高中物理新教材同步选择性必修第一册 主题1 微型专题 动量和能量的综合应用

微型专题 动量和能量的综合应用 [学科素养与目标要求] 物理观念：进一步理解动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律的内容及其含义. 科学思维：1.掌握应用动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律解题的方法步骤.2.通过学习， 培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力. 一、滑块—木板模型 1.把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量 守恒. 2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减 少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s 相对，其中s 相对为滑块和木板相对滑动的路程. 3.注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多. 例1 如图1 所示，B 是放在光滑的水平面上质量为3m 的一块木板，物块A(可看成质点)质 量为m，与木板间的动摩擦因数为μ.最初木板B 静止，物块A 以水平初速度v0滑上长木板， 木板足够长.求：(重力加速度为g) 图1 (1)木板B 的最大速度的大小； (2)从刚滑上木板到A、B 速度刚好相等的过程中，木块A 所发生的位移大小； (3)若物块A 恰好没滑离木板B，则木板至少多长？ 答案 (1) (2) (3) 解析 (1)由题意知，A 向右减速，B 向右加速，当A、B 速度相等时B 速度最大.以v0的方向 为正方向，根据动量守恒定律：mv0＝(m＋3m)v，得：v＝ (2)A 向右减速的过程，根据动能定理有－μmgx1＝mv2－mv0 2 则木块A 所发生的位移大小为x1＝ (3)方法一：B 向右加速过程的位移设为x2. 则μmgx2＝×3mv2，解得：x2＝ 木板的最小长度：L＝x1－x2＝ 方法二：从A 滑上B 至达到共同速度的过程中，由能量守恒得：μmgL＝mv0 2－(m＋3m)v2 得：L＝. [学科素养] 例题可用动能定理、牛顿运动定律结合运动学公式、能量守恒定律等方法求木 板的长度，通过对比选择培养了对综合问题的分析能力和应用物理规律解题的能力，体现了 “科学思维”的学科素养. 二、子弹打木块模型 1.子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒. 2.在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化. 3.若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多. 例2 如图2 所示，在水平地面上放置一质量为M 的木块，一质量为m 的子弹以水平速度 v 射入木块(时间极短且未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：(重力加速度为g) 图2 (1)子弹射入木块的过程中，系统损失的机械能； (2)子弹射入后，木块在地面上前进的距离. 答案 (1) (2) 解析 (1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由 动量守恒得：mv＝(M＋m)v′① 射入过程中系统损失的机械能ΔE＝mv2－(M＋m)v′2② 由①②两式解得：ΔE＝. (2)子弹射入木块后，二者一起沿地面滑行，设滑行的距离为x，由动能定理得： －μ(M＋m)gx＝0－(M＋m)v′2③ 由①③两式解得：x＝. 子弹打木块模型与滑块—木板模型类似，都是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统所 受的外力为零(或内力远大于外力)，动量守恒.当子弹不穿出木块或滑块不滑离木板时，两物 体最后有共同速度，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多. 三、弹簧类模型 1.对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒. 2.整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化， 应用能量守恒定律解决此类问题. 3.注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能 最大. 例3 如图3 所示，A、B、C 三个小物块放置在光滑水平面上，A 紧靠竖直墙壁，A、B 之 间用水平轻弹簧拴接且轻弹簧处于原长，它们的质量分别为mA＝m，mB＝2m，mC＝m.现给 C 一水平向左的速度v0，C 与B 发生碰撞并粘合在一起.试求： 图3 (1)A 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能； (2)A 离开墙壁后，C 的最小速度的大小. 答案 (1)mv0 2 (2) 解析 (1)B、C 碰撞前后动量守恒，以水平向左为正方向，则mv0＝3mv， 弹簧压缩至最短时弹性势能最大，由机械能守恒定律可得：Epm＝×3mv2 联立解得：Epm＝mv0 2 (2)A 离开墙壁前，在弹簧恢复原长的过程中，系统机械能守恒.