专题69 数与式中的新定义问题（原卷版）(1)

【例1 】．定义一种新运算： ，例如 ．若 ，则k＝ ． 变式训练 【变1-1】．定义：对于实数，符号[]表示不大于的最大整数．例如：[57]＝5，[5]＝5， [﹣π]＝﹣4，如果 ，则x 的取值范围是（ ） ．5≤x＜7 B．5＜x＜7 ．5＜x≤7 D．5≤x≤7 【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]＝5， [26]＝2，[02]＝0．现在有一列非负数1，2，3，…，已知1＝10，当≥2 时，＝﹣1+1 5 ﹣（[ ] [ ﹣ ]），则2022的值为 ． 【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为2＝﹣1，这个数叫做虚数单位，把形如 +b 的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘 法运算与整数的加、减、乘法运算类似． 例如计算：（4+）+（6 2 ﹣）＝4+6+ 2 ﹣＝10﹣ （2﹣）（3﹣）＝6 2 3+ ﹣﹣ 2＝6 5 1 ﹣﹣＝5 5 ﹣ 例题精讲 根据以上信息计算（1+2）（2﹣）+（2﹣）2＝ ． 变式训练 【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》 等书，但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称 为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之 一，是为了揭示二项式（+b）（＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即 （+b）1＝+b， （+b）2＝2+2b+b2， （+b）3＝3+32b+3b2+b3， （+b）4＝4+43b+62b2+4b3+b4， （+b）5＝5+54b+103b2+102b3+5b4+b5． 则二项式（+b）（为正整数）展开后各项的系数之和为（ ） ．2 1 ﹣+1 B．2 1 ﹣+2 ．2 D．2+1 【变2-2 】．已知行列（≥2 ）的数表 中，对任意的＝1 ， 2，…，，＝1，2，…，，都有＝0 或1．若当st＝0 时，总有（1t+2t+…+t）+（s1+s2+… +s）≥，则称数表为典型表，此时记表中所有的和记为S． （1）若数表 ， ，其中典型表是 ； （2）典型表中S5的最小值为 ． 1．对任意两个实数，b 定义两种运算：⊕b＝ ，⊗b＝ ，并且定义 运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2） ⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则 等于（ ） ． B．3 ． D．2 2．对于两个不相等的实数、b，我们规定符号M{，b}表示、b 中较小的值，如M{2，4}＝ 2，按照这个规定，方程M{ }＝ 的解为（ ） ．1 或3 B．1 或﹣3 ．1 D．3 3．定义：如果x＝（＞0，≠1），那么x 叫做以为底的对数，记做x＝lg．例如：因为72＝ 49，所以lg749＝2；因为53＝125，所以lg5125＝3．则下列说法正确的个数为（ ） ①lg61＝0； ②lg323＝3lg32； ③若lg2（3﹣）＝lg827，则＝0； ④lg2xy＝lg2x+lg2y（x＞0，y＞0）． ．4 B．3 ．2 D．1 4．我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝d﹣b．如 ＝2×5 3×4 ﹣ ＝ ﹣2，请你计算 的值为 ． 5．对于实数，b，定义运算“◎”如下：◎b＝（+b）2﹣（﹣b）2．若（m+1）◎（m 2 ﹣）＝ 16，则m＝ 6．设为正整数，记！＝1×2×3×4×…×（≥2），1！＝1，则 + + +…+ + ＝ ． 7．新定义：任意两数m，，按规定y＝ ﹣m+得到一个新数y，称所得新数y 为数m，的 “愉悦数”．则当m＝2x+1，＝x 1 ﹣，且m，的“愉悦数”y 为正整数时，正整数x 的 值是 ． 8．对数的定义：一般地，若x＝（＞0 且≠1），那么x 叫做以为底的对数，记作x＝lg，比 如指数式23＝8 可以转化为对数式3＝lg28，对数式2＝lg636，可以转化为指数式62＝ 36．计算lg39+lg5125 lg ﹣ 232＝ ． 9．对于正整数m，我们规定：若m 为奇数，则f（m）＝3m+3；若m 为偶数，则f（m）＝ ．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝ ＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f （m2），m4＝f（m3），…，依此规律进行下去，得到一列数m1，m2，m3，m4，…， m，…（为正整数），则m1+m2+m3+…+m2021＝ ． 10．如图，把平面内一条数轴x 绕原点逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y， x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B，若点在x 轴上对应的实数为，点B 在y 轴上对应的实数 为b，则称有序数对（，b）为点P 的斜坐标． （1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是 ； （2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P 的斜坐标为（2，4），点与点P 关于x 轴对称，则点的斜坐标是 ． 11．欧拉是18 世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数 学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： ＝ （其中，b，均不为零，且两两互不相等）． （1）当r＝0 时，常数p 的值为 ． （2）利用欧拉公式计算： ＝ ． 12．任何一个正整数都可以进行这样的分解： （s、t 是正整数，且s≤t），如果 在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是的最佳分解，并 规定：F（）＝ ．例如18 可以分解成1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有F（18）＝ ＝ ．给出下列关于F（）的说法：①F（2）＝ ；②F（48）＝ ；③F（2+） ＝ ；④若非0 整数，则F（2）＝1，其中正确说法的是 （将正确答的序号 填写在横线上）． 13．对于三个实数，b，，用M{，b，}表示这三个数的平均数，用m{，b，}表示这三个数 中最小的数．例如：M{1，2，9}＝ ＝4，m{1，2，﹣3}＝﹣3，m{3，1，1}＝ 1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）m{s30°，s60°，t45°}； （2）若M{ 2 ﹣x，x2，3}＝2，求x 的值． 