专题73 四边形中的新定义问题（原卷版）(1)

【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形BD 中， B＝B，D＝2 ，D＝5，∠B＝60°，则线段BD＝ ． 变式训练 【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点 的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△B 中，∠B＝90°，以为 一边向形外作菱形EF，点D 是菱形EF 对角线的交点，连接BD．若∠DB＝60°，∠B＝ 15°，BD＝2 ，则菱形EF 的面积为 ． 【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形BD 中， 若∠+∠＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形BD 是“对补四边形”． 【概念理解】（1）如图1，四边形BD 是“对补四边形”． ①若∠：∠B：∠＝3：2：1，则∠D＝ 度． 例题精讲 ②若∠B＝90°．且B＝3，D＝2 时．则D2﹣B2＝ ． 【类比应用】（2）如图2，在四边形BD 中，B＝B，BD 平分∠D．求证：四边形BD 是 “对补四边形”． 【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△B 中，∠B ＝90°，B＝2，B＝1，将△B 沿∠B 的平分线BB'的方向平移，得到'B''，连接'，'，若四边 形B'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 ． 变式训练 【变2-1】．已知在Rt△B 中，∠＝90°，＝6，B＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边 上的正方形是三角形的内接正方形”． （1）如图1，四边形DEF 是△B 的内接正方形，则正方形DEF 的边长1等于 ； （2）如图2，四边形DG 是（1）中△ED 的内接正方形，那么第2 个正方形DG 的边长 记为2；继续在图2 中的△G 中按上述方法作第3 个内接正方形，依此类推，……则第个 内接正方形的边长＝ ．（为正整数） 【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角 像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形BD 中E 是D 上的点，将△BE 绕B 点旋转，使B 与B 重合，此时点 E 的对应点F 在D 的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等 补”四边形； （2）如图2，已知四边形BD 是“直等补”四边形，B＝B＝10，D＝2，D＞B，过点B 作BE⊥D 于E． ①过作F⊥BF 于点F，试证明：BE＝DE，并求BE 的长； ②若M 是D 边上的动点，求△BM 周长的最小值． 1．如图，四边形DE 是证明勾股定理时用到的一个图形，，b，是Rt△B 和Rt△BED 边长， 易知E＝ ，这时我们把关于x 的形如x2+ x+b＝0 的一元二次方程称为“勾系一元 二次方程”． 请解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”： ①2x2+ x+1＝0 （填“是”或“不是”）； ②3x2+5 x+4＝0 （填“是”或“不是”） （2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”x2+ x+b＝0 必有实数根； （3）若x＝﹣1 是“勾系一元二次方程”x2+ x+b＝0 的一个根，且四边形DE 的周长 是12，求△B 面积． 2．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则 称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）（0，0），（3，0），B（0，4），请你画 出以格点为顶点，，B 为勾股边且对角线相等的勾股四边形MB； （3）如图2，将△B 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接D，D，∠DB＝ 30°．求证：D2+B2＝2，即四边形BD 是勾股四边形． 3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图，在△B 中，B＝，D 是△B 的角平分线，E，F 分别是BD，D 上的点．求证： 四边形BEF 是邻余四边形； （2）如图2，在5×4 的方格纸中，，B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 BEF，使B 是邻余线，E，F 在格点上； （3）如图3，已知四边形BD 是以B 为邻余线的邻余四边形，B＝15，D＝6，B＝3， ∠D＝135°，求D 的长度． 4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【性质初探】如图1，已知，▱BD，∠B＝80°，点E 是边D 上一点，连结E，四边形BE 恰为等腰梯形．求∠BE 的度数； 【性质再探】如图2，已知四边形BD 是矩形，以B 为一边作等腰梯形BEF，BF＝E， 连结BE、F．求证：BE＝F； 【拓展应用】如图3，▱BD 的对角线、BD 交于点，B＝2，∠B＝45°，过点作的垂线交B 的延长线于点G，连结DG．若∠DG＝90°，求B 的长． 5．给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称 为“邻余线”． （1）如图1，格点四边形BD 是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”； （2）如图2，在△B 中，B＝，D 是△B 的角平分线，E，F 分别是BD，D 上的点．求证： 四边形BEF 是“邻余四边形”； （3）如图3，四边形BD 是“邻余四边形”，B 为“邻余线”，E，F 分别是B，D 的中 点，连接EF，D＝4，B＝6．