高中物理新教材同步必修第二册 第8章 专题强化 机械能守恒定律的应用 功能关系的理解和应用

专题强化 机械能守恒定律的应用 功能关系的理解和应用 [学习目标] 1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.2.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题. 3.知道常见的几种功能关系，知道功是能量转化的量度. 一、多物体组成的系统机械能守恒问题 1.多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是 守恒的. 2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系. 3.机械能守恒定律表达式的选取技巧 (1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求 解. (2)当研究对象为两个物体组成的系统时： ①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达 式ΔEk＝－ΔEp来求解. ②若A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解. 如图1 所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定 滑轮，物块A 和B 的质量分别为m1和m2，物块A 和B 均可视为质点，通过轻而柔软的细绳 连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为H 的位置上，释放两物块后，A 沿斜 面无摩擦地上滑，B 沿斜面的竖直边下落.若物块A 恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的 比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计. 图1 答案 1∶2 解析 设B 刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得： m2g·－m1g·sin 30°＝(m1＋m2)v2① A 以速度v 上滑到顶点过程中机械能守恒，则： m1v2＝m1g·sin 30°，② 由①②得＝1∶2. 机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统，经常出现下面三种情况： (1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接.这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式 的转化关系. (2)系统内两个物体通过轻绳连接.如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两 物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒.解决此类问题的关键是在绳的方向上两 物体速度大小相等. (3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速 度相等. 二、链条类物体的机械能守恒问题 链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解 题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变 化. 如图2 所示，总长为L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端 A、B 相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？ 图2 答案 解析 方法一 (取整个铁链为研究对象)： 设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A 点上方L 处，末位置的重心与A 点最初位置在 同一水平面上，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·L 由机械能守恒得：mv2＝mg·L，则v＝. 方法二 (将铁链看做两段)： 铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置. 重力势能减少量为 ΔEp＝mg· 由机械能守恒得： mv2＝mg· 则v＝. 三、利用机械能守恒定律分析多过程问题 (2019·启东中学高一下学期期中)如图3，光滑管状轨道ABC 由直轨道AB 和圆弧形 轨道BC 组成，二者在B 处相切并平滑连接，O 为圆心，O、A 在同一条水平线上，OC 竖直， 一直径略小于圆管直径的质量为m 的小球，用细线穿过管道与质量为M 的物块连接，物块 距离地面足够高，将小球由A 点静止释放，当小球运动到B 处时细线断裂，小球继续运动. 已知弧形轨道的半径为R＝ m，所对应的圆心角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2. 图3 (1)若M＝5m，求小球运动到B 处时的速度大小； (2)若M＝5m，求小球从C 点抛出后下落高度h＝ m 时到C 点的水平位移； (3)M、m 满足什么关系时，小球能够运动到C 点？ 答案 (1)2 m/s (2) m (3)M≥m 解析 (1)小球从A 到B：M、m 系统机械能守恒 (M＋m)v2＝MgxAB－mgxABsin 53° 在Rt△OAB 中，得xAB＝，解得v＝2 m/s； (2)小球从B 到C，根据机械能守恒，有mv2＝mvC 2＋mgR(1－cos 53°) 小球离开C 后做平抛运动，x＝vCt h＝gt2 解得x＝ m； (3)小球从A 到B：M、m 组成的系统机械能守恒 (M＋m)vB 2＝MgxAB－mgxABsin 53° 线断后，小球从B 到C，vC≥0 mvC 2－mvB 2＝－mgR(1－cos 53°) 联立解得M≥m. 