专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题（解析版）

专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题 类型一、菱形问题 例1．（1 个动点）如图，在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点，直线 与x 轴交于点B，与y 轴交于点， ． (1)如图1，请直接写出点的坐标，并求出直线 的解析式． (2)如图2，直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，且交y 轴于点，连接 ，若点P 是直线 上的一动点，当点P 使得 时，请求出符合条件的点P 坐标． (3)在（2）的条件下，若点P 在直线 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点、、 P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， (2) 或者 (3)存在， 【分析】（1）当 时， ，即 ，进而可求出 ，由图可知 ，问题随之得 解； （2）根据直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，可得点D 为线段 的中点，根据 ， ，可得 ，进而可得直线 的解析式 ，则 ，利用勾股定理可得 ， ， ，根据 ，即可得 ；根 据点P 是直线 上的一动点，直线 的解析式 ，可得设 ，即有 ， ，问题随之得解； （3）在（2）中已得：直线 的解析式 ，设 ，根据点P 在直线 上且在第三象限 内，可得 ， 为钝角，即点、、P、Q 为顶点构成的菱形为菱形 ，根据 ，可得 ，解得： （正值舍去），进而可得 ，在菱形 中，利用平移可得 ． 【详解】（1）当 时， ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴由图可知 ， 将 代入 中，有 ， 解得： ， 则直线 的解析式 ； （2）∵直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D， ∴点D 为线段 的中点， ∵ ， ， ∴ ， 将 代入 中，有 ， 解得： ， ∴直线 的解析式 ， 当 时， ，即 ， ∵ ， ， ， ∴ ，同理： ， ， ∵直线 是线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵点P 是直线 上的一动点，直线 的解析式 ， ∴设 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点坐标为 或者 ； （3）在（2）中已得：直线 的解析式 ， 设 ， ∵点P 在直线 上且在第三象限内， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵点P 在直线 上且在第三象限内， ∴ 为钝角， ∴点、、P、Q 为顶点构成的菱形为菱形 ， ∴ ， ∴ ， 解得： （正值舍去），∴ ， ∵在菱形 中，将 向上平移线段 长的距离即可得到线段 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，菱形的性质，平移，中点坐标公式，勾股定理等知识， 熟练运用勾股定理求出两点间的距离和中点坐标公式是解答本题的关键． 例2．（两个动点）在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，点 在 轴负半 轴上，且 ． (1)求 两点坐标； (2)若点 是直线 上一点，且 ，求点 坐标； (3)点 是 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出点 坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， (2)点 坐标为 或 (3)存在，点 坐标为 或 或 或 【分析】（1）根据直线与坐标的交点，可求出点 的坐标，再根据含 角的直角三角形的性质可求出 点 的坐标； （3）运用待定系数求出直线 的解析式，设 ，可以用含 的式子表示 ，分类讨 论：点 在第三象限；点 在第一象限；图形结合即可求解； （3）根据菱形的性质，分类讨论：如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形，可得点 在点 上 方和点 在点 下方两种情况；以 为对角线，四边形 为菱形；以 为对角线，四边形 为 菱形；图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵直线 分别交 轴、 轴于点 ， ∴令 ， ，令 ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵点 在 轴的负半轴上， ∴ ． （2）解：由（1）可知， ， ，设直线 的解析式为 ， ∴ ，解得， ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ， ∴在 中， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∴ ， ∵点 是直线 上一点， ① ∴ 当点 在第三象限，设 ，如图所示，过点 作 轴于点 ， ∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，解得， ，则 ， ∴ ； ②当点 在第一象限，设 ，如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，且 ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ，即 是直角三角形， ∵ ， ∴ ， ∴在 中， ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ， ∴ ； 综上所述，点 坐标为 或 ． （3）解：点 是 轴上的点，由（1）可知 ， ， ， ， ， ①如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形， ∴ ， ，且点 在第一象限， ∴ ； ②如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形， 同理， ， ，且点 在第四象限， ∴ ； ③如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形， 在 中， ， ， ， ∴根据菱形的性质可知， ， ∵ ， ∴ ， ∴在 中，设 ，则 ， ∴ ，即 ，解得， ， （不符合题意，舍去）， ∵ ， ∴ ； ④如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形， ∴ ， 是对角线， ， ， ∴ ； 综上所述，点 是 轴上的点，坐标平面内存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形，点 坐 标为 或 或 或 ， ∴存在，点 坐标为 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图 形的特点，勾股定理等知识解题的关键． 【变式训练】将一个矩形纸片 放置于平面直角坐标系中，点 ，点B ，点在x 轴，点在y 轴．