版块12 简单机械 专题12-1　杠杆 （教师版） 初中物理尖子生自主招生培优讲义83讲

专题12-1 杠杆 知识· 解读 一、定义 杠杆指能绕某一固定点转动的硬棒。 注意：一切可以绕某固定点转动的刚性物体，都可以看成杠杆。 二、杠杆的五要素 支点、动力F1、阻力F2、动力臂L1、阻力臂L2。 注意：杠杆画力臂时，要先找支点，再画力的作用线，然后画从支点到力的作用线的垂 线。 三、平衡条件 1、杠杆的平衡状态指杠杆处于静止状态或匀速转动状态。 杠杆处于平衡状态时满足条件：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即F1×L1＝F2×L2。 2、力矩 表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。 力和力臂的乘积为力矩。 力矩是矢量。 符号为M。 表达式：M=FL 单 位；牛顿·米(·m) 多个力的杠杆平衡问题：M1+M2+… = M+MB+… 即：F1L1+F2L2+… = FL＋FBLB+… 四、杠杆的分类和应用 结构特征 特点 应用举例 动力臂＞阻力臂 省力、费距离 羊角锤、起瓶器、钢丝钳 动力臂＜阻力臂 费力、省距离 钓鱼竿、筷子、食品夹、船桨 动力臂=阻力臂 既不省力，也不费力 天平、定滑轮、跷跷板 五、研究杠杆的平衡条件实验 为了便于直接从杠杆上读出力臂的大小，可通过调节杠杆两端的平衡螺母使杠杆处于水 平平衡位置，此时钩码对杠杆的作用力方向与杠杆垂直。通过多次改变钩码数量和力臂 大小取得平衡并记录和处理实验数据，可得出杠杆平衡条件的结论。 第 1 页 / 共 33 页 典例· 解读 类型一：杠杆类型判断 例1、如图所示，是一种指甲刀的结构示意图，下列说法正确的是（ ） 、B 是一个省力杠杆 B、D 处刀刃较薄，可以增大压力 、杠杆B 上有粗糙的花纹，可以减小摩擦 D、指甲刀只有两个杠杆，一个省力杠杆，一个费力杠杆 类型二：最小力的作图 例2、在图中，画出使轻质杠杆保持平衡的最小的力F 的示意图（要求保留作 图痕迹）． 第 2 页 / 共 33 页 【答】． 【考点】杠杆的分类；摩擦力大小的影响因素；压强． 【解析】 （1 ）对于杠杆类型的判断可从动力臂与阻力臂的大小关系上入手； （2 ）压强的大小与压力的大小和受力面积的大小有关； （3 ）滑动摩擦力的大小与压力的大小和接触面的粗糙程度有关． 、对于B ，如图所示，在使用时，它的动力臂大于阻力臂，所以它是省力杠杆，符合题意； B 、在相同的压力下，D 处刀刃较薄，受力面积小，产生的压强大，压力的作用效果明显，并不是 压力增大了，不符合题意； 、杠杆B 上有粗糙的花纹，增大接触面的粗糙程度，可以增大摩擦，不符合题意； D 、指甲刀中有三个杠杆：B 、BD 、0ED ，其中B 是省力杠杆，其它两个都是费力杠杆，不符 合题意． 故选． 类型三：动态平衡（1）——再平衡问题 例3、重为G 的均匀木棒竖直悬于点，在其下端施一水平拉力F，让棒缓慢转 到图中虚线所示位置．在转动的过程中（ ） 、动力臂逐渐变大 B、阻力臂逐渐变小 、动力F 逐渐变大 D、动力F 逐渐减小 【答】． 【解析】（1）杠杆在转动的过程中符合杠杆平衡的条件，即阻力为硬棒的重力，大小不变，硬棒在 竖直位置时，重力的力臂为0，转过θ 角后，重力力臂（阻力臂）逐渐增大，故B 错； （2）当硬棒在竖直位置时，F 的力臂是杠杆的长度，且力臂最长，当杠杆转过θ 后，力与杠 杆不再垂直，所以动力臂变小，故错； （3）根据杠杆平衡的条件可得，阻力与阻力臂的乘积增大，而动力臂减小，所以动力逐渐增 大，故D 错误，正确． 故选． 