高中物理新教材同步必修第一册 第2章 专题强化 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式v-t图像的综合应用

[学习目标] 1.理解平均速度公式、位移差公式，并能解决相关问题.2.进一步掌握v－t 图像 的特点，会用v－t 图像求位移． 一、匀变速直线运动的平均速度公式 1．公式的推导 匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2 平均速度＝＝v0＋at 初、末速度的平均值：＝＝v0＋at 中间时刻的速度： ＝v0＋a·＝v0＋at 故有＝＝ 即在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又 等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．如图1 所示． 图1 2.＝与＝及＝ 的比较 ＝适用于任何形式的运动；＝和＝ 只适用于匀变速直线运动． 命题角度1 平均速度公式的应用 物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后 接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t＝20 s，总位移 为300 m，则物体运动的最大速度为( ) A．15 m/s B．30 m/s C．7.5 m/s D．无法求解 答案 B 解析 设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：＝(0＋vm)＝vm，x1＝，匀减速直线运动过 程：＝(vm＋0)＝vm，x2＝t2，所以整个运动过程x＝x1＋x2＝(t1＋t2)＝t，解得vm＝30 m/s. 一物体做匀加速直线运动，共运动4 s，第1 s 内位移为3 m，最后2 s 位移为16 m， 则物体的加速度为( ) A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.5 m/s2 答案 C 解析 第1 s 内平均速度：1＝3 m/s，等于中间时刻0.5 s 时的瞬时速度，v0.5＝1＝3 m/s 最后2 s 平均速度：2＝8 m/s，等于中间时刻3 s 末的瞬时速度，v3＝2＝8 m/s a＝＝ m/s2＝2 m/s2，选项C 正确． 命题角度2 中间时刻与中间位置的瞬时速度 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为 l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求： (1)火车中点经过此路标时的速度大小； (2)整列火车通过此路标所用的时间t. 答案 (1) (2) 解析 火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进 位移l，速度变为v2，所求的是质点经过处的速度，其运动简图如图所示． (1)前一半位移， －v1 2＝2a· 后一半位移，v2 2－ ＝2a· 所以有 －v1 2＝v2 2－ ，故 ＝. (2)火车的平均速度＝ 故所用时间t＝＝. 1．注意：在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度 与中间位置的瞬时速度 是不同 的， ＝， ＝. 2．可以证明：不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有 ＞ . 二、位移差公式Δx＝aT2 匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移差都相等． 即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2(如图2)． 图2 (1)推导：第一个时间T 内的位移：x1＝v0T＋aT2 第二个时间T 的位移：x2＝(v0＋aT)T＋aT2 第三个时间T 内的位移：x3＝(v0＋a·2T)T＋aT2 …… 第n 个时间T 内的位移：xn＝[v0＋a·(n－1)T]T＋aT2 所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2 T 为连续相等的时间间隔，x1、x2、x3、…、xn为连续相等时间间隔内的位移． (2)应用 ①判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运 动． ②求加速度 利用Δx＝aT2，可求得a＝. ③推论：xm－xn＝(m－n)aT2. (多选)(2019·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移是2 m，第4 s 内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( ) A．第2 s 内的位移是2.5 m B．第3 s 末的瞬时速度是2.25 m/s C．质点的加速度是0.125 m/s2 D．质点的加速度是0.5 m/s2 答案 BD 解析 由Δx＝aT2，得a＝＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s 内的位移x2＝1.5 m，A、C 错误，D 正确；第3 s 末的瞬时速度等于2～4 s 内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B 正确． 三、v－t 图像的综合应用 1．