在 边上取一点D，将 沿 翻折，点B 恰好落在边 上的点E 处． (1)如图1，求点E 坐标和直线 的解析式； (2)点P 为x 轴正半轴上的动点，设 ． ①如图2，当点P 在线段 （不包含端点，）上运动时，过点P 作直线l y 轴，直线l 被 截得的 线段长为d．求d 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围； ②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点，E，P，G 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标． 【答】(1) ，直线 的解析式为 ； (2)① ；② 或 【分析】（1）根据翻折的性质、矩形的性质和勾股定理求出 ，可得点E 的坐标，再根据待定系数 法求解直线 的解析式； （2）①先根据折叠的性质和勾股定理求出点D 的坐标，然后分别求出直线 的解析式，分两种情况： 当 和 时，利用d 等于两点的纵坐标之差求解即可； ②分 为对角线和 为边两种情况，分别画出图形，结合菱形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵四边形 是矩形，点 ，点B ， ∴ ， ∴ ， ∵将 沿 翻折，点B 恰好落在边 上的点E 处， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 则 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ； （2）∵ ， ∴ ， 由折叠的性质知： ， 设 ，则 ， 则在直角三角形 中，根据勾股定理可得 ， 即 ，解得： ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ， 则 ， ， 解得 ， ， ∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ， 当 时，如图，设l 分别与 交于点、G， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 当 时，如图，设l 分别与 交于点、K， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 综上，d 关于t 的函数关系式为 ； ②当 为对角线时，如图， ∵四边形 是菱形， ∴设 ，则 ， 在直角三角形 中，根据勾股定理可得 ，解得 ， 即 ， ∵ ，∴ ； 当 为边时，如图， ∵四边形 是菱形，∴ ， ∵ ，∴ ，即为点B； 综上，点G 的坐标是 或 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式 等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、灵活 应用数形结合思想是解题的关键． 类型二、矩形存在性问题 例．（两个动点）如图，四边形 是矩形，点、在坐标轴上， 是由 绕点顺时针旋转 得 到的，点D 在x 轴上，直线 交y 轴于点F，交 于点，线段 的长是2 和4； (1)求直线 的表达式； (2)求 的面积； (3)点 在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点D、F、M、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写 出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在，点坐标为 或 或 【分析】（1）根据旋转的性质求出D 点坐标，根据矩形的性质求出B 点坐标，再用待定系数法求函数的 解析式即可； （2）分别求出 ，先确定直线 的解析式，从而求出点坐标，再求 的面积即可； （3）分三种情况讨论：当M 点在x 轴负半轴上时， ，再由F 点平移到M 点，D 点平移到点， 求出 ；当M 点在y 轴负半轴上时， ，再由D 点平移到M 点，F 点平移到点，求出 ；当M 点与原点重合时，此时 为矩形的对角线， ． 【详解】（1）∵四边形 是矩形， ∴ ∵ 是由 绕点顺时针旋转 得到的， ∴ ∴ 设直线 的解析式为 ∴ ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ； （2）∵直线 的解析式为 ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ∴ ， 由旋转可知， ， ∴ ， ∴ ∴ ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ∴ ； （3）存在点，使以点D、F、M、为顶点的四边形是矩形，理由如下： 当M 点在x 轴负半轴上时， ∵ ∴ ， ∴ ∴ ∴ ,∴ ∴ 即 解得 ∴ ， ∵F 点平移到M 点，D 点平移到点，∴ ； 当M 点在y 轴负半轴上时， 即 解得 ∴ ∵D 点平移到M 点，F 点平移到点，∴ 当M 点与原点重合时，此时 为矩形的对角线，∴ ； 综上所述：点坐标为 或 或 ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，平移的性质， 三角形全等的判定及性质，三角形旋转的性质是解题的关键． 【变式训练1】如图， ， 是直线 与两坐标轴的交点，直线 过点 ，与 轴交于点 ． (1)求 ， ， 三点的坐标； (2)点 是折线 上一动点． ①如图（1），当点 是线段 的中点时，在 轴上找一点 ，使 最小；用直尺和圆规画出点 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点 的坐标； ②是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ， (2)①作图见解析， ；②点 的坐标为 或 【分析】（1）根据直线与坐标轴交点，解方程即可得到结论； （2）①如图1，根据中点坐标公式得到 ，点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，设直线 的 解析式为 ，求得 ，于是得到结论； ②当点 在 上时，由 得到 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ；当点 在 上时，如图，设 交 轴于点 ，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ；令 ，得 ， ， ， 把 代入 ，得 ， 直线 为 ， 在 中，令 ，得 ， 点的坐标为 ； （2）解：①如图所示： 点 是 的中点， ， ， ， 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入，得 ，解得 ， ， 故 直线解析式为 ， 点 在 轴上， 令 ，得 点的坐标为 ； ②存在， 理由如下：当点 在 上时，设 交 轴于点 ，过 作 轴，如图1 所示： ， 为等腰直角三角形，即 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点的坐标为 ； 当点 在 上时，设 交 轴于点 ，如图2 所示： 在 与 中， ， ， 点 的坐标为 ， ，设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 由图可知，点 是直线 与直线 交点， 联立方程组 ，解得 ， 点 的坐标为 ． 