42讲 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用 02（教师版） 2023年初中物理自主招生讲义68讲

第1 页/ 共49 页 初中物理自主招生讲义42 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用 02 一．力臂的画法（共1 小题） 1．如图，杠杆在力F1F2的作用下处于静止状态，L2是F2的力臂。在图中画出力F1的力臂 L1以及阻力F2， 答与解析：过支点作垂直于动力作用线的垂线段即L1，过力臂L2的末端作垂直于力臂 的力即阻力F2，根据杠杆的转动方向，第一个图中F2的方向向上，第二个图中F2的方 向向下，如图所示： 二．杠杆的平衡条件（共25 小题） 2．用细绳系住厚度不均匀的木板的处，木板恰好处于静止状态，且上表面保持水平．如图 所示，两玩具车同时从点附近分别向木板的两端匀速运动，要使木板在此过程始终保持 平衡，必须满足的条件是（ ） ．两车的质量相等 B．两车的速度大小相等 第1 页/ 共49 页 ．质量较小的车速度较大 D．两车同时到达木板两端 答与解析： 木板原来是平衡的，两玩具车同时从点附近分别向木板的两端匀速运动， 若保持木板平衡根据杠杆的平衡条件：G1L1＝G2L2， 即：m1v1t＝m2v2t， m1v1＝m2v2， 、两车的质量相等，速度不同则不能平衡，故错误； B、车的速度大小相等，质量不同不能平衡，故B 错误； 、质量较小的车速度较大，故正确； D、须满足 与两端距支点距离 相等才能平衡，故D 错误． 故选：． 3．如图所示，一根木棒B 在点被悬挂起来，＝，在、两点分别挂有两个和三个相同的钩 码，木棒处于水平平衡。如在木棒的、两点各增加一个同样的钩码，则木棒（ ） ．绕点顺时针方向转动 B．绕点逆时针方向转动 ．平衡被破坏，转动方向不定 D．仍保持平衡 答与解析：由题知，＝B，两边的力不同，说明杠杆的重心不在点，因为右边受到的力 大于左边受到的力，所以杠杆的重心在点的左侧。 设杠杆的重心在D，一个钩码重为G，如图： 由题意：杠杆原来平衡，则F 左+G0×D＝F 右， 2G×+G0×D＝3G×， G0×D＝G×＝G× 第1 页/ 共49 页 再各加一个钩码后： 左边力和力臂的乘积为3G×+G0×D＝3G×+G×＝4G×， 右边力和力臂的乘积为4G×＝4G×， 可见，增加钩码后两边力和力臂的乘积相等，所以杠杆仍平衡。 故选：D。 4．如图所示，为杠杆M 的支点，M：＝3：4，物块和B 分别挂在M、两端，杠杆恰好平 衡，已知物块、B 的体积之比为2：1，则、B 两物体物质的密度之比是（ ） ．3：2 B．4：3 ．2：3 D．3：4 答与解析： F ∵ 1L1＝F2L2， G•M ∴ ＝GB•， mg•M＝mBg•， m•M＝mB• ∴ ， ＝ ＝ ， ∵ρ＝ ∴ ， ＝ ＝ × ＝ × ＝ 。故选：。 5．如图所示为等刻度轻质杠杆，处挂2 牛的物体，若使杠杆在水平位置平衡，则在B 处施 加的力（ ） ．可能为05 牛 B．一定为1 牛 第1 页/ 共49 页 ．可能为2 牛 D．一定是4 牛 答与解析：根据杠杆平衡的条件求出在B 处施加最小的力为： F1L1＝F2L2 由题意可知，只有杠杆自重等不计，力的方向与杠杆垂直时，力的大小才是1，但如果 力的方向与杠杆不垂直，力臂变小，力增大，则力将会大于1，即有可能是2。 故选：。 6．如图所示，一块厚度、密度均匀的长方形水泥板放在水平地面上，用一竖直向上且作用 点分别在长和宽中点的力，欲使其一端抬离地面，则（ ） ．F 甲＞F 乙 B．F 甲＜F 乙 ．F 甲＝F 乙 D．