41讲 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用 01（教师版） 2023年初中物理自主招生讲义68讲

第1 页/ 共67 页 初中物理自主招生讲义41 杠杆及其五要素、探究杠杆的平衡条件、杠杆的动态平衡分析、杠杆的分类与应用 01 一．杠杆及其五要素（共2 小题） 【知识点的认识】 （1 ）杠杆定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆． 说明：① 杠杆可直可曲，形状任意． ② 有些情况下，可将杠杆实际转一下，来帮助确定支点．如：鱼杆、铁锹． （2 ）杠杆五要素﹣﹣组成杠杆示意图． ① 支点：杠杆绕着转动的点．用字母表示． ②动力：使杠杆转动的力．用字母F1 表示． ③阻力：阻碍杠杆转动的力．用字母F2 表示． 说明：动力、阻力都是杠杆的受力，所以作用点在杠杆上． 动力、阻力的方向不一定相反，但它们使杠杆的转动的方向相反 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离．用字母l1 表示． ⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离．用字母l2表示． 【命题方向】 在初中阶段有的地区直接考查要求画出力臂，有的地区对画力臂不做要求，虽然不做要 求，但实际上在解题中应当找到力臂，因此找力臂是重点又是难点． 例1：如图所示，开瓶盖的起子可以看作是一个杠杆，在图中能正确表示开瓶盖时，杠杆 的支点、动力和阻力的是（ ） ． B． ． D． 分析：（1）瓶盖紧紧的套在瓶口上，要使瓶盖打开，要克服瓶盖和瓶口之间的摩擦力，瓶 盖给起子的力是向下的，利用杠杆克服这个摩擦力． （2）动力F1使杠杆绕固定点转动，阻力F2阻碍杠杆转动，杠杆在动力和阻力的作用下， 保持静止状态或匀速转动状态． 解答：解：、要把瓶盖打开，要克服瓶盖和瓶口之间的摩擦力，瓶盖给起子的阻力是向下 的．不符合题意． B、瓶盖给起子的阻力是向下的．动力和阻力都使绕支点顺时针转动．不符合题意． 第1 页/ 共67 页 、瓶盖给起子的阻力是向下的．动力是起子绕支点逆时针转动，阻力绕支点顺时针转动． 符合题意． D、如图，动力和阻力都使起子绕支点逆时针转动．不符合题意．故选． 点评：（1）掌握杠杆的五个要素：支点、动力、阻力、动力臂、阻力臂． （2）起子的使用有两种方法：可以以前面为支点，也可以以后面为支点，（如图）只要能 克服瓶盖和瓶口之间的摩擦力就可以． 例2 ：如图所示，工人师傅将油桶推上台阶，下列说法正确的是（ ） ．这不能看作杠杆，因为油桶是圆的 B．这不能看作杠杆，因为没有支点 ．这可以看作杠杆，因为满足杠杆的所有条件 D．这可以看作杠杆，支点就是横截面的圆心 分析：本题主要考查对杠杆及其支点定义的记忆：能绕着固定点转动的硬棒叫杠杆；杠杆 绕着转动的点叫支点． 解：由图可知工人师傅将油桶推上台阶的过程中，在推力（可以看作动力）作用下，油桶 绕着与台阶的接触点转动，油桶的重力可以 看作阻力，因此满足杠杆的所有条件，可以看作杠杆．所以选项、B、D 的说法是错误 的． 故选． 点评：本题的解题关键是记住支点、杠杆的定义，体会推动油桶的过程，看其是否具备杠 杆的所有条件． 【解题方法点拨】 （1）用同一硬棒做杠杆，使用方法不同，支点位置也可能不同．如撬重物的撬棒的支点可 在棒的端点，也可在棒的中间某一点的位置上，如图． （2）作用在杠杆上的动力和阻力是相对而言的，可根据人们的需要来确定有时动力和阻力 的区别不明显．如人用扁担挑重物，可把重物作用于扁担一端的力作为动力．而重物作用 于扁担另一端的力为阻力．〔在动力作用下，杠杆可能静止，也可能转动．阻力与动力作 用效果相反，如果动力使杠杆顺时针转动，阻力必须使杠杆逆时针转动． 