设弹簧恢复原长时，B、C 的 速度为v′， 有Epm＝mv′2，则v′＝. A 离开墙壁后，在弹簧弹力的作用下速度逐渐增大，B、C 的速度逐渐减小，当弹簧再次恢 复原长时，A 达到最大速度vA，B、C 的速度减小到最小值vC.在此过程中，系统动量守恒、 机械能守恒. 以水平向右为正方向，有3mv′＝mvA＋3mvC，Epm＝mvA 2＋mvC 2， 解得：vC＝. 针对训练 如图4 所示，A、B、C 三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C 之 间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连.将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B 和C 相连，使弹簧不能伸展，以至于B、C 与弹簧可视为一个整体.现A 以初速度v0沿B、C 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起以后，细线突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A、B 分离.已知C 离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的弹性势能. 图4 答案 mv0 2 解析 设碰后A、B 和C 的共同速度的大小为v，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得 mv0＝3mv① 设C 离开弹簧时，A、B 的速度大小为v1，由动量守恒得3mv＝2mv1＋mv0② 设弹簧释放的弹性势能为Ep，从细线断开到C 与弹簧分开的过程中机械能守恒，有 (3m)v2＋Ep＝(2m)v1 2＋mv0 2③ 由①②③式得，弹簧所释放的弹性势能为Ep＝mv0 2. 1.(滑块—木板模型)如图5 所示，质量为M、长为L 的长木板放在光滑的水平面上，一个质 量也为M 的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块 恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上最多能滑行的 距离为( ) 图5 A.L B. C. D. 答案 D 解析 长木板固定时，由动能定理得：－μMgL＝0－Mv0 2，若长木板不固定，以物块初速度 的方向为正方向，有Mv0＝2Mv，μMgs＝Mv0 2－×2Mv2，得s＝，D 项正确，A、B、C 项错 误. 2.(子弹打木块模型)(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光 滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出， 若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图6 所示，则上述两种情况相比较，下列说法 正确的是( ) 图6 A.子弹的末速度大小相等 B.系统产生的热量一样多 C.子弹对滑块做的功相同 D.子弹和滑块间的水平作用力一样大 答案 ABC 解析 以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v，可得滑块最终获得的速 度：v＝，可知两种情况下子弹的末速度是相同的，故A 正确；子弹嵌入下层或上层过程中， 系统产生的热量都等于系统减少的动能，而子弹减少的动能一样多(两种情况下子弹初、末 速度都相等)，滑块增加的动能也一样多，则系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样 多，故B 正确；根据动能定理，滑块动能的增量等于子弹对滑块做的功，所以两次子弹对 滑块做的功一样多，故C 正确；由Q＝Ff·x 相对知，由于相对位移x 相对不相等，所以两种情况 下子弹和滑块间的水平作用力不一样大，故D 错误. 3.(弹簧类问题)如图7 所示，木块A、B 的质量均为2 kg，置于光滑水平面上，B 与一水平轻 质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，当A 以4 m/s 的速度向B 撞击时，由 于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能大小为( ) 图7 A.4 J B.8 J C.16 J D.32 J 答案 B 解析 由碰撞过程中动量守恒得：mAvA＝(mA＋mB)v，代入数据解得v＝2 m/s，所以碰后 A、B 及弹簧组成的系统的机械能为(mA＋mB)v2＝8 J，当弹簧被压缩至最短时，系统的动能 为0，只有弹性势能，由机械能守恒得此时弹簧的弹性势能为8 J. 4.(动量与能量的综合)(2018·广东省实验中学、广雅中学、佛山一中高二下期末)如图8 所示， 一质量为MB＝6 kg 的木板B 静止于光滑的水平面上，物块A 的质量MA＝6 kg，停在B 的左 端，一质量为m＝1 kg 的小球用长为l＝0.8 m 的轻绳悬挂在固定点O 上.将轻绳拉直至水平 位置后，由静止释放小球，小球在最低点与A 发生碰撞后反弹，反弹所能达到的最大高度h ＝0.2 m，物块与小球均可视为质点，A、B 达到共同速度后A 还在木板上，不计空气阻力， g 取10 m/s2. 图8 (1)球和物块A 碰后瞬间A 物块的速度大小. (2)A、B 组成的系统因摩擦损失的机械能. 