0≤t ≤0.5，0.75≤x ≤1，1.5 x ≤t ≤2 【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是a千米/小时，则第二段路程的速度为 1 2 a千米/小时, 根据题意建立分式方程解方程即可求解； （2）分析题意，结合函数图象可知，从0≤t ≤0.5时，两人的距离S 随t 的增大而增大，当 第一次相遇到小聪停下，S 随t 的增大而增大，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程 时，S 随t 的增大而增大． 【详解】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是a千米/小时，则第二段路程的速度为 1 2 a千米/小时, 根据题意得， 0.5+ 12 a +1+ 12 0.5a=3 解得a=24，经检验，a=24是原方程的解， 故答为：24 ∴第一段路程的速度为12千米/小时 （2）结合函数图象可知，从0≤t ≤0.5时，两人的距离S 随t 的增大而增大， 小明的速度为24 3 =8千米/小时 当第一次相遇时，8 x=24 (x−0.5) 解得x=0.75 当第一次相遇到小聪停下，此时0.75≤x ≤1， 当第二次相遇时，8 x=12 解得x=1.5 1 小聪开始骑行第二段路程时的时间为x=1+0.5=1.5， 当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S 随t 的增大而增大，此时1.5≤x ≤2． 当x>2时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随t 的增大而减小， 综上所述，0≤t ≤0.5，0.75≤x ≤1，1.5 x ≤t ≤2时，S 随t 的增大而增大， 故答为：0≤t ≤0.5，0.75≤x ≤1，1.5 x ≤t ≤2 【点睛】本题考查了分式方程的应用，函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 5．（2022 秋·重庆酉阳·八年级统考期末）为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙 两运动员相约晨练跑步．甲比乙早1分钟跑步出门，3分钟后他们相遇．两人寒暄2分钟后， 决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是180米/分，乙的速度是240米/分．练习5分钟 后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇．如图是甲、 乙之间的距离y（千米）与甲跑步所用时间t（分钟）之间的函数图象．问甲从他家出发到 他们再次相遇时，一共用了____________分钟． 【答】11 【分析】由图象可以看出，0-1m 内，甲的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3m 内，根 据等量关系“距离减小量=甲跑过的路程+乙跑过的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度 始终是180 米/分，乙的速度开始是240 米/分，则他们的速度之差是60 米/分，则5 分钟相 差400 米，设再经过t 分钟两人相遇，利用相遇问题得到180t+120t=400，然后求出t 后加 上前面的10 分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和． 【详解】甲出门时的速度v1=（540-440）=100（米/分）， 设乙出门时的速度为v2（米/分）， 根据题意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120 米/分， 甲的速度始终是180 米/分，乙的速度开始为240 米/分，他们的速度之差是60 米/分，5 分 钟相差300 米， 设再经过t 分钟两人相遇，则180t+120t=300，解得t=1（分） 所以甲从家出发到他们再次相遇时5+5+1=11（分）． 1 故答为：11． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相 遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键． 6．（2022 春·山东青岛·八年级统考期末）图①长方形BD，B＝20m，B＝16m，点P 从点 出发，沿－Ｂ－－D 的路线以每秒2m 的速度匀速运动，到达点D 时停止运动．图②是点 P 出发x 秒时，△APD的面积S (cm 2)与时间x (s)的关系图象． (1)根据题目提供的信息，求出，b，的值； (2)写出点P 距离点D 的路程y（m）与时间x（s）的关系式： (3)点P 出发几秒时，△PD 的面积是长方形BD 面积的1 5？ 【答】(1)=160；b=18；=28 (2)y=¿ (3)4 秒或24 秒 【分析】（1）根据△DB 的面积求出的值；再根据时间=路程÷速度求出b 的值，再根据 =10+b 求出的值； （2）分0≤x≤10，10＜x≤18，18＜x≤28 三种情况，分段写出y 与x 的关系式即可； （3）先求出矩形面积，再根据△PD 的面积是长方形BD 面积的1 5，求出x 的值即可． （1） 解：由图②知，当x=10 时，P=10×2=20（m）， 此时点P 与点B 重合， ∴S△DP=S△DB=1 2B•D=1 2×20×16=160（m2）， =160 ∴ ； 当点P 在B 边上运动时，△DP 的面积为定值160 不变， ∵B=D=16m， 1 ∴b=10+16 2 =18； ∵D=B， ∴点P 在D 上运动的时间与在B 上运动时间相同， =10+8+10=28 ∴ ； （2） ①当0≤x≤10 时，如图甲所示： 由勾股定理可得：DP=❑ √A D 2+ A P 2， ∴y=❑ √16 2+(2 x ) 2= ❑ √4 x 2+256； ②当10＜x≤18 时，如图乙所示： 由勾股定理可得：DP=❑ √DC 2+C P 2， ∴y=❑ √20 2+(36−2 x ) 2= ❑ √4 x 2−144 x+1696； ③当18＜x≤28 时，点P 在D 上运动，此时DP=B+B+D-（B+B+P）=D-P， ∴y=20-2（x-18）=-2x+56． 综上所述，点P 距离点D 的路程y（m）与时间x（s）的关系式为： y=¿； 图甲 图乙 （3） ∵D=16m，B=20m， ∴矩形BD 的面积为20×16=320（m2）， 当△PD 的面积是长方形BD 面积的1 5时，S△PD=1 5S 矩形BD=1 5×320=64（m2）， 当0≤x≤10 时，SPD=1 2D•P=1 2×16×2x=64， 解得：x=4， 根据矩形的性质和点P 的运动过程可知，当x=28-4=24 时，△PD 的面积是长方形BD 面积 的1 5， 1 ∴点P 出发4 秒或24 秒时，△PD 的面积是长方形BD 面积的1 5． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读 懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1．（2022 秋·广东佛山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别 交x轴，y轴于点、B．另一条直线CD与直线AB交于点C (a,6)，与x轴交于点D (3,0)，点 P是直线CD上一点（不与点C重合）． (1)求a的值． (2)当△APC的面积为18 时，求点P的坐标． (3)若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点 M，交y轴于点N，当∠BMN=90°时，求△BMN的面积． 【答】(1)a=5 (2)P点坐标为(2,−3)或(8,15) (3)S△BMN=25 4 【分析】（1）将点C (a,6)代入y=x+1即可求出的值； （2）先根据待定系数法求出CD的解析式，然后设P (m,3m−9)，求出A (−1,0)，B (0,1)， 得出AD=3−(−1)=4，求出S△ADC=1 2 ×4×6=12，分m<3，3≤m<6，m>6三种情况 讨论，得出答即可； （3）过M作MH ⊥BN，设M (m,3m−9)，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质， 求出m 的值，得出MH=5 2，BN=5，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】（1）解：将C (a,6)代入y=x+1， 三角形的面积与一次函数 必考点2 1 6=a+1， a=5． （2）解：设直线CD解析式为y=kx+b， 将C (5,6)、D (3,0)代入得： ¿，解得：¿， ∴直线CD: y=3 x−9， 设P (m,3m−9)， 把y=0代入y=x+1得：x+1=0，解得：x=−1， 把x=0代入y=x+1得：y=1， ∴A (−1,0)，B (0,1)， ∴AD=3−(−1)=4， ∴S△ADC=1 2 ×4×6=12， ①如图1，m<3时， S△APC=S△ADC+S△ADP， 18=12+ 1 2 ×4×[−(3m−9)]， 解得：m=2， ∴P (2,−3)， ②3≤m<6时，△APC的面积不可能为18， ③如图2，m>6时， 1 S△APC=S△ADP−S△ADC， 18=1 2 ×4× (3m−9)−12， 解得：m=8． ∴P (8,15) 综上，P点坐标为(2,−3)或(8,15)． （3）解：如图3，过M作MH ⊥BN， 设M (m,3m−9)， ∵A (−1,0)，B (0,1)， ∴OA=OB=1， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∵AB∥MN， ∴∠MNB=∠OBA=45°， ∵∠BMN=90°， ∴∠MNB=∠MBN=45°， ∴MB=MN， 1 ∵MH ⊥BN， ∴BH=HN，∠BMH=NMB=45°， ∴BH=NH=MH=m， ∵OB=1，OH=−(3m−9)=9−3m， ∴m=1+(9−3m)， 解：m=5 2， ∴MH=5 2，BN=5， ∴S△BMN=1 2 ×5× 5 2=25 4 ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三 角形面积公式，解题的关键是作出图形，注意分类讨论． 2．（2022 秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知直线B 经过点(1,−2)，且与x 轴交于 点A (2,0)，与y 轴交于点B，作直线B 关于y 轴对称的直线B 交x 轴于点，点P 为的中点． (1)求直线B 的函数表达式和点B 的坐标； (2)若经过点P 的直线l 将△ABC的面积分为1:3的两部分，求所有符合条件的直线l 的函 数表达式． 【答】(1)y=2 x−4．点B 的坐标为(0,−4 ) (2)y=−4 x−4或y=−4 7 x−4 7 【分析】（1）设直线B 的函数表达式为y=kx+b (k ≠0)．将点(1,−2)，(2,0)代入列出方 程组求解即可； （2）分两种情况讨论：①当直线l 经过点B 时，②当直线l 与B 的交点D 在第四象限时， 分别进行讨论，求出直线l 的函数表达式． 【详解】（1）设直线B 的函数表达式为y=kx+b (k ≠0)． ∵直线B 经过点(1,−2)，(2,0)， 1 ∴¿，解得¿， ∴直线B 的函数表达式为y=2 x−4． 将x=0代入y=2 x−4中，得y=−4， ∴点B 的坐标为(0,−4 )． （2）①当直线l 经过点B 时，如图1． ∵直线B 和直线B 关于y 轴对称，且点、都在x 轴上， ∴OA=OC=2，即C (−2,0)． ∵P 为的中点， ∴P (−1,0)，AP=3CP， ∴S△BCP:S△BAP=1:3． 设此时直线l 的函数表达式为y=m1 x+n1(m1≠0)． 将点P (−1,0)、B (0,−4 )代入，得 ¿，解得¿， ∴此时直线l 的函数表达式为y=−4 x−4； ②当直线l 与B 的交点D 在第四象限时，如图2． 易得S△ABC=1 2 AC ⋅OB=1 2 ×4×4=8． ∵直线l 将△ABC的面积分为1:3的两部分， 1 ∴S△APD= 1 4 S△ABC=2，即1 2 ⋅AP⋅|y D|=2， ∴1 2 ×3×|y D|=2，解得|y D|= 4 3 ， ∴y D=−4 3 ． 将y=−4 3 代入y=2 x−4，得x= 4 3 ， ∴点D 的坐标为( 4 3 ,−4 3)． 设此时直线l 的函数表达式为y=m2 x+n2(m2≠0)． 将点D( 4 3 ,−4 3)、P (−1,0)代入，得 ¿，解得¿， ∴此时直线l 的函数表达式为y=−4 7 x−4 7 ． 综上所述，所有符合条件的直线l 的函数表达式为y=−4 x−4或y=−4 7 x−4 7 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数的图 象及性质，分类讨论是解题的关键． 3．（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，Rt △ABC，∠ACB=90°，AC=BC， 已知点A和点C的坐标分别为(0,2)和(−1,0)，过点A、B的直线关系式为y=k