高中物理新教材同步必修第一册 第2章 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 [学习目标] 1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系，会用公式x＝v0t＋at2解决匀变速 直线运动的问题.2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用解题.3.知道v－t 图 像中的“面积”与位移的对应关系，并会用此关系推导位移和时间关系式． 一、匀变速直线运动的位移 1．利用v－t 图像求位移 图1 v－t 图像与时间轴所围的面积表示位移，如图1 所示，在图乙中，匀变速直线运动位移x＝ (v0＋v)t. 2．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2，当初速度为0 时，x＝at2. 二、速度与位移的关系 1．公式：v2－v0 2＝2 ax . 2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋ at ，位移时间关系式x＝v0t ＋ at 2 ，得v2－v0 2＝2 ax . 1．判断下列说法的正误． (1)在v－t 图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移相等．( √ ) (2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动，而v2－v0 2＝2ax 适用于任意运动．( × ) (3)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( × ) (4)因为v2－v0 2＝2ax，v2＝v0 2＋2ax，所以物体的末速度v 一定大于初速度v0.( × ) 2．汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2,5 s 末汽车的速度为_ _______，5 s 内汽车的位移为________，在汽车速度从10 m/s 达到30 m/s 的过程中，汽车 的位移为________． 答案 20 m/s 75 m 200 m 一、匀变速直线运动的位移 导学探究 阅读教材43 页“拓展学习”栏目，体会微元法的基本思想． 图2 如图2 所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t 时刻的速度为v，加速度为 a，利用位移大小等于v－t 图线下面梯形的面积推导匀变速直线运动的位移与时间关系． 答案 如题图所示，v－t 图线下面梯形的面积x＝(v0＋v)t① 又因为v＝v0＋at② 由①②式可得x＝v0t＋at2. 知识深化 1．在v－t 图像中，图线与t 轴所围的面积对应物体的位移，t 轴上方面积表示位移为正，t 轴下方面积表示位移为负． 2．位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动． 3．公式中x、v0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．当物体 做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正负表示其方向． 4．当v0＝0 时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x 与t2成正比． 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求： (1)物体在3 s 内的位移大小； (2)物体在第3 s 内的位移大小． 答案 (1)12.75 m (2)3.75 m 解析 (1)取初速度方向为正方向 v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2 3 s 内物体的位移x3＝v0t3＋at3 2＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m. (2)同理2 s 内物体的位移 x2＝v0t2＋at2 2＝5×2 m－×0.5×22 m＝9 m 因此第3 s 内的位移 x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m. 位移—时间关系式的应用步骤： 1确定一个方向为正方向一般以初速度的方向为正方向. 2根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示. 3根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解. 4根据计算结果说明所求量的大小和方向. 针对训练1 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 秒内的位移为2 m，则下列说法 正确的是( ) A．物体运动的加速度为2 m/s2 B．物体第2 秒内的位移为4 m C．物体在第3 秒内的平均速度为8 m/s D．物体从静止开始通过32 m 的位移需要4 s 的时间 答案 D 解析 根据x1＝at1 2得，物体运动的加速度a＝＝4 m/s2，故A 错误．物体在第2 s 内的位移 x2＝at2 2－at1 2＝6 m，故B 错误．物体在第3 s 内的位移x3＝at3 2－at2 2＝10 m，则第3 s 内的平 均速度为10 m/s，故C 错误．物体从静止开始通过32 m 需要时间t＝＝4 s，故D 正确． 二、匀变速直线运动速度与位移的关系 导学探究 如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的 长度至少为多长？哪种方法较简单． 答案 方法一 由v＝at 可得飞机从开始运动到起飞所用时间 t＝. 所以飞机起飞通过的位移为x＝at2＝. 方法二 由v2－v0 2＝2ax 得x＝ 方法二较简单． 知识深化 对速度与位移的关系v2－v0 2＝2ax 的理解 1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动． 2．矢量性：公式中v0、v、a、x 都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方 向为正方向： (1)若是加速运动，a 取正值，若是减速运动，a 取负值． (2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0 则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位 移． (3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0 则为减速到0，又返回过程的速度． 注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性． 3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x 中已知三个量可求第四个量． 长100 m 的列车通过长1 000 m 的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速 度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求： (1)列车过隧道时的加速度的大小； (2)列车通过隧道所用的时间． 