答案 (1)1 m/s (2)1.5 J 解析 (1)对于小球，在运动的过程中机械能守恒， 则有mgl＝mv1 2，得v1＝＝4 m/s， mgh＝mv1′2，得v1′＝＝2 m/s 球与A 碰撞过程中，系统的动量守恒，以向右为正方向，则有：mv1＝－mv1′＋MAvA，解得 vA＝1 m/s (2)物块A 与木板B 相互作用过程中： MAvA＝(MA＋MB)v 共，解得v 共＝0.5 m/s. A、B 组成的系统因摩擦而损失的机械能 ΔE＝MAvA 2－(MA＋MB)v 共 2 代入数据，得出ΔE＝1.5 J 一、选择题 1.如图1 所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3 kg 的薄板和质量m＝1 kg 的物块都以v＝ 4 m/s 的初速度相向运动，它们之间有摩擦，薄板足够长，当薄板的速度为2.9 m/s 时，物块 的运动情况是( ) 图1 A.做减速运动 B.做加速运动 C.做匀速运动 D.以上运动都有可能 答案 A 解析 开始阶段，物块向左减速，薄板向右减速，当物块的速度为零时，设此时薄板的速度 为v1，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得：(M－m)v＝Mv1 代入数据解得：v1≈2.67 m/s＜2.9 m/s，所以物块处于向左减速的过程中. 2.(多选)如图2 所示，与水平轻弹簧相连的物体A 停放在光滑的水平面上，物体B 沿水平方 向向右运动，跟与A 相连的轻弹簧相碰.在B 跟弹簧相碰后，对于A、B 和轻弹簧组成的系统， 下列说法中正确的是( ) 图2 A.弹簧压缩量最大时，A、B 的速度相同 B.弹簧压缩量最大时，A、B 的动能之和最小 C.弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少 D.物体A 的速度最大时，弹簧的弹性势能为零 答案 ABD 解析 物体B 与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B 做减速运动，A 做加速运动， 当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A 正确.A、B 和弹簧组成的系统动量守恒，压缩 量最大时，弹性势能最大，根据能量守恒，知此时A、B 的动能之和最小，故B 正确.弹簧在 压缩的过程中，A、B 和弹簧组成的系统动量守恒，故C 错误.当两者速度相等时，弹簧的压 缩量最大，然后A 继续加速，B 继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A 的速 度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D 正确. 3.如图3 所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 质量相等，都可视作质点.Q 与水平轻质 弹簧相连.设Q 静止，P 以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞.在整个碰撞过程中，弹簧 具有的最大弹性势能等于( ) 图3 A.P 的初动能 B.P 的初动能的 C.P 的初动能的 D.P 的初动能的 答案 B 解析 把小滑块P 和Q 以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒.在整个碰撞过程中，当小 滑块P 和Q 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大.设小滑块P 的初速度为v0，两滑块的质量 均为m，以v0的方向为正方向，则mv0＝2mv，得v＝ 所以弹簧具有的最大弹性势能Epm＝mv0 2－×2mv2＝mv0 2＝Ek0，故B 正确. 4.质量为M、内壁间距为L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块， 小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图4 所示.现给小 物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持 相对静止.设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( ) 图4 A.mv2 B.μmgL C.NμmgL D. 答案 D 解析 由于箱子M 放在光滑的水平面上，则由箱子和小物块组成的系统动量始终是守恒的， 直到箱子和小物块的速度相同时，小物块与箱子之间不再发生相对滑动，以v 的方向为正方 向，有mv＝(m＋M)v1 系统损失的动能是因为摩擦力做负功 ΔEk＝－Wf＝μmg·NL＝mv2－(M＋m)v1 2＝，故D 正确，A、B、C 错误. 5.(多选)如图5 所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹水平射入木块的深度为d 时，子 弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为L，木块对子弹的平均 阻力为Ff，那么在这一过程中下列说法正确的是( ) 图5 A.木块的机械能增量为FfL B.子弹的机械能减少量为Ff(L＋d) C.系统的机械能减少量为Ffd D.系统的机械能减少量为Ff(L＋d) 答案 ABC 解析 子弹对木块的平均作用力大小为Ff，木块相对于桌面的位移为L，则子弹对木块做功 为FfL，根据动能定理得知，木块动能的增加量，即机械能的增量等于子弹对木块做的功， 即为FfL.故A 正确.