14．定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为： ＝d﹣b．例如： ＝5×8﹣ 6×7＝﹣2． （1）求 的值． （2）若 ＝20，求m 的值． 15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2 倍等于千位与十位的数字之 和，十位上数字的2 倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”． 例如：∵3579 中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579 是“相邻数”． （1）判断7653，3210 是否为“相邻数”，并说明理由； （2）若四位正整数＝1000+100b+10+d 为“相邻数”，其中，b，，d 为整数，且 1≤≤9，0≤b≤9，0≤≤9，0≤d≤9，设F（）＝2，G（）＝2d﹣，若 为 整数，求所有满足条件的值． 16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此 图揭示了（+b）（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （+b）1＝+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （+b）2＝2+2b+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（+b）5展开式共有 项，系数和为 ． （2）求（2 1 ﹣）5的展开式； （3）利用表中规律计算：25 5×2 ﹣ 4+10×23 10×2 ﹣ 2+5×2 1 ﹣（不用表中规律计算不给分）； （4）设（x+1）17＝17x17+16x16+…+1x+0，则1+2+3+…+16+17的值为 ． 17．若规定f（，m）＝×（+1）×（+2）×（+3）×…×（+m 1 ﹣），且m，为正整数，例如f （3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7． （1）计算f（4，3）﹣f（3，4）； （2）试说明： ； （3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f （27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）． ①，b 的值分别为多少？ ②试确定b的个位数字． 18．请阅读以下材料，解决问题． 我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即2≥0．但是，在复数体系 中，如果一个数的平方等于﹣1，记为2＝﹣1，这个数叫做虚数单位，那么形如+b（、b 为实数）的数就叫做复数，叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减， 乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（3+）＝3+2＝3 1 ﹣（2+）+（3 4 ﹣）＝（2+3）+（1 4 ﹣）＝5＝3； 若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等， 虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2 的共轭复数为1 2 ﹣． 根据材料回答： （1）填空：①（2+）（3 1 ﹣）＝ ； ②将m2+9（m 为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝ ； （2）若+b 是（1+2）2的共轭复数，求（b﹣）2022的值； （3）已知（+）（b+）＝2 4 ﹣，求（2﹣b2）（2+3+4+…+2023）的值． 19．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1 开始的连续100 个正整数的和，由于上述式子比较 长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为 ，这里“∑”是求和的符 号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为 ，“13+23+33+…+103”用 “∑”可以表示为 ． （1）把 写成加法的形式是 ； （2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为 ； （3）计算： ． 20．好学的小贤同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）（3x 6 ﹣）的 结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣ 120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试 和总结他发现：一次项系数就是： ×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项 为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征． 结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题． （1）计算（x 5 ﹣）（3x+1）（5x 3 ﹣）所得多项式的一次项系数为 ． （2）若计算（x2+x 1 ﹣）（x2 2 ﹣x+）（2x+3）所得多项式的一次项系数为2，求的值； （3）若（x+1）2022＝0x2022+1x2021+2x2020+…+2021x+2022，则2021＝ ． 21．阅读下列材料． 材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字， 则称这个数是“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则 称这个数是“双减数”．例如：3628、4747 是“双增数”，5231、9042 是“双减数”． 材料二：将一个四位正整数m 的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数 m'，规定：F（m）＝m﹣m'，例如：F（2146）＝2146 2416 ﹣ ＝﹣270． （1）最大的“双增数”是 ，最小的“双减数”是 ； （2）已知“双增数”s＝1000x+100（y+4）+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y 是整数）， “双减数”t＝3000+20+b（0≤≤9，0≤b≤9，、b 是整数），且t 的各个数位上的数字之和 能被12 整除，现规定k＝F（s）+F（t），求k 的最大值．