专题16.6 二次根式全章五类必考压轴题（原卷版）

专题166 二次根式全章五类必考压轴题 【人版】 1．已知x、y 为实数，且y=❑ √x−2023+❑ √2023−x+1，则x+ y的值是（ ） ．2022 B．2023 ．2024 D．2025 2．已知❑ √x−11−|7−x|+ ❑ √(x−9) 2=3 y−2，则2 x−18 y 2的值为（ ）． ．22 B．20 ．18 D．16 3．已知﹣1＜＜0，化简❑ √(a+ 1 a ) 2 −4+ ❑ √(a−1 a ) 2 +4的结果为___． 4．若实数，b，满足关系式❑ √a−199+❑ √199−a=❑ √2a+b−c+❑ √b−6，则＝______． 5．已知整数x，y 满足x ❑ √y+ y ❑ √x−❑ √2022 x−❑ √2022 y+❑ √2022 xy=2022，则 ❑ √x−y−7的最小值为 _____． 6．已知实数x，y，m满足等式❑ √3 x+5 y−3−m +(2 x+3 y−m) 2=¿ ❑ √x+ y−2−¿ ❑ √2−x−y，求❑ √m+4的值 1．若A=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋯+❑ √ 1+ 1 2021 2 + 1 2022 2，则[ A ]=¿ （ ）（其中[ A ]表示不超过的最大整数） ．2019 B．2020 ．2021 D．2022 2．已知T 1=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=❑ √ 9 4 =3 2，T 2=❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=❑ √ 49 36 =7 6 ， T 3=❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=❑ √( 13 12) 2 =13 12 ，…T n=❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2，其中n为正整数．设 Sn=T 1+T 2+T 3+⋯+T n，则S2022值是（ ） ．2022 2022 2023 B．2023 2022 2023 ．2022 1 2023 D．2023 1 2022 3．将一组数据❑ √3，❑ √6，3，2❑ √3，❑ √15，…，3 ❑ √10，按下面的方法进行排列：❑ √3，❑ √6， 3，2❑ √3，❑ √15； 3 ❑ √2，❑ √21，2❑ √6，3 ❑ √3，❑ √30； 1 ⋯； 若2❑ √3的位置记为(1，4 )，2❑ √6的位置记为(2，3)，则这组数中❑ √87的位置记为（ ） ．(6，4 ) B．(5，3) ．(5，2) D．(6，5) 4．观察下列各式： ❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=1+ 1 1×2…………① ❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=1+ 1 2×3…………② ❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=1+ 1 3×4 …………③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律❑ √ 1+ 1 n 2 + 1 (n+1)) 2=¿___________（n为正整数）； (2)计算❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋅⋅⋅+❑ √ 1+ 1 2022 2 + 1 2023 2=¿__________ _； (3)如果❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2 +⋅⋅⋅+❑ √ 1+ 1 (n−1) 2 + 1 n 2=n−1 5，那么 n=¿___________． 5．观察下面的式子：S1=1+ 1 1 2 + 1 2 2，S2=1+ 1 2 2 + 1 3 2，S3=1+ 1 3 2 + 1 4 2…S=1+ 1 n 2 + 1 (n+1) 2 （1）计算：❑ √S1= ，❑ √S3= ；猜想❑ √Sn= （用的代数式表示）； （2）计算：S=❑ √S1+❑ √S2+❑ √S3+…+❑ √Sn（用的代数式表示）． 1．材料：如何将双重二次根式❑ √a±2❑ √b(a>0，b>0，a±2❑ √b>0)化简呢？