第1 页/ 共67 页 （3）力臂是支点到力的作用线的距离，不是支点到力的作用点的距离，即它是点到线的距 离而不是点到点的距离． （4）力臂有时在杠杆上，有时不在杠杆上．如果力的作用线恰好通过支点，则力臂为零． 1．如图所示，B 是以点为支点的杠杆，F 是作用在杠杆B 端的力。图中线段B 与力F 的作 ⊥ 用线在一条直线上，且 B ．线段 表示力F “” “ 的力臂。（选填 、B” “ 或B”） 答与解析： 由图可知，B 是力F ⊥ 的作用线， B，为支点到力F 的作用线的距离，所以线段表示力F 的力臂。 故答为：。 2．列车上有出售食品的手推车（如图所示）。若货物在车内摆放均匀，当前轮遇到障碍物 时，售货员向下按扶把，这时手推车可以视为杠杆，支点是 （写出字母）；当后轮 遇到障碍物时，售货员竖直向上提扶把，这时支点是 B 。手推车可以视为 省力 杠杆。 答与解析：（1）当前轮遇到障碍物时，售货员向下压扶手，手推车可看作杠杆，手推 车绕着点转动，是支点； 当后轮遇到障碍时，售货员向上提扶手，手推车绕着B 点转动，B 是支点； （2）当后轮遇到障碍物时，支点是B 点，当前轮遇到障碍物时，是支点，在这两种情 况下，阻力（手推车重力）与阻力臂相等，后轮遇到障碍物时的动力臂大于前轮遇到障 第1 页/ 共67 页 碍物时的动力臂，由杠杆平衡条件可知，在阻力与阻力臂一定时，动力臂越大，动力越 小，因此与前轮遇到障碍物时相比，此时较省力。 故答为：；B；省力。 二．力臂的画法（共4 小题） 【知识点的认识】 力臂的画法：（1）首先在杠杆的示意图上，确定支点． （2）画好动力作用线及阻力作用线，画的时候要用虚线将力的作用线适当延长． （3）在从支点向力的作用线作垂线，在垂足处画出直角，从支点到垂足的距离就是力臂． 用三角板的一条直角边与力的作用线重合，让另一条直角边通过交点，从支点向力的作用 线画垂线，作出动力臂和阻力臂，在旁边标上字母，l1和l2分别表示动力臂和阻力臂． 【命题方向】 力臂的画法，判断是什么力臂都是命题方向． 例1：如图是列车上售食品的手推车，当前轮遇到障碍物时，售货员向下按扶把，使手推 车前轮向上翘起，请画出售货员所用的最小动力及其力臂． 分析：首先应找到本题的支点在后轮的着地点；其次知道使手推车前轮向上翘起，阻力为 手推车的重力，阻力臂为支点到重力作用线的距离，阻力与阻力臂的乘积是定值；最后能 根据杠杆平衡条件，会用数学方法分析出动力臂最长时动力最小，能突破：支点到动力的 作用点的距离为动力臂时力臂最长． 解：支点在后轮的着地点如图，动力的作用点在手握车把的地方，连接支点与动力的作用 点，为最长的动力臂，用大括号标出，标上字母符号L； 在动力作用点处垂直动力臂斜向下画出动力，标上字母符号F，如图所示： 第1 页/ 共67 页 点评：本题常见的错误是将动力画得竖直向下，没有细致分析此时的动力臂并不是最大， 解决此类问题的关键点是：支点与动力作用点的距离为最长的动力臂． 例2：如图所示的杠杆中，动力的力臂用l 表示，图中所标力臂l 正确的是（ ） ． B． ． D． 分析：根据力臂的画法进行分析，即过支点作动力作用线的垂线段． 解：因为动力的力臂的做法是过支点作动力作用线的垂线段，而B 选项中线段与动力作用 线不垂直，所以、B 选项错误； 又因为选项中，表示力臂的不是支点到动力作用线的垂线段，故选项错误，D 选项正确． 故选D． 点评：考查学生对力臂的画法掌握情况． 【解题方法点拨】画杠杆示意图时应注意：（1）阻力作用点应画在杠杆上．有部分同学认 为阻力由石头的重力产生，所以阻力作用点应画在石头重心上，这是错误的． （2）确定阻力方向．当动力使杠杆绕支点顺时针转动时，阻力一定使杠杆逆时针转动． （3）力臂不一定在杠杆上．力臂可用虚线画出并用大括号标明，也可用实线画出． 3．如图所示，轻质杠杆可绕点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时， 杠杆的动力臂L 作图正确的是（ ） 第1 页/ 共67 页 ． B． ． D． 