专题72 三角形中的新定义问题（原卷版）(1)

【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的 比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角 形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sd）． 如图，在△B 中，B＝，顶角的正对记作sd，这时sd＝ ＝ ．容易知道一个角的 大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sd60°＝ ； （2）对于0°＜＜180°，∠的正对值sd 的取值范围是 ； （3）如图，已知s＝ ，其中∠为锐角，试求sd 的值． 变式训练 【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2 倍，那么称这个三角形为 “倍角三角形”．若△B 是“倍角三角形”，∠＝90°，B＝4，则△B 的面积为 ． 【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角α 与β 满足α+2β＝100°，那么我们称这样的 三角形为“奇妙三角形”． （1）如图1，△B 中，∠B＝80°，BD 平分∠B． 求证：△BD 为“奇妙三角形” 例题精讲 （2）若△B 为“奇妙三角形”，且∠＝80°．求证：△B 是直角三角形； （3）如图2，△B 中，BD 平分∠B，若△BD 为“奇妙三角形”，且∠＝40°，直接写出∠ 的度数． 【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角 形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△B 是“准等边三角形”，其中∠＝35°，∠＞90°．求∠B 的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°， ，点D 在边上，若△BD 是“准 等边三角形”，求BD 的长． 变式训练 【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示， △B 中F、BE 是中线，且F⊥BE，垂足为P，像△B 这样的三角形称为“中垂三角形”， 如果∠BE＝30°，B＝6，那么此时的长为 ． 【变2-2】．【了解概念】 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形 为半线三角形，这条中线叫这条边的半线． 【理解运用】 （1）如图1，在△B 中，B＝，∠B＝120°，试判断△B 是否为半线三角形，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，M 为△B 外一点，连接MB，M，若△B 和 △MB 均为半线三角形，且D 和MD 分别为这两个三角形B 边的半线，求∠M 的度数； （3）在（2）的条件下，若MD＝ ，M＝1，直接写出BM 的长． 1．当三角形中一个内角β 是另外一个内角α 的 时，我们称此三角形为“友好三角形”， α 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形” 的“友好角α”的度数为 ． 2．当三角形中一个内角α 是另一个内角β 的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”， 其中α 称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙 三角形”的另两个内角的度数为 ． 3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定 义，探究如下问题：如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝10，＝6，如果准外心P 在B 边上， 那么P 的长为 ． 4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形B 的每条 边上各取一点D，E，F，△DEF 称为△B 的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三 角形B 的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△B 中， 点D，E，F 分别为B，B，上的动点，B＝＝5，B＝6，则△DEF 周长的最小值为 ． 5．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sd）．如图①在△B 中，B ＝，顶角的正对记作sd，这时sd＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对 值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sd60°＝ ． （2）sd90°＝ ． （3）如图②，已知s＝ ，其中∠为锐角，试求sd 的值． 6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三 角形的三分线． （1）如图①，△B 是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断 △DB 与△EB 是否相似： （填“是”或“否”）； （2）如图②，△B 中，＝2，B＝3，∠＝2∠B，则△B 的三分线的长为 ． 7．概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形 互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线 段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形， 另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割 线”． 理解概念： （1）如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用： （2）如图2，在△B 中，D 为角平分线，∠＝40°，∠B＝60°．求证：D 为△B 的等角分割 线． 动手操作： （3）在△B 中，若∠＝50°，D 是△B 的等角分割线，请求出所有可能的∠B 的度数． 