机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大.解答此 类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不 能盲目应用机械能守恒定律. 四、功能关系的理解与应用 功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系， 做了多少功，就有多少能量发生转化.具体功能关系如下表： 功 能量转化 关系式 重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp 弹力做功 弹性势能的改变 WF＝－ΔEp 合外力做功 动能的改变 W 合＝ΔEk 除重力、系统内弹力以外的其他力做功 机械能的改变 W＝ΔE 机 两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 机械能转化为内能 Ff·x 相对＝Q 如图4 所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一 个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰 好对轨道没有压力.已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P 到B 的运动过程中( ) 图4 A.重力做功2mgR B.机械能减少mgR C.合外力做功mgR D.克服摩擦力做功mgR 答案 D 解析 从P 到B 的过程中，小球下降的高度为R，则WG＝mgR，选项A 错误；小球到达B 点时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，设摩擦力对小球做的功为Wf，从P 到B 的过程， 由动能定理可得mgR＋Wf＝mvB 2，联立以上两式解得：Wf＝－mgR，即克服摩擦力做功 mgR，机械能减少mgR，故B 错误，D 正确；根据动能定理知：W 合＝mvB 2＝mgR，故C 错 误. (多选)如图5 所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块 的深度为d 时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为x， 木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这一过程中，下列说法正确的是( ) 图5 A.木块的机械能增量为Ffx B.子弹的机械能减少量为Ff(x＋d) C.系统的机械能减少量为Ffd D.系统的机械能减少量为Ff(x＋d) 答案 ABC 解析 木块机械能的增量等于子弹对木块的作用力Ff 做的功Ffx，A 对；子弹机械能的减少 量等于动能的减少量，即子弹克服阻力做的功Ff(x＋d)，B 对；系统减少的机械能等于产生 的内能，也等于摩擦力乘以相对位移，ΔE＝Ffd，C 对，D 错. 1.(功能关系)(多选)(2018·白水中学高一下学期期末)如图6 所示，质量为m 的物体(可视为质 点)以某一速度从A 点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为g，此物体在斜面 上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( ) 图6 A.重力势能增加了mgh B.克服摩擦力做功mgh C.动能损失了mgh D.机械能损失了mgh 答案 CD 解析 这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A 错误；加速度a＝g ＝，则摩擦力Ff＝mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服 摩擦力做功Wf＝Ff·2h＝mg·2h＝，故B 错误；由动能定理可知，动能损失量为ΔEk＝F 合·2h ＝m·g·2h＝mgh，故C 正确；机械能的损失量为ΔE＝Ffx＝mg·2h＝mgh，故D 正确. 2.(链条类机械能守恒问题)(2018·树德中学期末)如图7 所示，一条长为L 的柔软匀质链条， 开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L<BC，∠BCE ＝α，斜面上链条长为x(x>x0)时，链条的速度大小为________.(用x0、x、L、g、α 表示) 图7 答案 解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以AB 面为零势能 面，则 －x0g·x0sin α＝mv2－xg·xsin α 解得v＝ 3.(系统机械能守恒的计算)(2018·正定中学期末考试)如图8 所示，质量不计的硬直杆的两端 分别固定质量均为m 的小球A 和B，它们可以绕光滑轴O 在竖直面内自由转动.已知OA＝ 2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g) 图8 (1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B 的速度大小分别为多少？ (2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A 球做了多少功？ (3)在杆刚转到竖直位置的瞬间，杆对B 球的作用力为多大？是推力还是拉力？ 