如能找到两 个数m，n(m>0,n>0)，使得(❑ √m) 2+(❑ √n) 2=a，即m+n=a，且使❑ √m⋅❑ √n=❑ √b，即 m⋅n=b，那么a±2❑ √b=(❑ √m) 2+(❑ √n) 2±2❑ √m⋅❑ √n=(❑ √m± ❑ √n) 2 ∴ ❑ √a±2❑ √b=¿ ❑ √m± ❑ √n∨¿，双重二次根式得以化简． 例如化简：❑ √3±2❑ √2， 因为3=1+2且2=1×2， ∴3±2❑ √2=(❑ √1) 2+(❑ √2) 2±2❑ √1×❑ √2∴❑ √3±2❑ √2=¿1± ❑ √2∨¿， 1 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成❑ √a±2❑ √b的形式，且能找到m， n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二 次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：❑ √5±2❑ √6=___________，❑ √12±2❑ √35=___________； (2)化简：❑ √9±6 ❑ √2； (3)计算：❑ √3−❑ √5+❑ √2± ❑ √3． 2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如3+2❑ √2=(1+❑ √2) 2，善于思考的小明进行了以下探索： 若设a+b ❑ √2=(m+n ❑ √2) 2=m 2+2n 2+2mn ❑ √2（其中a、b、m、n均为整数），则有 a=m 2+2n 2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b ❑ √2的式子化为平方式的方法， 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若a+b ❑ √7=(m+n ❑ √7) 2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b， 得：a=¿______，b=¿______； (2)若a+6 ❑ √3=(m+n ❑ √3) 2，且a、m、n均为正整数，求a的值； (3)化简下列格式： ①❑ √5+2❑ √6 ②❑ √7−2❑ √10 ③❑ √4−❑ √10+2❑ √5+ ❑ √4+❑ √10+2❑ √5． 3．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式❑ √5−2❑ √6，通过资料的查询， 他得到了该二次根式的化简过程如下 ❑ √5−2❑ √6=❑ √2−2×❑ √2×❑ √3+3 ＝❑ √(❑ √2) 2−2×❑ √2×❑ √3+(❑ √3) 2 ＝❑ √(❑ √2−❑ √3) 2 ¿|❑ √2−❑ √3| =❑ √3−❑ √2 (1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简❑ √4−2❑ √3． (2)善于动脑的小明继续探究：当，b，m，为正整数时，若a+2❑ √b=¿ (❑ √m+❑ √n) 2，则 a+2❑ √b=(m+n)+2❑ √mn ，所以a=m+n,b=mn，若a+2❑ √17=¿ (❑ √m+❑ √n) 2，且， 1 m，为正整数，m>n；求，m，的值． 4．阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去 一层(或多层)根号,如：❑ √(❑ √1) 2+(❑ √2) 2−2×❑ √1×❑ √2= ❑ √(❑ √1−❑ √2) 2=|❑ √1−❑ √2|=❑ √2−1 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配 成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因 式分解等方面都经常 用到． 如：x 2+2❑ √2 x+3=x 2+2·❑ √2· x+(❑ √2) 2+1=( x+❑ √2) 2+1 ∵( x+❑ √2) 2≥0，∴( x+❑ √2) 2+1≥1，即x 2+2❑ √2 x+3≥1 ∴x 2+2❑ √2 x+3的最小值为1 阅读上述材料解决下面问题： （1）❑ √4−2❑ √3=¿ ，❑ √5+2❑ √6=¿ ； （2）求x 2+4 ❑ √3 x+11的最值； （3）已知x= ❑ √3−❑ √13−4 ❑ √3，求−1 4 (4+2❑ √3)x 2 y 2+(❑ √3+1)xy−5的最值． 