答与解析：由题知，杠杆的支点在处，绳的拉力沿绳方向画，从支点向力的作用线引垂 线，如图所示： 故选：。 4．如图所示，杠杆在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂，请在图中作出 F1的力臂L1和力F2。 答与解析：做力Fl的延长线，过支点做力F1作用线的垂线段L1，则线段L1为力F1的力 第1 页/ 共67 页 臂；过力臂L2 末端，作垂直于L2 直线，与杠杆的交点为力F2 作用点，方向斜向右上 方，如图所示： 5．如图所示，是轻质杠杆的支点，L1是使杠杆保持水平平衡的动力F1的力臂，请你画出 动力F1示意图（要求保留作图痕迹）。 答与解析： 过力臂的上端画出力臂L1的垂线，即动力F 的作用线，与杠杆交于一点，该点为动力F 的作用点，由于物体对杠杆的作用力使杠杆沿逆时针方向转动，所以F1方向应使杠杆沿 顺时针方向转动，动力F1的示意图如图示： 6．如图所示，一群人正在利用自拍杆用手机进行自拍。自拍杆可以看成一个杠杆（0 为支 点），请你在图中画出阻力F2的力臂L2，并画出施加在点的最小动力。 第1 页/ 共67 页 答与解析：过点作阻力F2的垂线，即为阻力F2对支点的力臂L2； 在阻力、阻力臂一定的情况下，要使动力最小，动力臂需要最长，阻力的方向已标出， 所以动力的方向应该向上，过点作的垂线就得到在点施加的最小动力F1，如下图所示： 三．杠杆的平衡条件（共26 小题） 【知识点的认识】 （1）杠杆平衡：杠杆静止不动或匀速转动都叫做杠杆平衡，注意：我们在实验室所做的杠 杆平衡条件的实验是在杠杆水平位置平衡进行的，但在实际生产和生活中，这样的平衡是 不多的。在许多情况下，杠杆是倾斜静止，这是因为杠杆受到平衡力作用。所以说杠杆不 论处于怎样的静止，都可以理解成平衡状态， （2）杠杆平衡条件的表达式：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即 ＝ （3）公式的表达式为：F1l1＝F2l2，即： ＝ 。 【命题方向】谁最早提出了杠杆原理，什么状态下是杠杆平衡，以及杠杆平衡条件的含义 （动力臂是阻力臂的几倍，动力就是阻力的几分之一）都是命题方向。 例1：艺师傅使用如图所示的剪刀修剪树枝时，常把树枝尽量往剪刀轴处靠近，这样做的 目的是为了（ ） ．增大阻力臂，减小动力移动的距离 B．减小动力臂，减小动力移动的距离 ．增大动力臂，省力 D．减小阻力臂，省力 分析：把树枝尽量往剪刀轴处靠近，减小了阻力臂，在阻力、动力臂一定的情况下，由杠 第1 页/ 共67 页 杆的平衡条件可知，减小了动力，将更省力。 解：把树枝尽量往剪刀轴处靠近，减小了阻力臂L2，而动力臂L1和阻力F2不变， 由F1L1＝F2L2，得F1＝ 将变小，即省力。故选D。 点评：灵活运用杠杆的平衡条件分析有关杠杆的实际做法，多积累，能恰当的使用好杠杆 （省力或省距离）。 例2 “ ” ：俗话说小小秤砣压千斤，这可以根据 “ ” 杠杆平衡条件（或杠杆原理） 来解 释。只要秤砣对秤杆作用的力臂比所挂物对秤杆作用的力臂 大得多 “ （选填大得 ” “ ” “ ” 多或小得多），那么小小秤砣压千斤是完全可以实现的。 分析：杠杆平衡的条件是，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，若动力臂与阻力臂的比足够大， 则动力与阻力的比也较大。 解，根据杠杆平衡的条件动力×动力臂＝阻力×阻力臂，秤砣对秤杆作用的力臂比所挂物对 秤杆作用的力臂大的多，则用较小的秤砣可以使挂较重物体的杠杆平衡。 “ ” 故答：杠杆平衡条件（或杠杆原理）；大得多。 点评：杠杆平衡的条件：动力与阻力的比等于阻力臂与动力臂的比。 【解题方法点拨】理解杠杆平衡条件的含义是解决好此知识点的关键：动力臂是阻力臂的 几倍，动力就是阻力的几分之一。 7．