无法比较 答与解析：两次抬起水泥板时的情况如图所示： 在上述两种情况下，动力克服的都是水泥板的重力，对于形状规则质地均匀的物体，其 重心都在其几何中心上，所以阻力臂都等于动力臂的 。 由FL 动＝GL 阻可得，F＝ ＝ G，所以前后两次所用的力相同，即F 甲＝F 乙。 故选：。 7．如图，杠杆的两端各挂质量相等的钩码几个，杠杆水平平衡，若将悬挂点同时向点移动 2 格，则杠杆将（ ） 第1 页/ 共49 页 ．仍保持平衡 B．左端下沉 ．右端下沉 D．无法判断 答与解析：设每个钩码的重力为G，每个小格的长度为L，若将悬挂点同时向点移动2 格，则： 左边＝2G×4L＝8GL；右边＝3G×2L＝6GL， 8GL＞6GL 所以杠杆的左端下沉。 故选：B。 8．一位跳水运动员，站在长为L，重可忽略的跳水板前端处（如图），此板由B、两个基 座固定，B 的长为 ，则基座B 和所受的作用力之比是（ ） ．1：1 B．2：3 ．3：2 D．2：1 答与解析：设人的重力是G，由杠杆平衡条件得： 以为支点，G•＝FB•B，即G×（L﹣ ）＝FB× ，FB＝2G， 以B 为支点，G•B＝F•B，即G×L＝FB× ，F＝3G，则FB：F＝2：3； 故选：B。 9．如图所示：是运动员利用器械进行训练的示意图，其中横杆B 可绕固定点在竖直平面 内转动，：B＝4：5，系在横杆端的细绳通过滑轮悬挂着物体M．运动员小强站在水平 地面上时，对地面的压强为11000P，当他用力举起横杆B 端恰好使B 在水平位置平衡 时，他对横杆B 端竖直向上的作用力F1为300，此时他对水平地面的压强是16000P，若 在物体M 下面再加挂物体，小强需要用更大的力举起横杆B 端，当B 在水平位置再次 平衡时，他对横杆B 端竖直向上的作用力为F2，他对水平地面的压强为33000P，此时 细绳对横杆端的拉力为F3 ，根据上述条件，下列计算结果正确的是（ ）（g ＝10/kg，横杆B 与绳的质量均忽略不计） 第1 页/ 共49 页 ．物体M 的质量为375 千克 B．小强的质量为65 千克 ．F2的大小为1020 D．F3的大小为1650 答与解析：、动力×动力臂＝阻力×阻力臂 300×5＝G 物×4 G 物＝375 m 物＝ ＝ ＝375kg，故错误； B、S＝ ＝ ＝006m2 G 人＝PS＝11×104P×006m2＝660 m 人＝ ＝ ＝66kg，故B 错误； 、当他对横杆B 端竖直向上的作用力为F2，对地的压力： F＝F2+G， F2＝F G ﹣＝P2S PS ﹣ ＝33000P×006m2 11000P×006m ﹣ 2＝1320，故错误； D、由杠杆平衡的条件可得： 动力×动力臂＝阻力×阻力臂 1320×5＝F3×4 F3＝1650 故D 正确。 故选：D。 10．如图所示，一根均匀木尺放在水平桌面上，它的一端伸出桌面的外面，伸到桌面外面 的部分长度是木尺长的1/4，在木尺末端的B 点加一个作用力F，当力F＝3 牛时，木尺 的另一端开始向上翘起，那么木尺受到的重力为（ ） 第1 页/ 共49 页 ．3 牛 B．9 牛 ．1 牛 D．2 牛 答与解析：设直尺长为L 从图示可以看出：杠杆的支点为，动力F＝3，动力臂B＝ L； 阻力为直尺的重力G，阻力臂＝ L﹣ L＝ L。 由杠杆平衡的条件得： F×B＝G×， 即：3× L＝G× L， G ∴＝3。 故选：。 11 ．图中所示杠杆处于平衡状态（ ） ．将处砝码移到，B 处砝码移到D 时，杠杆重新达到平衡 B．将、B 两处砝码各减掉一个时，杠杆仍保持平衡 ．将处砝码移到E，B 处砝码增加两个时，杠杆重新达到平衡 D．将B 处砝码移到F，并增加一个砝码时，杠杆重新达到平衡 答与解析：钩码个数×格数可代表力×力臂。 