5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：3+2❑ √2=(1+❑ √2) 2，善于思考的康康进行了以下探索： 设a+b ❑ √2=(m+n ❑ √2) 2（其中a、b、m、均为正整数）， 则有a+b ❑ √2=m 2+2n 2+2mn ❑ √2（有理数和无理数分别对应相等）， ∴a=m 2+2n 2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b ❑ √2化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： (1)当、b、m、均为正整数时，若a+b ❑ √3=(c+d ❑ √3) 2，用含c、d的式子分别表示、b，得： a=¿________，b=¿________； (2)若7−4 ❑ √3=(e−f ❑ √3) 2，且e、f 均为正整数，试化简：7−4 ❑ √3； (3)化简：❑ √7+❑ √21−❑ √80． 1 1．已知❑ √x(❑ √x−❑ √y)=3 ❑ √y(5 ❑ √y−❑ √x)，求2 x−❑ √xy+3 y x+❑ √xy−6 y ． 2．已知x= 1 ❑ √10−3，y= 1 ❑ √10+3． （1）求x 2+2 xy+ y 2的值． （2）求 ❑ √(x 2−4 x+4) x( x−2) − ❑ √( y 2+2 y+1) y( y+1) 值． 3．已知a= ❑ √3−1 ❑ √3+1 ，b= ❑ √3+1 ❑ √3−1 （1）求a 2−ab+b 2的值； （2）若a的小数部分为m，b的小数部分为，求(m+n) (m－n)的值． 4．已知x= ❑ √3−1 2 ，y= ❑ √3+1 2 ，m= 1 x −1 y ，n= y x + x y ． （1）求m,n的值； （2）若❑ √a−❑ √b=n+2，❑ √ab=m，求❑ √a+❑ √b的值． 5．正数m,n满足m+4 ❑ √mn−2❑ √m−4 ❑ √n+4 n=3，求 ❑ √m+2❑ √n−8 ❑ √m+2❑ √n+2002 的值 1．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如2 ❑ √5，❑ √ 5 3 ， 1 ❑ √2+1的式子，其实我们还 可以将其进一步化简： 2 ❑ √5= 2×❑ √5 ❑ √5×❑ √5=2❑ √5 5 ；① ❑ √ 5 3=❑ √ 5×3 3×3= ❑ √15 3 ；② 1 ❑ √2+1= 1×(❑ √2−1) (❑ √2+1) (❑ √2−1) = ❑ √2−1 (❑ √2) 2−1 2=❑ √2−1；③ 1 对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 1 ❑ √2+1还可以用以下的方法化简； 1 ❑ √2+1= 2−1 ❑ √2+1= (❑ √2) 2−1 2 ❑ √2+1 = (❑ √2+1) (❑ √2−1) ❑ √2+1 =❑ √2−1；④ (1)请参照方法④化简： 2 ❑ √7+❑ √5； (2)化简：5 ❑ √6 +❑ √ 3 2； (3)化简： 1 ❑ √3+1 + 1 ❑ √5+❑ √3 + 1 ❑ √7+❑ √5 ⋅⋅⋅+ 1 ❑ √2n+1+❑ √2n−1（n为正整数） 2．阅读材料，回答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式 互为有理化因式．例如：因为❑ √a×❑ √a=a，(❑ √2+1) (❑ √2−1)=1，所以❑ √a与❑ √a，❑ √2+1 与❑ √2−1互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根 号． (1)❑ √3−2的有理化因式是________；化简： ❑ √3+2 ❑ √3−2=¿________； (2)化简： 1 ❑ √3+1 + 1 ❑ √5+❑ √3 + 1 ❑ √7+❑ √5 +⋯⋯+ 1 ❑ √289+❑ √287 (3)拓展应用：已知，a=❑ √2020−❑ √2019，b=❑ √2021−❑ √2020，c=❑ √2022−❑ √2021， 试比较，b，的大小，并说明理由． 3．先阅读下面的材料，再解答问题． 因为(❑ √a+❑ √b) (❑ √a−❑ √b)=(❑ √a) 2−(❑ √b) 2=a−b， 所以a−b=(❑ √a+❑ √b) (❑ √a−❑ √b)． 特别地，(❑ √14+❑ √13) (❑ √14−❑ √13)=1， 所以 1 ❑ √14−❑ √13=❑ √14+❑ √13． 