一个600 重的成年人和一个小孩都要过一道5m 宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩 从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m 长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。 请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过 渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（ ） ．100 B．200 ．300 D．400 答与解析：（1）因成年人较重，所以只要成年人能安全过水渠，则小孩也能安全过水 渠； 小孩站在B′处让成年人先从木板上过水渠，当成年人到达水渠对岸后，站在B′处，然后 第1 页/ 共67 页 再让小孩过水渠如图所示： ； （2 ′ ）把木板B′ ′ 视为杠杆，为支点，成年人对B′的压力视为阻力F2，小孩对木板的压力 视为动力F1， ′ ′ 当成年人在时，阻力（成年人对B′的压力）最大，为F2＝G 成年人＝600， ′ 由题意和图示可知：＝1m，B′＝3m， 由杠杆平衡条件可得：F1×B′＝F2×′， 则F1＝ ＝ ＝200， 即小孩的体重不能轻于200； 故选：B。 8．某商店有一不等臂天平（砝码准确），一顾客要买2kg 白糖，营业员先在左盘放一包白 糖右盘加1kg 砝码，待天平平衡后；接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg 砝码，待天平 平衡后。然后把两包白糖交给顾客。则两包白糖的总质量（ ） ．等于2kg B．小于2kg ．大于2kg D．无法知道 答与解析： 由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为b（不妨设＞b）， 设第一包白糖的实际质量为m1，第二包白糖的实际质量为m2， 先在左盘放一包白糖右盘加1kg 砝码，天平平衡， 由杠杆的平衡条件可得：m1＝b×1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①， 接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg 砝码，天平平衡， 则由杠杆的平衡条件可得：（m1+1）＝b（m2+1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②， 联立①②解得m1＝ ，m2＝ ， 则两包白糖的总质量为m2+m1＝ + ， 第1 页/ 共67 页 因为（m1+m2）﹣2＝ + 2 ﹣﹣＝ ≥0 ≠ 又因为 b，所以（m1+m2）﹣2＞0，即m1+m2＞2， 这样可知称出的两包白糖的总质量大于2kg。 故选：。 9．用一根长为L、重为G0的均匀铁棒，插入一个边长为、重为G 的正方体物块的底部， 在另一端施加一个向上的力，将物块撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被 放大）。如果铁棒插入物块底部的长度为物块边长的三分之一，则要撬动物块，作用在 铁棒最右端的力至少为（ ） ．G0+（ ） B．G0+（ ） ．（ ）+（ ） D．（ ）+（ ） 答与解析：如图所示： 在撬起物块时，物块为以左端点为支点发生转动，所以物块可视为一根杠杆， 由图1 可知，动力臂为阻力臂的2 倍，由杠杆平衡条件可知，支持力是物重的 ，即F 支＝ G， 力的作用是相互的，则物块对铁棒的压力：F 压＝F 支＝ G；则对铁棒来说，物体提供 第1 页/ 共67 页 的阻力为 ； 在阻力与阻力臂一定的情况下，由杠杆平衡条件可知： 动力臂越大，动力越小，如图2 所示，当力F 垂直于铁棒时， 力F 的力臂是铁棒的长度L，F 的力臂最大，力F 最小； 铁棒重力的作用点是铁棒的重心，在铁棒的中点处， 即铁棒重力G0的力臂L2＝ ，物体提供的阻力为 ，力臂L1＝ ； 由杠杆平衡条件可得： × +G0× ＝F×L； 则F＝ + ； 故选：。 