答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s 解析 (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s， v＝12 m/s，由v2－v0 2＝2ax 得 加速度a＝＝0.02 m/s2. (2)由v＝v0＋at 得 所用时间为t＝＝100 s. 针对训练2 (2019·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重 要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事 故中，汽车刹车线的长度是10 m，假设汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2，则汽车开始刹车 时的速度为( ) A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s 答案 B 解析 根据匀变速直线运动的速度位移公式得0－v0 2＝2ax，解得汽车开始刹车时的速度v0 ＝＝ m/s＝10 m/s，故B 正确． 三、刹车问题分析 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h 的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即 踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求： (1)开始制动后，前2 s 内汽车行驶的距离； (2)开始制动后，前5 s 内汽车行驶的距离． 答案 (1)30 m (2)40 m 解析 取初速度方向为正方向，汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s， 末速度v＝0， 加速度a＝－5 m/s2； 汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s. (1)因为t1＝2 s<t，所以汽车在2 s 末时没有停止运动 故x1＝v0t1＋at1 2＝[20×2＋×(－5)×22] m＝30 m. (2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s 末时早已停止运动 故x2＝v0t＋at2＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m. 刹车类问题的处理思路 实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答 此类问题的思路是： (1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t 刹＝； (2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t 刹， 不能盲目把时间代入；若t<t 刹，则在t 时间内未停止运动，可用公式求解． 四、逆向思维法 飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至静止．其着陆速度为60 m/s， 求： (1)飞机着陆过程中滑行的距离； (2)在此过程中，飞机后4 s 滑行的位移大小． 答案 (1)300 m (2)48 m 解析 (1)取初速度方向为正方向，v0＝60 m/s，a＝－6 m/s2，v＝0 由v2－v0 2＝2ax 得 x＝＝ m＝300 m. (2)匀减速直线运动速度减到零，其逆过程为初速度为零的匀加速直线运动，a′＝6 m/s2 后4 s 的位移x2＝a′t2 2＝×6×42 m＝48 m. 逆向思维法求解运动问题 逆向思维法是把运动过程的“末态”作为“初态”来反向研究问题的方法．如物体做减速运 动可看成反向加速运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功 倍的效果． 1．(位移公式的理解)(多选)(2019·抚州临川一中高一期末)质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为x＝5t＋2t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( ) A．加速度为2 m/s2 B．前2 s 内位移为18 m C．第2 s 内的位移是18 m D．前2 s 内的平均速度是9 m/s 答案 BD 解析 根据匀变速直线运动的位移时间关系公式x＝v0t＋at2，可得质点的初速度v0＝5 m/s，加速度为a＝4 m/s2，故A 错误；由公式得前2 s 内的位移x2＝5×2 m＋×4×22 m＝18 m，B 正确；第2 s 内的位移Δx2＝x2－x1＝18 m－7 m＝11 m，故C 错误；前2 s 内的平均速 度为＝＝9 m/s，故D 正确． 2．(速度与位移关系的应用)如图3 所示，一辆以8 m/s 的速度沿直线行驶的汽车突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶了18 m 时的速度为( ) 图3 A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s 答案 C 解析 由v2－v0 2＝2ax 得v＝＝10 m/s. 3．(位移公式的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s 内通过 的位移是4.5 m，则它的加速度为( ) A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2 答案 B 解析 第2 s 末的速度v＝v0＋at2，第2 s 末的速度是第3 s 的初速度，故第3 s 内的位移x3＝ (v0＋at2)t＋at2，即4.5 m＝(2.0 m/s＋2 s·a)×1 s＋a×(1 s)2，解得a＝1.0 m/s2，故B 正确． 4．(速度与位移关系的应用)做匀加速直线运动的物体，速度从v 增加到3v 时经过的位移是 x，则它的速度从3v 增加到5v 时经过的位移是( ) A.x B.x C．x D．2x 答案 D 解析 根据速度—位移公式得(3v)2－v2＝2ax，(5v)2－(3v)2＝2ax′，联立两式解得x′＝2x.故 选D. 5．(刹车问题)(2019·豫南九校高一上学期期末联考)汽车在平直公路上以10 m/s 的速度做匀 速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求： (1)汽车经3 s 时速度的大小； (2)汽车经6 s 时速度的大小； (3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离． 答案 见解析 解析 设汽车经时间t0速度减为0，有： t0＝＝ s＝5 s (1)根据速度－时间公式有：v3＝v0＋at＝4 m/s (2)经过6 s 时速度为：v6＝0 (3)刹车8 s 汽车的位移为： x8＝x5＝v0t0＋at0 2＝25 m. 考点一 位移公式x＝v0t＋at2 1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( ) A．位移与时间的二次方成正比 B．位移总是随着时间的增大而增大 C．加速度、速度、位移三者方向一致 D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同 答案 D 解析 根据x＝v0t＋at2，位移与时间的二次方不是正比关系，选项A 错误；位移可能随时间 的增大而增大，也可能随时间的增大而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移 先增大后减小，选项B 错误；匀变速直线运动中，加速度、速度、位移的方向可能相同， 也可能不同，选项C 错误，D 正确． 