高考数学答题技巧题型14 4类解三角形大题综合（双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图形类解三角形综合）（解析版）Word（24页）

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； (2)若 ，求 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得 ，再由 ，得到 ，即得证； （2）记A，B，C 的对边分别为a，b，c，由（1）得 ，设 ，在△ABD 与△ACD 中，分别使 用余弦定理，解方程组可求出 或 ，依题意排除 ，利用余弦定理即可求出 . 【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ①， 由已知得： ②， 由①②联立得： ， 因为 ，所以 ． 故AB，AD，AC 成等比数列； （2）在△ABC 中，记A，B，C 的对边分别为a，b，c， 故 ，由（1）知： ③， 在△ABD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， 即 ④， 在△ACD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， ⑤， 由⑤＋④×2 整理得： ⑥， 由③⑥联立整理得： ， 解得： 或 ， 当 时，由 可求得 ，所以 故舍去， 当 时，由 可求得 ，满足 ， 在△ABC 中，由余弦定理得 综上： 2．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， ，点D 是边BC 上的一点，且 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 ． 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）先利用余弦定理由 得到 ，再利用正弦定理由 即可求得 ； （2）先利用余弦定理求得 ，进而利用余弦定理求得 【详解】（1）在 中， ， 则 整理得 ，则 又 ，则 在 中，由正弦定理得 ，则 在 中，由正弦定理得 ，则 则 则 （2）由 ，可得 ，又 则 由 可得 ，解之得 又 ，则 ， 由 ，可得 则 3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ， 且满足 . (1)求角 的大小； (2)若 为边 的中点，且 ，求 的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化得 ，再结合正弦和角公式得 ，进 而可得答案； （2）根据余弦定理，结合 得 ，进而根据余弦定理得 ，再计 算面积即可. 【详解】（1）解：因为 ，所以 ，即 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 . （2）解：如图，因为 为边 的中点，且 ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ，即 ，整理得 ， 因为 ，即 ，解得 ， 所以， 的面积为 ． 技法02 周长及面积类最值问题 例2-1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、分别为 的三个内角 、 、 的对边长， ，且 ． (1)求角 的值； (2)求 面积的取值范围． 【详解】（1）由条件，可得 ， 由正弦定理，得 ，所以 ， 所以 ，因为 ，所以 ． （2）由正弦定理，可知 ， 周长及面积类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常 考考点，需强加练习 ， ∵ ，∴ ，∴ . 例2-2．（2023·云南·校联考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求 周长的取值范围. 【详解】（1）因为 ，可得 ， 所以由正弦定理可得 ， 又 为三角形内角， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，可得 ，所以 . （2）由（1）知 ，又 ， 由正弦定理得 ， 则 ， ， 1．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，，已知 ． (1)求 的取值范围； (2)若 是 边上的一点，且 ， ，求 面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理对已知等式化简可得 ，则可求出角 ，再利用三角函数恒等变换 公式可得 ，然后求出角 的范围，再利用余弦函数的性质可得结果； （2）根据题意可得 ，两边平方化简后再利用基本不等式可求出 的最大值，从而可求 出 面积的最大值． 【详解】（1）因为 ， 故 ， 整理得到： 即 ， 故 ，而 为三角形内角，故 ， 所以 ， 故 ，而 为锐角三角形内角，故 . ， 因为三角形为锐角三角形，故 ，故 ， 故 ，故 ， 故 . （2）由题设可得 ，故 ， 整理得到： ， 故 ，即 ， 整理得到： ， 当且仅当 时等号成立，故 . 故三角形面积的最大值为 . 2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ，， 若满足 ． (1)求角 的大小； (2)若 ，求 面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角 . （2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可. 【详解】（1）由正弦定理知， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 化简得 ， ， （其中 舍去），即 ． （2）由（1）知 ，则 ， 那么 的面积 （当且仅当 时等号成立）， 则 面积的取值范围为 ． 3．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，若 . (1)求 ； (2)若 ，求 周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出 ，由已知条件得出角 的范围， 进而求出角 即可以求出 的值. （2）由， 的值，利用正弦定理求出 ，进而表示出三角函数的周长，利用三角形的内角和 定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围. 【详解】（1）由 及正弦定理， 得 即 . 所以 ，由 为锐角， 得 ， 所以 . （2）由 得 . ∴ 得周长 . ， 因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 即 . 所以 周长的取值范围为 . 技法03 边长和差、积商类最值问题 例3-1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 且 ． (1)求角C； (2)设BC 的中点为D，且 ，求 的取值范围． 【详解】（1） 中， ，由正弦定理得 ． 所以 ， 即 ， 所以 ； 又 ，则 ，所以 ， 边长和差、积商类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中 的常考考点，需强加练习 则有 ，又因为 ，则 ，即 ； （2）设 ，则 中，由 可知 ， 由正弦定理及 可得 ， 所以 ， ， 所以 ， 由 可知， ， ， 所以 ． 即 的取值范围 . 