利用v－t 图像求位移 v－t 图线与时间轴所围的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时 间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差．通过的路程为时 间轴上、下“面积”绝对值之和． (多选)(2019·北京市昌平区高一上期末)汽车以10 m/s 的速度在平直公路上匀速行驶， 驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前．假设驾驶员 的反应时间为0.5 s，汽车运动的v－t 图像如图3 所示．下列说法中正确的是( ) 图3 A．在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 m B．从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离为15 m C．汽车刹车时的加速度大小为10 m/s2 D．从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度为6 m/s 答案 ABD 解析 汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离x1＝vt1 ＝10×0.5 m＝5 m，故A 正确；根据v－t 图像的“面积”表示物体通过的位移可知，从驾 驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离x＝10×0.5 m＋×10×2 m＝15 m，故B 正确；匀 减速运动的加速度大小a＝||＝ m/s2＝5 m/s2，故C 错误；从驾驶员发现情况到汽车停止的 平均速度＝＝ m/s＝6 m/s，故D 正确． 2．x－t 图像与v－t 图像的比较 种类 内容 v－t 图像 x－t 图像 图线斜率 表示加速度 表示速度 图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义 两图线交点坐标 表示速度相同，不表示相遇，往 往是距离最大或最小的临界点 表示相遇 相同点 表示物体做直线运动 在如图4 所示的x－t 图像和v－t 图像中，给出的四条曲线1、2、3、4 分别代表四 个不同物体的运动情况，则下列说法正确的是( ) 图4 A．图线1、3 表示物体做曲线运动 B．x－t 图像中0～t1时间内物体1 和2 的平均速度相等 C．v－t 图像中t3时刻物体3 的速度大于物体4 的速度 D．两图像中t2、t4时刻分别表示物体2 和4 开始反向运动 答案 B 解析 运动图像反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图像还是位移—时 间图像，只能表示物体做直线运动，故A 错误；x－t 图像中0～t1时间内物体1 和2 通过的 位移相等，所用时间相等，则平均速度相等，故B 正确；由题图知，v－t 图像中t3时刻物体 3 的速度等于物体4 的速度，故C 错误；x－t 图像的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表 示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动．而t2时刻之前物体2 沿正方向 运动，t2时刻之后物体2 沿负方向运动，故t2时刻物体2 开始反向运动．v－t 图像中速度的 正负表示运动方向，物体4 在0～t5这段时间内速度始终为正，故t4时刻物体4 没有反向运 动，故D 错误． 1．(位移差公式Δx＝aT2的应用)(多选)如图5 所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD 所用的时间 均为0.2 s，则下列说法正确的是( ) 图5 A．物体的加速度为20 m/s2 B．物体的加速度为25 m/s2 C．CD＝4 m D．CD＝5 m 答案 BC 解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得：a ＝＝25 m/s2，故A 错误，B 正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C 正确，D 错误． 2.(v－t 图像的综合应用)(2019·山西大学附中月考)如图6 是物体做直线运动的v－t 图像，由 图可知，该物体( ) 图6 A．0～2 s 内和0～4 s 内的位移不相等 B．0～2 s 内和0～4 s 内的平均速度大小不相等 C．第1 s 内和第4 s 内的位移大小不相等 D．第3 s 内和第4 s 内的加速度不相同 答案 B 解析 0～2 s 内物体的位移x2＝ m＝1.5 m，则平均速度2＝＝0.75 m/s.0～4 s 内物体的位移 x4＝1.5 m＝x2，则平均速度4＝＝0.375 m/s，A 错，B 对．第1 s 内和第4 s 内位移大小均为 0.5 m，C 错．第3 s 内和第4 s 内加速度均为－1 m/s2，D 错． 3．(平均速度公式的应用)一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s，前4 s 内位移为20 m，求： (1)质点前4 s 内的平均速度大小； (2)质点第4 s 末的速度大小； (3)质点第2 s 末的速度大小． 答案 (1)5 m/s (2)8 m/s (3)5 m/s 解析 (1)利用平均速度公式，前4 s 内的平均速度 ＝＝ m/s＝5 m/s (2)因为＝，代入数据解得， 第4 s 末的速度v4＝8 m/s. (3)第2 s 末为这段时间的中间时刻，故v2＝＝5 m/s. 训练1 平均速度公式与位移差公式的应用 1．