例4、如图所示，一根质地均匀的木杆可绕点自由转动，在木杆的右端施加一个始终垂 直于杆的作用力F，使杆从位置匀速转到B 位置的过程中，力F 的大小将( ) 、一直是变大的 B、一直是变小的 、先变大，后变小 D、先变小，后变大 第 3 页 / 共 33 页 【解析】为支点，所以力作用在杠杆的最右端，并且力臂是支点到杠杆最右端的距离时， 力臂最长，此时的力最小．确定出力臂然后做力臂的垂线即为力F ．故答为： 【方法总结】 求最小动力，就是转化为找最长力臂问题。找最长力臂，一般分三种情况： (1) 在动力的作用点明确的情况下，就是以支点到力的作用点的连线作为力臂， 这个力臂最长，过力的作用点作力臂的垂线，正确确定力的方向从而作最小的力。 (2) 在动力作用点未明确规定时，首先应找出距支点最远的点作为动力作用点，然后再按(1) 的步骤 完成。 (3) 在支点不明确的情况下，首先要通过比较找出合适的支点，进而找到动力作用点，再按(1) 的步 骤完成。 【答】． 【解析】根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2分析，将杠杆缓慢地由最初位置拉到水平位置时，动力臂不变， 阻力不变，阻力力臂变大，所以动力变大． 当杠杆从水平位置拉到最终位置时，动力臂不变，阻力不变，阻力臂变小，所以动力变小． 故F 先变大后变小． 故选． 类型四：动态平衡（2）——不再平衡问题 例5、如图所示，杠杆处于平衡状态，如果将物体和B 同时向靠近支点的方 向移动相同的距离，下列判断正确的是( ) 、杠杆仍能平衡 B、杠杆不能平衡，右端下沉 、杠杆不能平衡，左端下沉 D、无法判断 由图示可知，＜D．所以m＞mB，当向支点移动相同的距离△L 时，两边的力臂都减小△L，此时左 边力与力臂的乘积：mg（-△L）=mg-mg△L； 右边力与力臂的乘积：mBg（D-△L）=mBgD-mBg△L，由于m＞mB，所以mg△L＞mBg△L； 由于mg-mg△L＜mBgD-mBg△L，所以杠杆将向悬挂B 物体的一端即右端倾斜． 故选． 方法二：极限法 如图观察到L＜LB,则可以让物体移动的距离等于L（假设移动距离为较短的力臂），即让端移动到 支点位置，而此时B 端没有到支点的位置，故右端下沉。 注意：力不变，力臂变的问题，移动物体后，会向原力臂长的一端下沉。这是杠杆不再平衡的一种 典型题。 例6、如图所示，将一轻质薄木板从中点支起，左右两侧 各有一支蜡烛，长短不同，此时薄木板恰好在水平位 置静止．同时点燃两支蜡烛，若两支蜡烛燃烧速度相 同，则过一会，薄木板（ ） 、仍在水平位置平衡 B、顺时针转动 、逆时针转动 D、条件不足，无法判断 第 4 页 / 共 33 页 【答】． 【解析】方法一：基本公式法 原来杠杆在水平位置处于平衡状态，此时作用在杠杆上的力分别为物体 、B 的重力，其对应的力臂分别为、D ，根据杠杆的平衡条件可得： mg=mBgD 【答】． 【解析】设左右两边的蜡烛质量分别为m 左、m 右， 杠杆在水平位置平衡，m 左g×L 左=m 右g×L 右 ① 两只蜡烛粗细相同，同时点燃，则燃烧速度相同， 两只蜡烛因燃烧减少的质量△m 相同，此时杠杆左右两端受到的力分别为（m 左-△m）g、（m 右- △m）g， 左边：（m 左-△m）gL 左=m 左g×L 左-△mgL 左 ② 右边：（m 右-△m）gL 右=m 右g×L 右-△mgL 右 ③ 由图可知：L 右>L 左，则△mgL 右>△mgL 左， ④ 根据①④可比较②③得：（m 甲-△m）gL 右<（m 右-△m）gL 左， 所以杠杆失去平衡，左端会下沉，故正确； 故选． 同学们也可以思考一下，极限法在此题中的应用。 