、左边：4×3，右边：2×5，左边下倾。 B、左边：3×2，右边：1×4，左边下倾。 、左边：4×4，右边：4×4，杠杆平衡。 D、左边：4×2，右边：3×3，右边下倾。 第1 页/ 共49 页 由杠杆平衡条件可得，在选项的操作中，杠杆可以平衡。 故选：。 12．重为G1的金属块静止在水平地面上时，对地面的压强为45×104P；现将金属块用细绳 挂在轻质杠杆的端，B 端悬挂重为G2的物体，如图所示。当杠杆在水平位置平衡时，金 属块对地面的压强为3×104P，已知B 端所挂物体的质量为4kg，：B＝2：3．要使金属 块离开地面，则（g 取10/kg ）（ ） ．轻质杠杆B 端所挂物体的质量至少为5kg B．金属块对地面的压强只需减少15×104P ．只需移动支点的位置，使支点左右两侧的力臂之比为2：9 D．只需移动支点的位置，使支点左右两侧的力臂之比为5：1 答与解析：金属块静止在水平地面上，对地面的压强为45×104 P， 设地面的受力面积为S， 由压强公式p＝ 得： ＝45×104 P﹣﹣① B 端所挂物体的质量为4kg，：B＝2：3，由杠杆平衡条件得， ＝ ， 所以， ＝ ， 所以，F1＝60。 此时金属块对地面的压强为3×104 P，由压强公式p＝ 得： ＝3×104 P﹣﹣② 得，G1＝180。 （1）要使金属块离开地面，金属块的重力全部加在杠杆的端， 第1 页/ 共49 页 在杠杆B 端挂物体的质量为m，根据杠杆平衡条件得， ＝ ， 所以， ＝ ， 解得，m＝12kg。 所以要使金属块离开地面，在杠杆B 端挂物体的质量为12kg。 （2）B 端所挂物体的质量为4kg，金属块对地面的压强为3×104 P，要使金属块离开地 面，金属块对地面的压强只需减少3×104P。 （3）B 端所挂物体的质量为4kg，要使金属块离开地面，杠杆端和B 端杠杆受到力的比 值是 ＝ ＝ ，所以使支点左右两侧的力臂之比为2：9。 故选：。 13．如图所示，B 为一轻质杠杆，为支点，B＝2，B 两端分别悬挂实心铜球和实心铁球， 杠杆在水平位置平衡，若将两球同时浸没在某液体中，液体的密度小于铜和铁的密度， ρ 铜＞ρ 铁 ，则（ ） ．杠杆仍能保持平衡 B．铜球一端下降 ．铁球一端下降 D．液体密度未知，故无法判断哪端下降 答与解析：如图，杠杆处于平衡状态，根据杠杆平衡条件得， ×G 铜＝B×G 铁， ×ρ 铜gV 铜＝B×ρ 铁gV 铁， 所以， ＝ ，所以，V 铜＝ 。 当两球同时浸没在某液体中， 第1 页/ 共49 页 杠杆左端：×（G 铜﹣F 浮铜）＝×G 铜﹣×F 浮铜＝×G 铜﹣×ρ 液gV 铜＝×G 铜﹣×ρ 液g ＝×G 铜﹣B×ρ 液g ﹣﹣① 杠杆右端：B×（G 铁﹣F 浮铁）＝B×G 铁﹣B×F 浮铁＝B×G 铁﹣B×ρ 液gV 铁﹣﹣② 比较①和②式， 因为×G 铜＝B×G 铁，ρ 铁＜ρ 铜， 所以①＞②，所以杠杆的左端下沉。 故选：B。 （多选）14．塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400k，悬臂长度为L＝10m，平衡 块重G＝200k ′ ，平衡块与中心线的距离可在1m 到6m 间变化，轨道、B 间的距离为 4m。当平衡块离中心线1m，右侧轨道对轮子的支持力FB是左侧轨道对轮子支持力F 的 2 倍，下列说法正确的是（ ） ．机架重心离中心线的距离为15m B．该起重机最多能吊起的重物不能超过225k ．起重机的平稳度与轨道的间距无关 D．