(2019·北京西城区高一上期末)歼－20 飞机在第十一届中国国际航空航天博览会(中国航 展)上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相．假设该战斗机 起飞前从静止开始做匀加速直线运动，起飞的速度为v，所经历的时间为t，则起飞前的运 动距离为( ) A．vt B. C．2vt D．不能确定 答案 B 2．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直 线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图1 所示，如果拍摄时每隔2 s 曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( ) 图1 A．1 m/s2 B．2.25 m/s2 C．3 m/s2 D．4.25 m/s2 答案 B 解析 轿车车身总长4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m 和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故选B. 3．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s 后到达斜面底端，并在水 平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s 停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度 大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( ) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1 答案 C 解析 设物体到达斜面底端时的速度为v， 则物体在斜面上的平均速度1＝， 在斜面上的位移x1＝1t1＝t1 在水平地面上的平均速度2＝， 在水平地面上的位移x2＝2t2＝t2 所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C. 4．(多选)(2019·山西大学附中月考)一质点从A 点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、 C、D 三点．已知AB 段、CD 段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB 段、BC 段、CD 段时 间相等，均为1 s，则( ) A．质点的加速度大小为4 m/s2 B．质点的加速度大小为2 m/s2 C．质点在C 点的速度大小为11 m/s D．质点在B 点的速度大小为6 m/s 答案 AC 解析 AB、BC、CD 段时间相等，均为T＝1 s 由x3－x1＝2aT2得a＝＝ m/s2＝4 m/s2 由x2－x1＝x3－x2得BC 段长度x2＝9 m B 点对应AC 段的中间时刻，vB＝AC＝＝ m/s＝7 m/s C 点对应BD 段的中间时刻，vC＝BD＝＝ m/s＝11 m/s，故A、C 正确． 5．(2019·上海市延安中学期末)物体沿一直线运动，在t0时间内通过的路程为s，它在中间位 置s 处的速度为v1，在中间时刻t0时的速度为v2，则v1和v2的关系为( ) A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2 B．当物体做匀减速直线运动时，v1<v2 C．当物体做匀加速直线运动时，v1＝v2 D．当物体做匀减速直线运动时，v1＝v2 答案 A 解析 画出匀加速直线运动和匀减速直线运动的v－t 图像，如图所示，可很直观地看出总 有v1>v2，只有A 正确． 6．为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用了10 s 时间通过一座长120 m 的桥，过桥后瞬间的速度是14 m/s.求：(汽车可看成质点) (1)汽车刚开上桥头时的速度大小； (2)桥头与出发点间的距离． 答案 (1)10 m/s (2)125 m 解析 (1)设汽车刚开上桥头时的速度为v1， 则有x＝t v1＝－v2＝(－14) m/s＝10 m/s. (2)汽车的加速度a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2 桥头与出发点间的距离x′＝＝ m＝125 m. 7.从斜面上某一位置每隔0.1 s 释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连 续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图2 所示的照片(照片与实际大小相同)， 测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.试问： 图2 (1)小球的加速度的大小； (2)拍摄时小球在B 点时的速度的大小； (3)拍摄时C、D 间的距离xCD； (4)A 点的上方滚动的小球还有几个． 