8．定义：在△B 中，若B＝，＝b，B＝，，b，满足+2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角 形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题． （2）如图1 所示，若等腰三角形B 是“类勾股三角形”，B＝B，＞B，请求∠的度数． （3）如图2 所示，在△B 中，∠B＝2∠，且∠＞∠，求证：△B 为“类勾股三角形”．志 明同学想到可以在B 上找一点D 使得D＝D，再作E⊥BD，请你帮助志明完成证明过程 9．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度． 如图1，在△B 中，B＝， 的值为△B 的正度． 已知：在△B 中，B＝，若D 是△B 边上的动点（D 与，B，不重合）． （1）若∠＝90°，则△B 的正度为 ； （2）在图1，当点D 在腰B 上（D 与、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△D，保留作 图痕迹；若△D 的正度是 ，求∠的度数． （3）若∠是钝角，如图2，△B 的正度为 ，△B 的周长为22，是否存在点D，使△D 具 有正度？若存在，求出△D 的正度；若不存在，说明理由． 10．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 （只填写序号）． ①顶角是30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是30°的直角三角形． （2）如图1，在△B 中，B＝，∠B≥90°，将△B 沿边B 所在的直线翻折180°得到△BD，延 长D 到点E，连接BE． ①若B＝BE，求证：△BE 是“倍角三角形”； ②点P 在线段E 上，连接BP．若∠＝30°，BP 分△BE 所得的两三角形中，一个是等腰三 角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E 的度数． 11．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形． 探究： （1）如图甲，已知△B 中∠＝90°，你能把△B 分割成2 个与它自己相似的小直角三角形 吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可 将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接 各边中点所进行的分割，称为1 阶分割（如图1）；把1 阶分割得出的4 个三角形再分 别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2 阶分割（如图2）…依次规则操作下去． 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积 为S． ①若△DEF 的面积为10000，当为何值时，2＜S＜3？（请用计算器进行探索，要求至少 写出三次的尝试估算过程） ②当＞1 时，请写出一个反映S 1 ﹣，S，S+1之间关系的等式．（不必证明） 12．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边 所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△B 中，点D 是B 边上一点，连接D，若D2＝BD•D，则称点D 是△B 中B 边上的“好点”． （1）如图2，△B 的顶点是4×3 格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）B 边上的所有“好点”点D； （2）△B 中，B＝7， ，t＝1，点D 是B 边上的“好点”，求线段BD 的长； （3）如图3，△B 是⊙的内接三角形，点在B 上，连结并延长交⊙于点D．若点是△BD 中D 边上的“好点”． ①求证：⊥B； ②若∥BD，⊙的半径为r，且r＝3，求 的值． 13．定义1：如图1，若点在直线l 上，在l 的同侧有两条以为端点的线段M、，满足∠1＝ ∠2，则称M 和关于直线l 满足“光学性质”； 定义2：如图2，在△B 中，△PQR 的三个顶点P、Q、R 分别在B，、B 上，若RP 和QP 关于B 满足“光学性质”，PQ 和RQ 关于满足“光学性质”，PR 和QR 关于B 满足 “光学性质”，则称△PQR 为△B 的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△B 中，∠＝30°，B＝，△DEF 三个顶点D、E、F 分别在B、，B 上． （1）如图3，若FE∥B，DE 和FE 关于满足“光学性质”，求∠ED 的度数； （2）如图4，在△B 中，作F⊥B 于F，以B 为直径的圆分别交，B 于点E，D． ①证明：△DEF 为△B 的光线三角形； ②证明：△B 的光线三角形是唯一的． 14．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△B 和△DE 互为“兄弟三角形”，B＝，D＝E．写出∠BD，∠B 和 ∠BE 之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△B 和△DE 互为“兄弟三角形”，B＝，D＝E，点D、点E 均在△B 外， 连接BD、E 交于点M，连接M，求证：M 平分∠BME． （3）如图③，若B＝，∠B＝∠D＝60°，试探究∠B 和∠的数量关系，并说明理由． 15．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，那么称这个三角形是2 倍角 三角形． （1）定义应用 如果一个等腰三角形是2 倍角三角形，则其底角的度数为 ； （2）性质探索 小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2 倍角三角形进行研究，得出结论： 如图1，在△B 中，如果∠＝2∠B，那么B2＝（B+）． 下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法． 已知：如图2，在△B 中，∠＝90°，∠B＝45°． 求证：B2＝（B+）． 16．