当然，也可以利用14−13=1，得1=14−13， 所以 1 ❑ √14−❑ √13= 14−13 ❑ √14−❑ √13 (❑ √14) 2−(❑ √13) 2 ❑ √14−❑ √13 ， 1 ¿ (❑ √14+❑ √13) (❑ √14−❑ √13) ❑ √14−❑ √13 ， ¿ ❑ √14+❑ √13， 这种变形也是将分母有理化． 利用上述的思路方法，计算： (1)( 1 ❑ √2+1 + 1 ❑ √3+❑ √2 +…+ 1 ❑ √2023+❑ √2022)(❑ √2023+1)； (2) 3 4−❑ √13− 6 ❑ √13−❑ √7 − 2 3+❑ √7 ． 4．【材料阅读】 材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如 2 ❑ √3+1的式子，可以通过分母有 理化进行化简或计算．如化简： 2 ❑ √3+1．具体方法如下： 方法一： 2 ❑ √3+1= 2(❑ √3−1) (❑ √3+1) (❑ √3−1) =❑ √3−1． 方法二： 2 ❑ √3+1= 3−1 ❑ √3+1= (❑ √3) 2−1 2 ❑ √3+1 = (❑ √3−1) (❑ √3+1) ❑ √3+1 =❑ √3−1． 材料二：我们在学习分式时知道，对于公式b a + c a=b+c a 可以逆用．即：b+c a =b a + c a． 【问题解决】 （1）化简： 3 ❑ √10−❑ √7 =¿______； （2）计算： ( 1 ❑ √2+1− 1 ❑ √3+❑ √2)+( 1 ❑ √3+❑ √2− 1 ❑ √4+❑ √3)+⋅⋅⋅+( 1 ❑ √100+❑ √99− 1 ❑ √101+❑ √100)； （3）计算： 1 2+❑ √2 + 1 3 ❑ √2+2❑ √3 + 1 4 ❑ √3+3 ❑ √4 +⋅⋅⋅+ 1 21❑ √20+20 ❑ √21． 5．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 1 ❑ √3+❑ √2的运算时，通常有如下两种方法将其化简： 1 方法1： 1 ❑ √3+❑ √2= (❑ √3−❑ √2) (❑ √3+❑ √2) (❑ √3−❑ √2) = ❑ √3−❑ √2 3−2 =❑ √3−❑ √2（以上化简的步骤叫分母有 理化）； 方法2： 1 ❑ √3+❑ √2= 3−2 ❑ √3+❑ √2= (❑ √3) 2−(❑ √2) 2 ❑ √3+❑ √2 = (❑ √3+❑ √2) (❑ √3−❑ √2) ❑ √3+❑ √2 =❑ √3−❑ √2． 请选用适当的方法，解答如下问题： （1）化简： 2 ❑ √3+1 + 2 ❑ √5+❑ √3 + 2 ❑ √7+❑ √5 +⋅⋅⋅+ 2 ❑ √2019+❑ √2021． （2）若a= 1 ❑ √5−❑ √4 ，b= 1 ❑ √6−❑ √5，c= 1 ❑ √7−❑ √6 ，请你根据以上方法直接写出a，b，c 的大小关系． （3）已知m为正整数，a= ❑ √m+1−❑ √m ❑ √m+1+❑ √m ，b= ❑ √m+1+❑ √m ❑ √m+1−❑ √m ，且 a 2+b 2+1968ab+2=2020，求m 3+3m 2−m−6的值． 6．我们将(❑ √a+❑ √b)、(❑ √a−❑ √b)称为一对“对偶式”，因为 (❑ √a+❑ √b)(❑ √a−❑ √b)=(❑ √a) 2−(❑ √b) 2 ¿a−b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效 的将(❑ √a+❑ √b)和(❑ √a−❑ √b)中的“❑ √❑”去掉于是二次根式除法可以这样解：如 1 ❑ √3= ❑ √3 ❑ √3×❑ √3= ❑ √3 3 ，2+❑ √2 2−❑ √2= (2+❑ √2) 2 (2+❑ √2)×(2−❑ √2)=3+¿ 2❑ √2．像这样，通过分子， 分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以 上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小 1 ❑ √7−2________ 1 ❑ √6−❑ √3（用“>”、“¿”或“¿”填空）； （2）已知x= ❑ √5+2 ❑ √5−2 ，y= ❑ √5−2 ❑ √5+2 ，求x 2+ y 2的值； （3）计算： 2 3+❑ √3 + 2 5 ❑ √3+3 ❑ √5 + 2 7 ❑ √5+5 ❑ √7 +……+ 2 99 ❑ √97+97 ❑ √99 1