2．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s 内的位移为19 m，则其加速度大小为 ( ) A．1.9 m/s2 B．2.0 m/s2 C．9.5 m/s2 D．3.0 m/s2 答案 B 解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移－时间公式，有 前10 s 的位移x1＝at10 2， 前9 s 的位移x2＝at9 2， 故第10 s 内的位移x＝x1－x2＝19 m， 代入数据解得a＝2.0 m/s2. 3．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节 车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( ) A．3 节 B．6 节 C．9 节 D．12 节 答案 C 解析 设一节车厢长为L，这列火车共有n 节车厢， 则L＝at1 2，nL＝at2 2. 将t1＝2 s，t2＝6 s 代入上面两式解得：n＝9，选项C 正确． 考点二 速度与位移关系v2－v0 2＝2ax 4.如图1 所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的 加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m 时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹 射系统必须使战机具有的初速度为( ) 图1 A．10 m/s B．20 m/s C．30 m/s D．40 m/s 答案 D 解析 根据公式v2－v0 2＝2ax，解得v0＝＝ m/s＝40 m/s，D 正确． 5．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它 们运动的最大位移之比为( ) A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1 答案 B 解析 因两小车的末速度均为0，由v2－v0 2＝2ax 得 ＝＝，选项B 正确． 6．在全国铁路第六次大提速后，列车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h 的速度匀速行驶，在列车头经过路标A 时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m 处出现特殊情况，为避免危险发生，列车至少应以多大加速度刹车？( ) A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.4 m/s2 答案 C 解析 列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x＝900 m， 则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0 取列车前进方向为正方向， 由关系式v2－v0 2＝2ax 得：a＝－2 m/s2 即列车的加速度大小至少应为2 m/s2，故选项C 正确． 7．(多选)(2019·黄冈市高一期末)某人骑自行车以5 m/s 的初速度匀减速骑上一个长为30 m 的斜坡，加速度大小是0.4 m/s2.则( ) A．他不能到达坡顶 B．他到达坡顶需用10 s 时间 C．他到达坡顶需用15 s 时间 D．他到达坡顶时的速度为1 m/s 答案 BD 解析 根据匀变速直线运动的位移时间公式得：x＝v0t＋at2，可得30＝5t－×0.4t2，解得：t1 ＝10 s，t2＝15 s(舍去，因为若斜坡足够长，他经过t＝＝12.5 s，速度减为零)，故A、C 错 误，B 正确；他到达坡顶的速度为v＝v0＋at＝5 m/s－0.4×10 m/s＝1 m/s，故D 正确． 8.如图2 所示，木块A、B 并排且固定在水平桌面上，A 的长度是L，B 的长度是2L，一颗子 弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直 线运动，则子弹穿出A 时的速度为( ) 图2 A. B. C. D.v1 答案 B 解析 设子弹在木块中运动时加速度的大小为a，子弹穿出A 时的速度为v，子弹在A 中运 动的过程中，有v2－v1 2＝－2aL，子弹在B 中运动的过程中，有v2 2－v2＝－2a·2L，两式联 立可得v＝，故选B. 9.如图3 所示，物体A 在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停 下，测得x2＝2x1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速 度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( ) 图3 A．a1＝a2 B．a1＝2a2 C．a1＝a2 D．a1＝4a2 答案 B 解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1， 对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2， 联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2. 10．(多选)一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s 内通过的位移为x1＝3 m，第2 s 内 通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法正确的是( ) A．初速度v0的大小为2.5 m/s B．加速度a 的大小为1 m/s2 C．位移x3的大小为1.125 m D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s 答案 BCD 解析 由位移时间公式可知， v0×1 s＋a×(1 s)2＝3 m① v0×2 s＋a×(2 s)2－3 m＝2 m② 由①②联立得v0＝3.5 m/s，a＝－1 m/s2 故A 错误，B 正确；2 s 末速度为v＝v0＋at2＝3.5 m/s－1 m/s2×2 s＝1.5 m/s，此后物体速度 减为0 所用时间为t＝＝＝1.5 s，则x3＝vt＋at2＝1.125 m，故C 正确；位移x3内平均速度大 小＝＝0.75 m/s，故D 正确． 11．汽车以v0＝10 m/s 的速度在平直公路上匀速运动，刹车后经过2 s 速度变为6 m/s，若 将刹车过程视为匀减速直线运动，求： (1)从开始刹车起，汽车在6 s 内发生的位移大小； (2)汽车静止前2 s 内通过的位移大小． 答案 (1)25 m (2)4 m 解析 (1)汽车刹车时的加速度： a＝＝ m/s2＝－2 m/s2， 则汽车速度减为零所需的时间： t0＝＝ s＝5 s＜6 s. 则6 s 内的位移等于5 s 内的位移： x＝v0t0＋at0 2＝10×5 m＋×(－2)×52 m＝25 m. (2)将汽车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则汽车在静止前2 s 内的位移： x′＝a′t′2＝×2×22 m＝4 m. 12．一列以60 m/s 的速度匀速行驶的火车，由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线 运动，从关闭发动机开始到速度减为20 m/s 时共前进3 200 m