类型五：杠杆自重问题 例7、一根粗细不均匀的木料放在地上，将其一端稍微抬 起，所需的力为80，将其另一端稍微抬起，所需的力 为320，则此木料重_____。 【答】400． 【解析】方法一：基本公式法 根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2分析，设木料全长为L,重力为G,其中用80 的抬时,其力臂为X, 例8、有根长2 米的木棍，一头粗一头细，在距粗端08 米处支住它刚好平衡。如在正中支 起，并在细端处加挂一个4 的重物，仍可平衡，则此木棍重_____。 第 5 页 / 共 33 页 此时重力的力臂为Y, 即重心到另一端的距离在另一端用120 力抬时, 其力臂是X, 此时重力的力臂为X-Y 列方程为： 80×X=G×Y 320×X=G× （X-Y ） 两式相除解之得 G=400 方法二：受力分析法 F1=80 ； F2=320 ， 根据力的平衡关系：G= F1+F2 即：G=80+320=400 F2 F1 类型六：不等臂杠杆问题（交换法测物体质量） 例9、如图所示为某商店里使用的一种放在水平 桌面上的秤示意图。它的工作原理与天平相 同，不过两臂长度不等。 (1) 由图可知，该秤秤杆的分度值为 _______g。 (2)现将游码放在秤秆的“零刻度线”处，把被测物体放在左边的秤盘中，当该砝码盘上 的槽码的质量为m1时，秤杆处于平衡状态；如果将被测物体和槽码对调位置，发现当 左边的秤盘中槽码的质量为m2时，秤杆又处于平衡状态，则被测物体的质量为______ _。 【答】(1)50；(2) ． 【解析】(1)由图知，秤秤杆是将200g 分成4 份，每一份为50g，则该秤秤杆的分度值为50g。 (2)设被测物体的质量为m，力臂为L1、L2。当把被测物体放在左边的秤盘中，由秤杆平衡 可得mgL1=m1gL2，即 ①， 如果将被测物体和槽码对调位置，由秤杆平衡可得m2gL1=mgL2，即 ②， 类型七：等效法巧解杠杆平衡问题 例10、如图所示，一根木棒B 在点被悬挂起来，＝，在、两点分别挂有两 第 6 页 / 共 33 页 【答】20 ． 【解析】方法一：分解法（把木头看作粗细两部分） 设木棍重 , 粗头重为x, 细头为y, 则在支点在08 时有：08x=(2-08)y, 可得到粗头与细头的重量比为x:y=12/08=3:2 所以x=3/5 y=2/5 所以支点在中央时, 有3/5×1=(2/5+4) ×1 可解得：x=20 方法二：整体法（把木头看作一个物体，找出木头重心） 设木棍重 G 。在距粗端08 米处支住它刚好平衡，说明这点是木棍的重心，即木棍的重心 距中间点02 米。 那么，支在正中时 G×02m=4×1m 解得：G=20 G 4 个和三个相同的钩码，木棒处于水平平衡。如在木棒的、两点各增加一个同样的钩码， 则木棒（ ） 、绕点顺时针方向转动 B、绕点逆时针方向转动 、仍保持平衡 D、平衡被破坏，转动方向不定 类型八：杠杆综合1——杠杆与浮力 例11、材料相同的甲、乙两个物体分别挂在杠杆、B 两端，为支点(＜ B)，如图所示，杠杆处于平衡状态．如果将甲、乙物体(不溶于水)浸 没于水中，杠杆将会( ) 、端下沉 B、B 端下沉 、仍保持平衡 D、无法确定 【答】． 【解析】根据杠杆平衡条件：G· = GB·B 因为＜B，所以G＞GB， 又∵甲乙为同种材料，故V＞VB。此为定性判断。 初始为平衡状态：G· = GB·B mg· = mBg·B ρVg· = ρV Bg·B 则有：V· = VB·B ① 放入水中后，对于甲物体：T1= mg-F 浮1= mg-ρ 水gV 则左侧的力矩M1= T1·= （mg-ρ 水gV）· = （ρVg -ρ 水gV）· ② 对于乙物体：T2= mBg-F 浮2= mBg-ρ 水gVB 则左侧的力矩M2= T2·B= （mBg-ρ 水gVB）·B = （ρvBg -ρ 水gVB）·B ③ 由①②③可得：M1= M2，则两端仍然平衡。 