当起重机挂钩在离中心线'的距离为10m 处吊起重为G＝100k 的重物时，平衡块 离'的距离为6m，此时轨道B 对轮子的作用力FB＝450k 答与解析： 、由图知，左、右两侧轨道对轮子的作用力F、FB： 第1 页/ 共49 页 由于空载时合力为零：F+FB＝P+G＝4×105+2×105＝6×105， 已知：FB＝2F，则F＝2×105，FB＝4×105， 以左侧轮为支点，设机架重心离中心线的距离为L，由杠杆平衡条件可知： FB×4m＝G×（2m 1m ﹣ ）+P×（2m+L）， 即：4×105×4m＝2×105×（2m 1m ﹣ ）+4×105×（2m+L）， 解得：L＝15m，故正确； B、起重臂拉起重物时的力臂是不变的，而平衡块可以移动，平衡块的重力不变，根据 杠杆的平衡条件GL1+PL2＝GLG可知，当平衡块在最左端时，以右侧轮为支点，平衡块 的力臂最大，吊起的物体的重力最大，所以： 2×105×（6m+2m）+4×105×（2m 15m ﹣ ）＝G 最大×（10m 2m ﹣ ）， 解得最大重力为：G 最大＝225×105＝225k，故B 正确； 、起重机的平稳度与轨道的间距有关，间距越大，支持面越大，稳度越高，故错误； D、当起重机挂钩在距离中心线10 米处吊起重G＝1×103的重物时，以左侧轮为支点， 根据杠杆的平衡条件可知： G×（6m 2m ﹣ ）+FB×4m＝P×（2m+15m）+G×（10m+2m） 即：2×105×（6m 2m ﹣ ）+FB×4m＝4×105×（2+15）+1×105×（10m+2m） 解得：FB＝45×105＝450k，故D 正确。 故选：BD。 15．有四条完全相同的刚性长条薄片B（＝1，2，3，4），其两端下方各有一个小突起， 薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突 起B 搭在碗口上，另一小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一 个质量为2m 的小物体放在薄片4B4上的一点，这一点与3、4的距离相等，则薄片4B4中 点受3 的压力是 02mg 。 答与解析：设3对4B4的压力为F，根据杠杆平衡的原理和力的作用是相互的，2对3B3的 第1 页/ 共49 页 压力为2F，1对2B2的压力为4F，4对1B1的压力为8F，那么1B1对4B4的压力为8F，以 B4为支点，根据杠杆平衡的条件可得： 8F×4＝2mg×3+F×2 F＝02mg。 故答为：02mg。 16．老王对汽车的发动机做检修时要将引擎盖拉起，他很想知道引擎盖的质量。于是找小 明帮忙，小明先让老王站在一只体重计上，此时体重计显示的读数为83kg，接着让老王 站在体重计上用双手竖直将引擎盖微微抬起，此时体重计显示的读数为103kg，最后画 出了引擎盖的模型。引擎盖可绕点自由转动，为引擎盖重心位置，并且测得B＝130m， B＝50m 据此回答： （1）引擎盖的质量为 20 kg。 （2）如果一直让老王用双手竖直向上匀速抬起引擎盖，体重计显示的读数将 不变 “ ” “ ” “ ” （选填增大、不变或减小）。 答与解析：（1 △ ）由题意知，体重计的示数变化为：m＝103kg 83kg ﹣ ＝20kg； 可知老王所受压力：F 压 △ ＝mg＝20kg×10/kg＝200； 根据力的作用的相互性，F＝F 压＝200； 根据杠杆的平衡条件，G×＝F×B 则G＝ ＝ ＝325； 则引擎盖的质量为：m＝ ＝ ＝325kg； （2）如果一直让老王用双手竖直向上匀速抬起引擎盖，根据杠杆的平衡条件，G×sθ＝ F×Bsθ，盖的重力不变，动力臂和阻力臂的比值不变，所以力F 不变，对体重计的压力 不变，则体重计显示的读数将不变。 第1 页/ 共49 页 故答为：（1）325；（2）不变。 17．