答案 (1) (2)－mgl (3)mg 推力 解析 (1)小球A 和B 及杆组成的系统机械能守恒.设转到竖直位置的瞬间A、B 的速率分别 为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝mvA 2＋mvB 2 vA＝2lω，vB＝lω 联立解得vB＝，vA＝ (2)对A 球，由动能定理得mg·2l＋W＝mvA 2 联立解得W＝－mgl (3)在杆刚转到竖直位置的瞬间，设杆对B 球有向下的拉力F，根据向心力公式有 mg＋F＝m，解得F＝－mg 负号表示杆对B 球的作用力方向与假设方向相反，即向上，所以对B 球的作用力为推力. 4.(系统机械能守恒的计算)(2018·许昌市高一下学期期末)如图9 所示，一轻质竖直弹簧，下 端与地面相连，上端与质量为m 的物体A 相连.弹簧的劲度系数为k，A 处于静止状态，此时 弹簧的弹性势能为Ep.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻质 挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态，A 上方的一段绳子沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量 为M 的物体B 并从静止状态释放.则当弹簧向上变为原长时，物体A 和B 的速度大小分别为 多少？(已知重力加速度为g) 图9 答案 均为 解析 没有挂物体B 时，设弹簧的压缩量为x， 对A，有：mg＝kx 解得：x＝ 挂上物体B 后，弹簧向上变为原长时，物体A 和B 的速度大小一样，设为v，从开始运动到 弹簧变为原长的过程中，把A、B 和弹簧组成的系统机械能守恒，有： Ep＝(m＋M)v2＋mgx－Mgx 解得：v＝. 一、选择题 1.(多选)(2018·南京外国语学校期末)如图1 所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑 的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A 点的正上 方由静止开始下落，从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( ) 图1 A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B.小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 C.小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒 D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒 答案 BC 2.(多选)如图2 所示，光滑细杆AB、AC 在A 点连接，AB 竖直放置，AC 水平放置，两相同 的中心有孔的小球M、N，分别套在AB 和AC 上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被 拉直，现由静止释放M、N，在N 球碰到A 点前的运动过程中，下列说法中正确的是( ) 图2 A.M 球的机械能守恒 B.M 球的机械能减小 C.M 和N 组成的系统的机械能守恒 D.绳的拉力对N 做负功 答案 BC 解析 因M 下落的过程中细绳的拉力对M 球做负功，对N 球做正功，故M 球的机械能减小， N 球的机械能增加，但M 和N 组成的系统的机械能守恒，B、C 正确，A、D 错误. 3.(多选)(2019·济南市高一下期中)如图3 所示，A 和B 两个小球固定在一根轻杆的两端，mB ＞mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O 无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放， 发现杆绕O 沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中( ) 图3 A.B 球的动能增加，机械能增加 B.A 球的重力势能和动能增加 C.A 球的重力势能和动能的增加量等于B 球的重力势能的减少量 D.A 球和B 球的总机械能守恒 答案 BD 解析 A 球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A 球的机械能增加； B 球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统， 只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A 球的机械能增加，故B 球的机械能减少，故A 球的重力势能和动能的增加量与B 球的动能的增加量之和等于B 球的重力势能的减少量， 故A、C 错误，B、D 正确. 4.(多选)(2018·厦门市高一下学期期末)如图4 所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上， 质量为m 的子弹(可视为质点)以速度v0沿水平方向射入木块，并最终留在木块中与木块一起 以速度v 运动.若子弹相对木块静止时，木块前进距离为l，子弹进入木块的深度为d，木块 对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是( ) 图4 A.Ffl＝Mv2 B.Ffd＝Mv2 C.Ffd＝mv0 2－(M＋m)v2 D.Ff(l＋d)＝mv0 2－mv2 答案 ACD 解析 画出运动过程示意图，从图中不难看出，当木块前进距离为l，子弹进入木块的深度 为d 时，子弹相对于地面发生的位移为l＋d.由牛顿第三定律知，子弹对木块的作用力大小 也为Ff. 