在平面直角坐标系xy 中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边 的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫 “和谐距离”． （1）已知（2，0），B（0，4），（1，2），D（4，1），这个点中，能与点组成“和 谐三角形”的点是 ，“和谐距离”是 ； （2）连接BD，点M，是BD 上任意两个动点（点M，不重合），点E 是平面内任意一 点，△EM 是以M 为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E 的横坐标t 的取值范围； （3）已知⊙的半径为2，点P 是⊙上的一动点，直线y＝−x+b 与x 轴、y 轴分别交于点、 G，点Q 是线段G 上一点，若存在△PQ 是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，直接 写出b 的取值范围． 17．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形 和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形B 中，D⊥B，D 为该三角形的智慧线，D＝1，＝ ，则 BD 长为 ，∠B 的度数为 ． （2）如图2，△B 为等腰直角三角形，∠B＝90°，F 是斜边B 延长线上一点，连结F，以 F 为直角边作等腰直角三角形FE（点，F，E 按顺时针排列），∠EF＝90°，E 交B 于点 D，连结E，EB．当∠BDE＝2∠BE 时，求证：ED 是△EB 的智慧线． （3）如图3，△B 中，B＝＝5，B＝ ．若△BD 是智慧三角形，且为智慧线，求△BD 的面积． 18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△B 中，D 是B 边上的中线，那么△D 和△BD 是“友好三角形”，并 且S△D＝S△BD． 应用：如图②，在矩形BD 中，B＝4，B＝6，点E 在D 上，点F 在B 上，E＝BF，F 与 BE 交于点． （1）求证：△B 和△E 是“友好三角形”； （2）连接D，若△E 和△DE 是“友好三角形”，求四边形DF 的面积． 探究：在△B 中，∠＝30°，B＝8，点D 在线段B 上，连接D，△D 和△BD 是“友好三角 形”，将△D 沿D 所在直线翻折，得到△′D，若△′D 与△B 重合部分的面积等于△B 面积的 ，求出△B 的面积． 19．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β 满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为 “近直角三角形”． （1）若△B 是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠＝50°，则∠＝ °； （2）如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，＝4．若BD 是∠B 的平分线， ①求证：△BD 是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得△BE 也是“近直角三角形”？若存在，请求 出E 的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在Rt△B 中，∠B＝90°，点D 为边上一点，以BD 为直径的圆交B 于点 E，连结E 交BD 于点F，若△BD 为“近直角三角形”，且B＝5，F＝3，求D 的长． 20．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即 两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中， M、B 是B 的中线，M⊥B 于点P，像B 这样的三角形均为“中垂三角形”．设B＝，＝ b，B＝． 【特例探究】 （1）如图1，当∠PB＝45°，＝ 时，＝ ，b＝ ；如图2，当∠PB＝30°， ＝2 时，2+b2＝ ； 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想2、b2、2三者之间的关系，用等式表示出来， 并利用图3 证明你的结论． 【拓展证明】 （3）如图4，在▱BD 中，E、F 分别是D、B 的三等分点，且D＝3E，B＝3BF，连接 F、BE、E，且BE⊥E 于E，F 与BE 相交点G，D＝3 ，B＝3，求F 的长． 21．定义：若△B 中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△B 为“半角三角形”． （1）若Rt△B 为半角三角形，∠＝90°，则其余两个角的度数为 ． （2）如图1，在▱BD 中，∠＝72°，点E 在边D 上，以BE 为折痕，将△BE 向上翻折， 点E 恰好落在D 边上的点F，若BF⊥D，求证：△EDF 为半角三角形； （3）如图2，以△B 的边B 为直径画圆，与边交于M，与边B 交于，已知△B 的面积是 △M 面积的4 倍． ①求证：∠＝60°． ②若△B 是半角三角形，直接写出∠B 的度数． 22．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等， 那么这两个三角形称为邻等三角形． 例如：如图1，△B 中，D＝D，B＝，∠B＝∠，则△BD 与△D 是邻等三角形． （1）如图2，⊙中，点D 是 的中点，那么请判断△BD 与△D 是否为邻等三角形，并说 明理由． （2）如图3，以点（2，2）为圆心，为半径的⊙交x 轴于点B（4，0），△B 是⊙的内接 三角形，∠B＝30°． ①求∠的度数和的长； ②点P 在⊙上，若△P 与△B 是邻等三角形时，请直接写出点P 的坐标． 23．定义：在△B 中，若有两条中线互相垂直，则称△B 为中垂三角形，并且把B2+B2+2叫做 △B 的方周长，记作L，即L＝B2+B2+2． （1）如图1，已知△B 是中垂三角形，BD，E 分别是，B 边上的中线，若＝B，求证： △B 是等腰直角三角形； （2）如图2，在中垂三角形B 中，E，BD 分别是边B，上的中线，且E⊥BD 于点，试 探究△B 的方周长L 与B2之间的数量关系，并加以证明； （3）如图3，已知抛物线y＝ 与x 轴正半轴相交于点，与y 轴相交于 点B，经过点B 的直线与该抛物线相交于点，与x 轴负半轴相交于点D，且BD＝D，连 接交y 轴于点E． ①求证：△B 是中垂三角形； ②若△B 为直角三角形，求△B 的方周长L 的值．