如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒 长为3R，重为G．木棒的端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不 计。现用一水平推力F 作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动。当木 棒与地面的夹角θ＝30°时，柱体对木棒的支持力为 G 。 答与解析：如图示，重力的力臂LG＝ sθ＝ s30°＝ × ＝ ， 柱体与木棒的弹力力臂L＝ ＝ R， 由杠杆的平衡条件，得：GLG＝FL， 柱体对木棒的支持力：F＝ ＝ ＝ G。 故答为： G。 18．小翔同学利用课余时间制作图示一款捕鼠器。将一块木板用铰链固定在桌边的点，木 板能绕点转动，食饵放于点，的下方放一水桶，木板经打蜡后，很光滑。捕鼠器的工作 原理是 杠杆平衡条件 ，木板的重心位于 略偏点右侧 “ ” “ （选填点、略偏点左 ” “ ” 侧或略偏点右侧）。 答与解析：捕鼠器的工作原理是杠杆的平衡条件，木板的重心位于略偏点右侧，木板能 静止在桌子上，当老鼠沿木板到点吃食饵时，破坏木板的平衡，使木板转动掉入水桶 中。 故答为：杠杆平衡条件，略偏点右侧。 第1 页/ 共49 页 19．如图所示装置中，杠杆和滑轮的重力及滑轮的摩擦均可忽略不计，杠杆B 可以绕点在 竖直平面内自由转动，端通过竖直方向的轻绳与滑轮组相连，在B 端用一轻绳沿竖直方 向将杠杆拉住，使其始终保持水平平衡。在滑轮组的下方，悬挂一圆柱形的物体，此物 体被浸在圆柱形容器内的液体中。已知杠杆点两侧的长度关系为＝2B，圆柱形物体的底 面积为10m2、高为12m，圆柱形容器的底面积为50m2．若容器中的液体为水，在水深 为20m 时物体的上表面恰与水面相平，此时杠杆B 端绳上的拉力为F1；打开圆柱形容 器下方的阀门K，将水向外释放，直到物体露出水面的体积为其总体积的2/3 时，将阀 门K 关闭，此时杠杆B 端绳上的拉力为F2，且F1：F2＝3：5．若容器中液体为某种未 知液体，其质量与最初容器中的水的质量相等，此时未知液体的深度为18m，杠杆B 端 绳上的拉力为F3．（取g＝10/kg） 求： （1）圆柱形物体的密度； （2）未知液体的密度； （3）作用在B 端的拉力F3大小；（小数点后保留两位） （4）未知液体对圆柱形容器底部的压强。 答与解析： （1）设放水前后作用在端绳子的拉力分别为F1′、F2′，圆柱体的体积为和密度分别为 V、ρ，则 F1×B＝F1′× F2×B＝F2′× 由上面两个式子可得 ＝ ＝3：5 ① ρ 水Vg+3F1′＝G＝ρVg ② Vg+3F2′＝G＝ρVg ③ 第1 页/ 共49 页 联立①②③得圆柱体的密度ρ＝2ρ 水＝2×10g/m3＝2g/m3。 （2 ）水的体积是V 水＝50m2×20m 10m ﹣ 2×12m＝880m3， 未知液体的体积是V＝50m2×18m 10m ﹣ 2×10m＝800m3， 由于质量相等，ρ 水V 水＝ρV ，故未知液体的密度 ρ 液＝ ＝ ＝11g/m3。 （3 ）F3 ＝ × （G F ﹣ 浮）＝2× （2×103kg/m3×10/kg×10×12×10 6 ﹣m3﹣ 11×103kg/m3×10/kg×10×10×10 6 ﹣m3 ≈ ） 087。 （4）P＝ρ 液g＝11×103kg/m3×10/kg×018m＝1980P。 答：（1）圆柱形物体的密度为2g/m3； （2）未知液体的密度为11g/m3； （3）作用在B 端的拉力F3 大小为087； （4）未知液体对圆柱形容器底部的压强为1980P。 20．如图（）所示，一根质量分布均匀的细直硬杆，长度为L，