类型八：杠杆综合2——杠杆最小力与勾股定理 例12、如图所示，要想将重500、半径为05m 的车轮滚上高为20m 的台 第 7 页 / 共 33 页 【答】． 【解析】此题是一个典型的陷阱题，由于杠杆粗细不均匀，造成杠杆自重不能忽略，而且杠杆的自 重、重心、力臂等条件一概不知，对我们的思考造成了一定的阻碍。 此时不妨换个思路，既然= ，那么是否可以将其等效为一个等臂杠杆，杠杆的自重就相当于加 在端的一个钩码，杠杆原来平衡，则F 左=F 右， 再各加一个钩码后，力臂相同，两边增加的力和力臂的乘积相同， 根据杠杆平衡条件可知增加钩码后两边力和力臂的乘积相等， 所以杠杆平衡．故选 阶，其所用的最小力应是_______，标出支点，并画出最小推力F 类型八：杠杆综合3——多个力的杠杆平衡问题 例13、如图所示，有一粗细均匀，重为40，长为4m 的长木板B，置于支架上，支点为 0，且=1m，长木板的右端B 用绳子系住，绳子另一端固定在处，当长木板B 水平时， 绳与水平成30°的夹角，且绳子所能承受的最大拉力为60．一个重为50 的体积不计 的滑块M 在F=10 的水平拉力作用下，从之间某处以 V=1m/s 的速度向B 端匀速滑动，求： （1）滑块匀速运动时所受的摩擦力的大小？ （2）当滑块匀速运动时拉力F 做功的功率？ （3）滑块在什么范围内滑动才能使B 保持水平？ 第 8 页 / 共 33 页 【答】200 【解析】由图可知，L1=2R=1m ，F2=G=500 ， 根据杠杆平衡条件：F1×L1＝F2×L2，若要求F1， 只需求出L2即可。 观察如图可知，L2可根据直角三角形的勾股定理求得： L22= R2+ （R- ）2 代入数据解得：L2=04m ， 再将L1=1m ，F2= 500 ，L2=04m 代入：F1×L1＝F2×L2可解得：F1=200 G=50 0 F 【答】（1 ）滑块匀速运动时所受的摩擦力为10 ； （2 ）当滑块匀速运动时拉力F 做功的功率为10 ； （3 ）滑块在点左侧08m 到右测1m 范围内滑动才能使B 保持水平． 【解析】（1 ）滑块匀速运动时处于平衡状态，水平方向的拉力和受到的摩擦力是一对平衡力， 所以根据二力平衡条件可知：f=F=10 ； （2 ）当滑块匀速运动时拉力F 做功的功率： P=Fv=10×1m/s=10 ； （3 ）当M 在点左侧离点L1米， 且绳子的拉力T=0 ，则 GM•L1=G 木LD， D （1 ） M B 30° G M G 木 （1 ） M B 30° 类型九：等效法巧解重心问题 例14、如图是一均匀薄板，半径R=30m，现从板上挖掉一个r=15m 的内切 圆，试求剩余薄板的重心与大圆圆心的距离． 【答】5m． 【解析】因为是一均匀薄板， 故可设单位面积上圆木板的重力为G1， 根据杠杆平衡条件：F1×L1＝F2×L2， F1＝π（R2-r2）G1， F2＝πr2G1 π（R2-r2）G1·L1=πr2G1·15m 解得：L1= 5m 类型十：利用杠杆测密度 例15、如图所示，一根粗细均匀的木棒，把它的一端悬吊起来，另一段 放到水里，棒保持静止状态时，有全长的浸没在水中，求木棒的密 度？ 