【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最 短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，联立方程组求 解即可解决问题． 类型三、正方形存在性问题 例1．已知，一次函数的图象 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，与直线 交于点 ，过 点 作 轴的平行线，点 是直线上的一个动点． (1)求点 ，点 的坐标； (2)若 ，求点 的坐标； (3)若点 是直线 上的一个动点，在平面内是否存在点 ，使四边形 是正方形?若存在，请求 出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)点 ，点 (2) 或 (3)存在， 或 【分析】（1）分别令 ，求得点 ，点 ； （2）联立 得出 的坐标，进而根据已知条件得出 ，即可求得点 的坐标； （3）设点 、点 ，当为正方形 时， ，①点 在点 的左侧时，过 作 轴于 ，过 作 于 ，证明 ，则 ， ，解方 程组，即可求解；②当点 在点 的右侧时，同理可得 ，进而即可求解． 【详解】（1）解：令 ，解得 ， 令 则，解得 ， 点 ，点 （2）联立 解得： 为 解得： 为 或 （3）存在 点的坐标为 或 理由如下：设点 、点 当为正方形 时， ①点 在点 的左侧时，如图 ， 过 作 轴于 ，过 作 于 ， ， ， ． ， 则 ， ， 即 解得： ， ． 为 ②当点 在点 的右侧时，如图， 同理可得 ， ∴ ， ， 即 解得： ， ， 为 综上， 或 【点睛】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题， 坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴、y 轴分别交于点、点B，与直线 （ ）交于点P， ． (1)求直线 的解析式； (2)连接 、 ，若直线 上存在一点Q，使得 ，求点Q 的坐标； (3)将直线 向下平移1 个单位长度得到直线，直线l 与x 轴交于点E，点为直线l 上的一点，在平面直角 坐标系中，是否存在点M，使以点，E，，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】(1) ； (2) 或 ； (3) 或 ； 【分析】（1）先求出 ，然后求出点和点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点B 和点P 的坐标，然后求出四边形 的面积，然后分类讨论：当点Q 在点B 的下方时； 当点Q 在点P 的上方时；分别求出三角形 的面积，即可求出点Q 的坐标； （3）先求出直线为 ，然后得到 ，然后分情况进行分析：当 作为矩形 的边时； 当 作为矩形 的对角线时；分别求出两种情况的点M 的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线 与x 轴、y 轴分别交于点、点B， ∴令 ，则 ， ∴点为 ， ∴ ， ∵ ， ∴点为 ，点D 为 ， ∴直线 的解析式为 ； （2）解：在 中，令 ，则 ， ∴点B 为 ， ∵ ，解得 ， ∴点P 的坐标为 ； ∴ ； ∵点Q 在直线 上，则设点Q 为 ，则 当点Q 在点B 的下方时，如下图： ∵ ，点P 的坐标为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ； 当点Q 在点P 的上方时，如上图： ， ∴ ， ∴ 解得： ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ； 综合上述，点 的坐标为 或 ； （3）解：∵直线 向下平移1 个单位长度得到直线， ∴直线为 ， 令 ，则 ， ∴点E 的坐标为 ， 即 ； 当 作为矩形 的边时，如图： ∴点的坐标为 ， ∴点M 的坐标为 ； 当 作为矩形 的对角线时，如图： ∴点F 的坐标为 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴点M 的坐标为 ； 综合上述，则点M 的坐标为 或 ； 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线： 与 轴、 轴的正半轴分别 相交于点、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ， (1)求直线的解析式； (2)求证： 是等腰直角三角形； (3)将直线沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ，在直线 上 存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 【答】(1) (2)见解析 (3) 或 或 或 或 【分析】（1）根据题意可得 ，再由 ，求出m 的值，即可； （2）先求出 ，再由两点坐标公式分别求出 的三边长，即可； （3）分若以点P 为直角顶点时；若以点 为直角顶点时；若以点 为直角顶点时，即可求解． 【详解】（1）解：∵过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴直线的解析式为： ； （2）解：对于直线： ， 当 时， ，当 时， ， ∴ ， ∵点 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形； （3）解：设直线 交x 轴于点F，则点 ， ∴ ， 设平移后直线的解析式为 ， 当 时， ，当 时， ， ∴点 ， 如图，若以点P 为直角顶点时，过点P 作 轴于点E，此时 ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点P 为直角顶点时，过点P 作 轴于点E，此时 ， ， ， ， 同理此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点 为直角顶点时，过点P 作 轴于点G，则 ， 同理 ， ∴ ， ， ∴ 或0（舍去）， ∴ ， ∴ ， ∴此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点 为直角顶点时，过点 作 轴于点M，则 ， ， 同理 ， ∴ ， ， ∴ （舍去）； 如图，若以点 为直角顶点时， 同理 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 此时点P 的坐标为 ； 如图，若以点 为直角顶点时， 同理 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴此时点P 的坐标为 ； 综上所述，点P 的坐标为 或 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，利 用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线 交y 轴于点，交x 轴于点 ，过点 的直线 平 行于y 轴，交直线于点D，点P 是直线 上一动点（异于点D），连接 ． (1)求直线的解析式； (2)设 ，求 的面积S 的表达式（用含m 的代数式表示）； (3)当 的面积为3 时，则以点B 为直角顶点作等腰直角 ，请