子弹对木块的作用力对木块做正功，由动能定理得 Ff·l＝Mv2① 木块对子弹的作用力对子弹做负功，由动能定理得 －Ff·(l＋d)＝mv2－mv0 2② 由①②得Ff·d＝mv0 2－(M＋m)v2 所以，选项A、C、D 正确. 5.如图5 所示为低空跳伞表演，假设质量为m 的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之 前受恒定阻力作用，下落的加速度为g，在运动员下落h 的过程中，下列说法正确的是( ) 图5 A.运动员的重力势能减少了mgh B.运动员的动能增加了mgh C.运动员克服阻力所做的功为mgh D.运动员的机械能减少了mgh 答案 B 解析 在运动员下落h 的过程中，重力势能减少了mgh，故A 错误；根据牛顿第二定律得， F 合＝ma＝mg，则根据动能定理得，合力做功为W 合＝F 合h＝mgh，则动能增加了mgh，故 B 正确；合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和，因为重力做功为mgh，则运动员克服 阻力所做的功为mgh，故C 错误；重力势能减少了mgh，动能增加了mgh，故运动员机械能 减少了mgh，故D 错误. 6.(多选)某运动员采用蹲踞式起跑，在发令枪响后，左脚迅速蹬离起跑器，在向前加速的同 时提升身体重心.如图6 所示，假设该运动员的质量为m，在起跑时前进的距离s 内，重心升 高量为h，获得的速度为v，重力加速度为g，则此过程中( ) 图6 A.运动员克服重力做功WG＝mgh B.运动员的机械能增加了mv2 C.运动员的机械能增加了mv2＋mgh D.运动员对自身做功W＝mv2＋mgh 答案 ACD 解析 运动员在此过程中重心升高量为h，获得的速度为v，故重力势能增加mgh，动能增 加mv2，则机械能增加mv2＋mgh，A、C 正确，B 错误；运动员对自身做的功等于其机械能 的增加量，D 正确. 7.如图7 所示，一根很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，轻绳两端各系一小球 a 和b，a 球质量为m，静置于地面；b 球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳 刚好拉紧，从静止开始释放b 后，a 能达到的最大高度为(b 球落地后不反弹，不计空气阻力) ( ) 图7 A.h B.1.5h C.2h D.2.5h 答案 B 解析 释放b 后，在b 到达地面之前，a 向上加速运动，b 向下加速运动，a、b 组成的系统 机械能守恒，设b 落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mgh＝mgh＋mv2＋ (3m)v2，可得v＝；b 落地后，a 向上以速度v 做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h′＝ ＝.所以a 能达到的最大高度为H＝h＋h′＝1.5h，B 正确. 8.(2018·荆州中学期末)如图8 所示，物体A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮 两侧，物体A、B 的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A 使弹簧处于原长且A 与地 面的距离为h，物体B 静止在地面上.放手后物体A 下落，与地面即将接触时速度大小为v， 此时物体B 对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) 图8 A.弹簧的劲度系数为 B.此时弹簧的弹性势能等于mgh＋mv2 C.此时物体B 的速度大小也为v D.此时物体A 的加速度大小为g，方向竖直向上 答案 A 解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于物体B 的重力，即F＝mg，弹簧伸长的 长度为x＝h，由F＝kx 得k＝，故A 正确；A 与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝ mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－mv2，故B 错误；物体B 对地面恰好无压力时，B 的 速度为零，故C 错误；对A，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D 错误. 9.(多选)(2018·平顶山市高一下学期期末)如图9 所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1 ＝2 m/s 顺时针运行，质量m＝2.0 kg 的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A 处 以初速度v2＝4 m/s 向左滑上传送带，若传送带足够长，已知物块与传送带间的动摩擦因数 为0.4，g＝10 m/s2，下列判断正确的是( ) 图9 A.物块离开传送带时的速度大小为2 m/s B.物块离开传送带时的速度大小为4 m/s C.摩擦力对物块做的功为－12 J D.系统共增加了12 J 的内能 答案 AC 解析 小物块先向左做匀减速直线运动，然后小物块向右做匀加速运动，当速度增加到与传 送带速度相同时，以2 m/s 向右做匀速运动，故A 正确，B 错误；根据动能定理，摩擦力对 物块做的功等于物块动能的减少量：W＝m(v1 2－v2 2)＝×2.0×(22－42) J＝－12 J，故C 正确； 小物块先向左做匀减速直线运动，加速度大小为a＝μg＝4 m/s2，物块与传送带间的相对位 移为：x1＝ m＋2× m＝4 m，小物块向右做匀加速运动时物块与传送带间的相对位移为：x2 ＝×2 m－ m＝0.5 m，故系统增