10．如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为05kg，定 盘星B 到提纽的距离B 为2m，秤盘到提纽的距离为10m。若有人换了一个质量为08kg 的秤砣，实际质量3kg 的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（ ） ．38kg B．36kg ．396kg D．375kg 答与解析：设秤杆和秤盘的重心为D，当杠杆平衡时秤砣放在B 点， 因为G 秤×D＝G 砣×B，即：m 秤g×D＝m 砣g×B， 05kg×D＝1kg×2m， 所以D＝4m， 使用1kg 秤砣（正常情况下），设秤砣到点的距离L， 因为m 物g×+m 秤g×D＝m 砣g×L 即：3kg×g×10m+05kg×g×4m＝1kg×g×L， 解得：L＝32m， 即＝L＝32m； 秤杆上标定的质量值与标定的质量值位置到定盘星B 点的距离的关系是 ＝ 第1 页/ 共67 页 ＝01kg/m； 当使用08kg 秤砣时，秤量3kg 的质量时，秤砣到点的距离设为E， 因为m 物g×+m 秤g×D＝m 砣′g×E， 即：3kg×g×10m+05kg×g×4m＝08kg×g×E， 解得：E＝40m； 此时E 位置标定的质量值m＝01kg/m×（E B ﹣）＝01kg/m×（40m 2m ﹣ ）＝38kg。 则实际3 千克的物品会让顾客误以为质量为38kg，故正确，BD 错误。 故选：。 11．如图所示，杠杆在水平位置处于平衡状态。下列操作仍能让杠杆在水平位置保持平衡 的是（ ） ．两侧钩码同时向外移一格 B．左侧的钩码向左移一格，右侧增加一个钩码 ．在两侧钩码下方，同时加挂一个相同的钩码 D．在两侧钩码下方，同时减去一个相同的钩码 答与解析： 设一个钩码的重力为G，横梁上一个格的长度为L，原来杠杆处于平衡状态，则有 2G×3L＝3G×2L； 、两边各向外移一格，左边：2G×4L＝8GL，右边：3G×3L＝9GL，8GL＜9GL，杠杆右 端下沉；故错误； B、左侧的钩码向左移一格，右侧增加一个钩码，因左边：2G×4L，右边：4G×2L，因 2G×4L＝4G×2L，故B 正确； 、在两侧钩码下方，同时加挂一个相同的钩码，左边：3G×3L＝9GL，右边4G×2L＝ 8GL，9GL＞8GL，杠杆左端下沉，故错误。 D、在两侧钩码下方，同时减去一个相同的钩码，左边：G×3L＝3GL，右边：2G×2L＝ 4GL，3GL＜4GL，杠杆右端下沉，故D 错误。 第1 页/ 共67 页 故选：B。 12．如图所示两杠杆处于平衡状态，甲中的是两个同种密度但体积不同的物体，乙上的是 两个体积相同但密度不同的物体，如果把他们都浸没在水中，则杠杆如何变化（ ） ．仍保持平衡 B．都失去平衡 ．甲仍保持平衡，乙失去平衡 D．甲失去平衡，乙仍保持平衡 答与解析：（1）甲杠杆： 浸入水中之前，ρ 物gV1×L1＝ρ 物gV2×L2 所以V1×L1＝V2×L2 浸入水中后左端力和力臂的乘积为：（ρ 物gV1﹣ρ 水gV1）×L1＝（ρ 物﹣ρ 水）gV1×L1 浸入水中后右端力和力臂的乘积为：（ρ 物gV2﹣ρ 水gV2）×L2＝（ρ 物﹣ρ 水）gV2×L2 所以浸入水中后，左右两端力和力臂的乘积相等， 故杠杆仍然平衡。 （2）乙杠杆： 浸入水中之前，ρ 铝gV×L1＝ρ 铁gV×L2① 浸入水中后左端力和力臂的乘积为：（ρ 铝gV﹣ρ 水gV）×L1＝ρ 铝gV×L1﹣ρ 水gV×L1② 浸入水中后右端力和力臂的乘积为：（ρ 铁gV﹣ρ 水gV）×L2＝ρ 铁gV×L2﹣ρ 水gV×L2③ 由于L1＞L2，结合①可知，左端力和力臂的乘积小于右端力和力臂的乘积， 故杠