第 9 页 / 共 33 页 即50×L1=40×1m ， 解得：L1=08m ； 当M 在点右侧离点L2米时，且绳子的拉力T=60 ，则 GM•L2+G 木LD=T•LBs30°, 即50×L2+40×1m=60×3m×, 解得：L2=1m ， 故滑块在点左侧08m 到右测1m 范围内滑动才能使B 保持水平． （1 ） M B 30° G M G 木 D 1 类型十一：杠杆平衡条件的最值问题 例16、某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机 械，其中的一部分结构如图所示．是一个均匀钢管，每 米长所受重力为30；是转动轴；重物的质量m 为 150kg，挂在B 处，B=1m；拉力F 作用在点，竖直向 上．为维持平衡，钢管为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？（g 取10/ kg） 第 10 页 / 共 33 页 【答】075×103Kg/m3． 【解析】以为支点，则杠杆B 在重力G 和F 浮两个力的作用下处于平衡状态， 由图可知，L1＝L ，L2= LD L:LD=2:3, 根据杠杆平衡条件：F1×L1＝F2×L2， 计算可得：F 浮=G ① 又∵F 浮=ρ 水gV 排=ρ 水g×B·S （S 为木棒的横截面积） ② G=ρ 棒gV 排=ρ 棒g ·B·S ③ 由①②③解得：ρ 棒= 075×103Kg/m3 B G F 浮 D （1 ） B G F 【答】=10m 时，F=Fm=300． 【解析】由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为，阻力分别是重物G 物和钢管的重力G 钢管，阻力臂 分别是B 和， 重物的重力G 物=m 物g=150kg×10/kg=1500，钢管的重力G 钢管=30×， 由杠杆平衡条件F1L1=F2L2可得：F•=G 物•B+G 钢管• ， 则F•=1500×1m+30•• ， 得：F•=1500+15•（）2， 移项得： 15•（）2-F•+1500=0 ① 下面重点讨论取何值，F 最小，主要有：三种方法 方法一：配方法 ①式变形为F= ∵＞0，要使F 最小，则当=10m 时，F=Fm=300 方法二：判别式法 ①式中看作一个关于的一元二次方程，由于钢管的长度是确定的只有一个，所以该方程只能 取一个解，因此应该让根的判别式△=b2-4=0，因为当b2-4=0 时，方程有两个相等的实数 根，即有一个解， 则F2-4×15×1500=0， 则F2-90000=0， 得F=300， 将F=300 代入方程15•（）2-F•+1500=0， 解得=10m． 方法三：基本不等式:+b≥ 由①式得F=15•+ ≥ =300, 且当15•= 时， 培优· 训练 一、选择题 1、如图所示，一根铁棒在水平拉力F 的作用下，以点为转轴，由竖直逆 第 11 页 / 共 33 页 F M 时针匀速转向水平位置的过程中，动力F 与动力臂L 的大小变化（ ） 、F 增大，L 增大 B、F 减小，L 减小 、F 增大，L 减小 D、F 减小，L 增大 2、如图所示，杠杆的B 点挂着重物G，端用细绳挂在圆弧EF 上，此时恰成 水平，且点与圆弧形架EF 的圆心重合．当绳M 的M 端从E 点缓慢滑到F 点的过程中，绳对点拉力的大小将（ ） 、逐渐变大 B、逐渐变小 、先变大再变小 D、先变小再变大 3、在质量可忽略的杠杆的、B 两端各挂有体积相同的铜块和铝块（ρ 铜＞ρ 铝），支点在如 图所示的位置时，杠杆在水平位置保持平衡．在下列情况下，杠杆仍然在水平位置保持 平衡的是（ ） 、在铜块和铝块上各加一块质量相等的物体 B、将钢块和铝块同时向支点移动一小段相同的距离 、将铜块和铝块各切去体积相同的一小部分 D、将钢块和铝块同时浸没在水中 4、现有一台旧天平，虽然其两臂长不等长，但是可以设法将其