木块对子弹的阻力做功为－Ff(L＋d)，根据动能定理得知：子弹动能的减 少量，即机械能的减少量等于子弹克服阻力做功，大小为Ff(L＋d)，故B 正确.子弹相对于 木块的位移大小为d，则系统克服阻力做功为Ffd，根据功能关系可知，系统机械能的减少 量为Ffd，故C 正确，D 错误. 6.如图6 所示，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，小车上AB 部分是半径为R 的四分 之一光滑圆弧，BC 部分是粗糙的水平面.今把质量为m 的小物体从A 点由静止释放，小物体 与BC 部分间的动摩擦因数为μ，最终小物体与小车相对静止于B、C 之间的D 点，则B、D 间的距离x 随各量变化的情况是( ) 图6 A.其他量不变，R 越大x 越大 B.其他量不变，μ 越大x 越大 C.其他量不变，m 越大x 越大 D.其他量不变，M 越大x 越大 答案 A 解析 小车和小物体组成的系统水平方向的动量守恒且为零，所以当小车和小物体相对静止 时，系统水平方向的总动量仍为零，则小车和小物体相对于光滑的水平面也静止，由能量守 恒得μmgx＝mgR，得x＝，选项A 正确，B、C、D 错误. 7.(多选)(2018·福州十一中高二下期中)如图7 所示，质量为M 的长木板A 静止在光滑的水平 面上，有一质量为m 的小滑块B 以初速度v0从左侧滑上木板，且恰能滑离木板，滑块与木 板间动摩擦因数为μ.下列说法中正确的是( ) 图7 A.若只增大v0，则滑块滑离木板过程中系统产生的热量增加 B.若只增大M，则滑块滑离木板过程中木板所受到的冲量减少 C.若只减小m，则滑块滑离木板时木板获得的速度减小 D.若只减小μ，则滑块滑离木板过程中滑块对地的位移减小 答案 BCD 解析 滑块滑离木板过程中系统产生的热量等于滑动摩擦力与相对位移的乘积Q＝FfL 相＝ μmgL 相，因为相对位移没变，所以产生的热量不变，故A 错误；由极限法，当M 很大时， 长木板运动的位移xM 会很小，滑块的位移等于xM＋L 很小，对滑块根据动能定理：－ μmg(xM＋L)＝mv1 2－mv0 2，可知滑块滑离木板时的速度v1较大，滑块动量变化较小，由动量 守恒定律知，木板动量变化也较小，再根据动量定理知，木板受到的冲量较小，故B 正确； 采用极限法：当m 很小时，摩擦力也很小，m 的动量变化很小，把长木板和小滑块看成一 个系统，满足动量守恒，那么长木板的动量变化也很小，故C 正确；当μ 很小时，摩擦力也 很小，长木板运动的位移xM会很小，滑块的位移等于xM＋L 也会很小，故D 正确. 8.(多选)用不可伸长的细线悬挂一质量为M 的小木块，木块静止，如图8 所示.现有一质量为 m 的子弹自左向右水平射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0，重力加速度为g，则 下列说法正确的是( ) 图8 A.从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒 B.子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为 C.忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射入木块 前的动能 D.子弹和木块一起上升的最大高度为 答案 BD 解析 从子弹射向木块到一起运动到最高点的过程可以分为两个阶段：子弹射入木块的瞬间 系统动量守恒，但机械能不守恒，有部分机械能转化为系统内能，之后子弹在木块中与木块 一起上升，该过程只有重力做功，机械能守恒但总能量小于子弹射入木块前的动能，故A、 C 错误；规定向右为正方向，由子弹射入木块瞬间系统动量守恒可知：mv0＝(m＋M)v′ 所以子弹射入木块后的共同速度为：v′＝，故B 正确；之后子弹和木块一起上升，该阶段根 据机械能守恒得：(M＋m)v′2＝(M＋m)gh， 可得上升的最大高度为：h＝，故D 正确. 9.(多选)如图9 所示，水平轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m 的物体A 相连， A 放在光滑水平面上，有一质量与A 相同的物体B，从离水平面高h 处由静止开始沿固定光 滑曲面滑下，与A 相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B 与A 分开且沿原曲面 上升.下列说法正确的是(重力加速度为g)( ) 图9 A.弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh B.弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为 C.B 与A 分开后能达到的最大高度为 D.B 与A 分开后能达到的最大高度不能计算 答案 BC 解析 根据机械能守恒定律可得B 刚到达水平面的速度v0＝，根据动量守恒定律可得A 与B 碰撞后的速度为v＝v0，所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为Epm＝×2mv2＝mgh，故 A 错误，B 正确；当弹簧再次恢复原长时，A 与B 分开，B 以大小为v 的速度向左沿曲面上 滑，根据机械能守恒定律可得mgh′＝mv2，解得B 能达到的最大高度为h′＝h，故C 正确， D 错误. 10.(多选)如图10 所示，图甲表示光滑平台上物体A 以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小车 上，车与水平面间的摩擦不计；图乙为物体A 与小车B 的v－t 图象，由此可知( ) 图10 A