答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2 个 解析 (1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为 a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2. (2)由题意知B 点对应AC 段的中间时刻，所以B 点的速度等于AC 段的平均速度，即 vB＝＝ m/s＝1.75 m/s. (3)由于连续相等时间内位移差恒定， 所以xCD－xBC＝xBC－xAB， 得xCD＝2xBC－xAB ＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m. (4)设A 点处小球的速度为vA， 由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s， 所以A 点处小球的运动时间为tA＝＝0.25 s， 所以在A 点的上方滚动的小球还有2 个． 训练2 v-t 图像的应用 1．(多选)物体甲的x－t 图像和物体乙的v－t 图像分别如图1 甲、乙所示，则关于这两个物 体的运动情况，下列说法正确的是( ) 图1 A．甲在0～6 s 时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m B．甲在0～6 s 时间内平均速度为零 C．乙在0～6 s 时间内通过的总位移为零 D．乙在0～6 s 时间内加速度大小不变，方向发生了变化 答案 AC 解析 位移－时间图像中图线的斜率表示速度，甲在整个过程中图线的斜率不变，知甲运动 的速度不变，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A 正确，B 错误；乙在0～6 s 内，先向 负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s 时发生改变， 图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s 内总位移为零，故C 正确；在速度－时 间图像中斜率表示加速度，整个过程中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未 发生改变，故D 错误． 2.(多选)(2019·宁波市高一上期末)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高 度，其v－t 图像如图2 所示，则由图可知下列判断正确的是( ) 图2 A．小球能弹起的最大高度为1.25 m B．小球能弹起的最大高度是0.45 m C．小球第一次反弹后瞬间速度的大小为3 m/s D．小球下落的最大速度为5 m/s 答案 BCD 解析 图线在0.5～0.8 s 段表示小球反弹后上升过程，图线与时间轴围成的“面积”表示位 移，故球能弹起的最大高度h＝×3×0.3 m＝0.45 m，故A 错误，B 正确；小球在0.5 s 末第 一次反弹，小球第一次反弹的速度大小为3 m/s，故C 正确；小球在0.5 s 末与地面相碰瞬 间下落的速度最大，该最大速度为5 m/s，故D 正确． 3.(多选)做直线运动的物体的v－t 图像如图3 所示．由图像可知( ) 图3 A．前10 s 物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s 物体的加速度为－1 m/s2 B．15 s 末物体回到出发点 C．前15 s 内物体位移为37.5 m D．前10 s 内的平均速度为2.5 m/s 答案 ACD 解析 在v－t 图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s 物体的加速度为a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，后5 s 物体的加速度为a2＝ m/s2＝－1 m/s2，故A 正确；v－t 图线与时间轴所围“面 积”表示位移，故物体在前15 s 内的位移为x＝×15×5 m＝37.5 m；前10 s 内的平均速度＝ ＝ m/s＝2.5 m/s，故B 错误，C、D 正确． 4.(2020·屯溪一中检测)某物体做直线运动，物体的v－t 图像如图4 所示．若初速度的大小为 v0，末速度的大小为v1，则在0～t1时间内物体的平均速度( ) 图4 A．等于(v0＋v1) B．小于(v0＋v1) C．大于(v0＋v1) D．条件不足，无法比较 答案 C 解析 v－t 图线与时间轴所围的面积表示位移，显然位移大于图中梯形的面积，故在0～t1 时间内物体的平均速度大于(v0＋v1)，选项C 正确，A、B、D 错误． 5．(2019·太原五中阶段性检测)已知A、B 两物体在同一直线上运动，v－t 图像如图5 所示， 则( ) 图5 A．0～4 s 内B 的位移比A 的位移大 B．在t＝4 s 时A、B 两物体相遇 C．0～4 s 内B 在A 的前面 D．A 物体的加速度大于B 物体的加速度 答案 A 解析 由v－t 图像与时间轴所围面积表示位移，故0～4 s 内，B 的位移大于A 的位移，A 正确．由于A、B 两物体初始位置之间的关系未知，故不能确定其他时刻两物体的位置关系， 故B、C 错误．由v－t 图像的斜率表示加速度可知B 的加速度大于A 的加速度，故D 错误． 6.(2019·哈尔滨四校高一上期中)有一质点从x 轴的坐标原点开始沿x 轴做直线运动，其速度 随时间变化的图像如图6 所示，下列四个选项的图像中，a 表示质点运动的加速度，x 表示 质点的位移，其中正确的是( ) 图6 答案 B 解析 由v－t 图像可知，0～1 s 时间内质点的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，同理可得1～ 2 s 内质点的加速度为－2 m/s2,2～3 s 内质点的加速度为－3 m/s2,3～4 s 内质点的加速度为3 m/s2，故A 错误，B 正确；位移—时间图线的斜率表示速度，质点做变速运动，则位移—时 间图线应