求EF 的长． 6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三 角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图1，△B 的三个顶点均在正方形格中的格点上，若四边形BD 是以为“相似对 角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在格中画出点D，请你在图1 中找出满 足条件的点D，保留画图痕迹（找出2 个即可） （2）①如图2，在四边形BD 中，∠DB＝90°，∠DB＝135°，对角线平分∠DB．请问是 四边形BD 的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若＝ ，求D•B 的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠B＝90°时，将△D 以为位似中心，位似比为 ： 缩小得到△EF，连接E、BF，在△EF 绕点旋转的过程中，当E 所在的直线垂直 于F 时，请你直接写出BF 的长． 7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解： 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究： 如图1，在等邻角四边形BD 中，∠DB＝∠B，D，B 的中垂线恰好交于B 边上一点P，连 接，BD，试探究与BD 的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展： 如图2，在Rt△B 与Rt△BD 中，∠＝∠D＝90°，B＝BD＝3，B＝5，将Rt△BD 绕着点顺 时针旋转角α（0°＜∠α＜∠B）得到Rt△B′D′（如图3），当凸四边形D′B 为等邻角四边 形时，求出它的面积． 8．定义：长宽比为 ：1（为正整数）的矩形称为 矩形．下面，我们通过折叠的方式 折出一个 矩形，如图①所示 操作1：将正方形BD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点落在对角线BD 上的点G 处， 折痕为B． 操作2：将D 沿过点G 的直线折叠，使点，点D 分别落在边B，D 上，折痕为EF． 可以证明四边形BEF 为 矩形． （Ⅰ）在图①中， 的值为 ； （Ⅱ）已知四边形BEF 为 矩形，仿照上述操作，得到四边形BM，如图②，可以证 明四边形BM 为 矩形，则的值是 ． 9．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠， 则四边形BD 为等邻角四边形． （1）定义理解：已知四边形BD 为等邻角四边形，且∠＝130°，∠B＝120°，则∠D＝ 度． （2）变式应用：如图2，在五边形BDE 中，ED∥B，对角线BD 平分∠B． ①求证：四边形BDE 为等邻角四边形； ②若∠+ + ∠∠E＝300°，∠BD＝∠，请判断△BD 的形状，并明理由． （3）深入探究：如图3，在等邻角四边形BD 中，∠B＝∠BD，E⊥B，垂足为E，点P 为边B 上的一动点，过点P 作PM⊥B，P⊥D，垂足分别为M，．在点P 的运动过程中， 判断PM+P 与E 的数量关系？请说明理由． （4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形BD 是等邻角四边形，∠＝ ∠B，E 为B 边上的一点，ED⊥D，E⊥B，垂足分别为D、，B＝2 dm，D＝3dm， BD＝ dm．M、分别为E、BE 的中点，连接DM、，求△DEM 与△E 的周长之和． 10．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定 义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是 “垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形BD 是“垂美四边形”，B＝6，D＝8，求D 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形BD 是“垂美四边形”，试探究其两组对边B，D 与B，D 之 间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 与正方形BDE，连 接E，BG，GE，E 与BG 交于点，已知＝3，B＝5，求△GE 的中线的长． 11．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． 特例感知： （1）如图1，四边形BD 是“垂美四边形，如果 ，B＝2，∠B＝60°，则 D2+B2＝ ，B2+D2＝ ． 猜想论证 （2）如图1，如果四边形BD 是“垂美四边形”，猜想它的两组对边B，D 与B，D 之 间的数量关系并给予证明． 拓展应用： （3）如图2，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连 接E，BG，GE，已知＝4，∠B＝60°，求GE 长． （4）如图3，∠B＝∠D＝90°，∠B＝∠D＝30°，∠B＝120°，＝D， ，连接，B， BD，请直接写出B 的长． 12．点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一 个正数k，使点P，Q 的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q 为一对“限斜点”，k 叫 做点P，Q 的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q， P）． 例：若P（1，0），Q（3， ），有|0﹣ |＝ |1 3| ﹣，所以点P，Q 为一对“限斜点”， 且“限斜系数”为 ． 