例3-2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已 知 ． (1)求A 的值； (2)若 是锐角三角形，求 的取值范围． 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 或 （舍去）． 所以 ，结合 ，得 ． （2）由（1）得: ． 因为 是锐角三角形，所以B，C 均为锐角， 即 ， ，所以 ， 所以 ， ， 所以 的取值范围是 ． 1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD 中， ， ， ， ． (1)若 ，求 ； (2)求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先利用余弦定理得到 ，根据边的关系得到AB⊥DB，进而得出∠ABC=120°，再利用余弦 定理即可求解； (2) 设∠ADB=θ，利用余弦定理分别求出 ,相加后整理变形得到关于角 的三角函数，利用正弦函数 的图象和性质即可求解. 【详解】（1）在△ABD 中，因为 ，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得 ，解得 ，由 ，得AB⊥DB，此时 Rt△CDB Rt ≌ △ABD，可得∠ABC=120°． 在△ABC 中，AB=1，BC=2，由余弦定理得 ，解得 ，所以 ． （2）设∠ADB=θ，由题意可知 ， 在△ABD 中，由余弦定理得 ，在△ACD 中， ， 由余弦定理得 ，在 中，因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 的取值范围是 ． 2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知 ， ，其中 ，函数 的最小正周期为 . (1)求函数 的单调递增区间； (2)在锐角 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足 ，求 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为 ， (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知 ，由最小正周期为 可得 ，即可 知 ，再利用三角函数单调性即可求得 的单调递增区间为 ， ； （2）根据三角形形状可得 ，再由正弦定理得 ，又 ，所以 . 【详解】（1）因为 ， ， 则 ， ， 故 ， 因为 最小正周期为 ，所以 ，所以 ，故 ， 由 ， ，解得 ， ， 所以 的单调递增区间为 ， . （2）由（1）及 ，即 ，又 ， 所以 ，解得 ， 又 为锐角三角形，即 ，即 ， 解得 ； 由正弦定理得 ，又 ，则 ， 所以 . 3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， 的平分线 BD 交AC 于点 ． (1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求 的大小． ① ；② ；③ ． (2)若 ，求 的取值范围． 【答案】(1)三个条件任选其一都有 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据 的取值范围求出其大小． （2）运用角平分线的条件求出 ，然后利用面积公式求出 的取值范围． 【详解】（1）选①， 因为 ，所以 ． 由正弦定理得 ． 即 ， 故 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ． 选②， 由 及正弦定理，得 ， 即 ， ， 所以 ． 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 又 ，所以 ，所以 ． 选③， 由 及正弦定理，得 ， 即 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 又 ，所以 ． （2）因为BD 平分 ，所以 ， 在 中， ，即 ， 在 中， ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，故 ． 因为 ， ， ， 所以 ， 又 ， 所以 ． 又 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 即 的取值范围为 ． 技法04 图形类解三角形综合 例4．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）如图，在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， ，角C 的平分线交AB 于点D，且 ， . (1)求 的大小； (2)求 . 【详解】（1）由正弦定理 得 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 图形类解三角形综合是通过在图形中寻找正余弦定理来求解，此类题型难度中等，是高考中的常考考点， 需强加练习 因为 ，所以 ， 所以 . （2）已知角C 的平分线交AB 于点D，且 ， . 在 中，由正弦定理得 , 在 中，由正弦定理得 , 因为 ， ，所以 ， 所以 . 设 ，由余弦定理得 ， 即 ， 解得 ， 因为 ， 所以 , 解得 . 1．（2023·山东潍坊·统考二模）在四边形 中， ， ， ，为 的面 积，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求四边形 的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及数量积的定义化简方程可得 ，即可得解； （2）求出 ，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解. 【详解】（1）由 ， 在 中得 ， 即 ，可得 ， 因为 ，所以 . （2）由 ，所以 ， 所以 为等边三角形， ， 所以 ， 由正弦定理知 ，得 ， 故四边形 的周长为 . 2．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，过点 作 ，交线段 于点 ，且 ， ， . (1)求 ； (2)求 的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理将条件等式角化边，再由余弦定理求解即可； （2）先求出 ，再用正弦定理求出，然后求 和 ，即可求出 的面积. 【详解】（1）∵ ， ∴由正弦定理得 ，即 ， ∴由余弦定理， ， 又∵ ， ∴ . （2）∵ ，∴ ， 由第（1）问， ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴在 中，由正弦定理， ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ 的面积 . 3．（2023·山东淄博·统考二模）如图所示， 为平面四边形 的对角线，设 ， 为等边三角形，记 . (1)当 时，求 的值； (2)设为四边形 的面积，用含有 的关系式表示，并求的最大值. 【答案】(1) ； (2) ； . 【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理结合条件即得； （2）利用余弦定理及三角形面积公式可 表示出四边形 的面积，然后根据三角函数的性质即得. 【详解】（1）在 中，因为 ， 由正弦定理，所以 ， 由余弦定理，得 ， 其中 ，故 ； （2）在 中，因为 ， 所以由余弦定理可得 ， 因为 为等边三角形， 所以 ， 因为 ， 所以四边形 的面积为 ， 因为 ，所以 ， 故当 时， 取得最大值1，即的最大值为 .