已知点（1，0），B（2，0），（2，﹣2），D（2， ）． （1）在点，B，，D 中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ； （2）若存在点E，使得点E，是一对“限斜点”，点E，B 也是一对“限斜点”，且它 们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标； （3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFG 的各边与坐标轴平行，边长为 2，中心为点M（0，m）．点T 为正方形上任意一点，若所有点T 都与点是一对“限斜 点”，且都满足k（T，）≥1，直接写出点M 的纵坐标m 的取值范围． 13．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形 的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做 “中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． ．平行四边形 B．矩形 ．菱形 D．正方形 性质探究：如图1，四边形BD 是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形BD 的两 条结论： ； ． 问题解决：如图2，以锐角△B 的两边B，为边长，分别向外侧作正方形BDE 和正方形 FG，连结BE，EG，G．求证：四边形BGE 是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形BD 是“中方四边形”，M，分别是B，D 的中点， （1）试探索与M 的数量关系，并说明理由． （2）若＝2，求B+D 的最小值． 14．对于平面直角坐标系xy 中的图形1和图形2．给出如下定义：在图形1上存在两点，B （点，B 可以重合），在图形2上存在两点M，（点M、可以重合）使得M＝2B，则称 图形1和图形2满足限距关系． （1）如图1，点（1，0），D（﹣1，0），E（0， ），点F 在E 上运动（点F 可以 与，E 重合），连接F，DF． ①线段F 的最小值为 ，最大值为 ；线段DF 的取值范围是 ． ②在点，D 中，点 与线段E 满足限距关系． （2）如图2，正方形BM 的边长为2，直线PQ 分别与x 轴，y 轴交于点Q，P，且与x 轴正方向的夹角始终是30°，若线段PQ 与正方形BM 满足限距关系，求点P 的纵坐标 （＞0）的取值范围； （3）如图3，正方形BM 的顶点均在坐标轴上，（0，b）（b＞0），G，是正方形边上 两点，分别以G，为中心作边长为1 的正方形，与正方形BM 的四边分别平行．若对于 任意的点G，，以G，为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b 的取值范围． 15．定义：长宽比为 ：1（为正整数）的矩形称为 矩形． 下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图①所示． 操作1：将正方形BD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点落在对角线BD 上的点G 处， 折痕为B． 操作2：将D 沿过点G 的直线折叠，使点，点D 分别落在边B，D 上，折痕为EF． 则四边形BEF 为 矩形． 证明：设正方形BD 的边长为1，则BD＝ ＝ ． 由折叠性质可知BG＝B＝1，∠FE＝∠BFE＝90°，则四边形BEF 为矩形． ∠＝∠BFE． ∴EF∥D． ∴ ＝ ，即 ＝ ． ∴BF＝ ． ∴B：BF＝1： ＝ ：1． ∴四边形BEF 为 矩形． 阅读以上内容，回答下列问题： （1）在图①中，所有与相等的线段是 ，t∠B 的值是 ； （2）已知四边形BEF 为 矩形，模仿上述操作，得到四边形BM，如图②，求证： 四边形BM 是 矩形； （3）将图②中的 矩形BM 沿用（2）中的方式操作3 次后，得到一个“ 矩形”， 则的值是 ． 16．定义：长宽比为 ：1（为正整数）的矩形称为 矩形．下面，我们通过折叠的方 式折出一个 矩形，如图所示． 操作1：将正方形BEF 沿过点的直线折叠，使折叠后的点B 落在对角线E 上的点G 处， 折痕为． 操作2：将FE 沿过点G 的直线折叠，使点F、点E 分别落在边F，BE 上，折痕为D． 则四边形BD 为 矩形． （1）证明：四边形BD 为 矩形； （2）点M 是边B 上一动点． ①如图b，是对角线的中点，若点在边B 上，M⊥，连接M．求t∠M 的值； ②若M＝D，点在边B 上，当△DM 的周长最小时，求 的值； ③连接M，作BR⊥M，垂足为R．若B＝2 ，则DR 的最小值＝ ． 17．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形． （1）如图1，在半对角四边形BD 中，∠B＝ ∠D，∠＝ ∠，则∠B+∠＝ °； （2）如图2，锐角△B 内接于⊙，若边B 上存在一点D，使得BD＝B，在上取点E，使 得DE＝E，连接DE 并延长交于点F，∠ED＝3∠EF．求证：四边形BFD 是半对角四边 形； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DG⊥B 于点，交B 于点G，＝2，D＝6． ①连接，若将扇形B 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ； ②求△B 的面积． 18．在平面直角坐标系xy 中，点在直线l 上，以为圆心，为半径的圆与y 轴的另一个交点 为E．给出如下定义：若线段E，⊙和直线l 上分别存在点B，点和点D，使得四边形 BD 是矩形（点，B，，D 顺时针排列），则称矩形BD 为直线l 的“理想矩形”． 例如，下图中的矩形BD 为直线l 的“理想矩形”． （1）若点（﹣1，2），四边形BD 为直线x＝﹣1 的“理想矩形”，则点D 的坐标为 ； （2）若点（3，4），求直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积； （3）若点（1，﹣3），直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的坐标 为 ．