模型06 射影定理模型（解析版）(1)

1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： R 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲 ①D2＝BD•D； ②B2＝BD•B； 2＝D•B． 解：∵四边形BD 是矩形，∴B＝D＝1，∠B＝90°， ∵BE⊥，∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠B，∴△BG∽△B，∴ ＝ ，∴G•＝B2（射影定理）， 即（﹣1）•＝12， 解得：＝ 或＝ （不合题意舍去），即的长为 ， 故答为： ． 【例2】．如图：二次函数y＝x2+bx+2 的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，若 ⊥B，则的值为（ ） ．﹣ B．﹣ ．﹣1 D．﹣2 解：设（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），（0，t）， ∵二次函数y＝x2+bx+2 的图象过点（0，t）， ∴t＝2； ∵⊥B， ∴2＝•B（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2， 根据韦达定理知x1x2＝ ，∴＝﹣ ． 故选：． 【例3】．将 沿弦B 折叠，交直径B 于点D，若D＝4，DB＝5，则B 的长是（ ） ．3 B．8 ． D．2 解：连接、D； 根据折叠的性质，知 所对的圆周角等于∠BD， 又∵ 所对的圆周角是∠B， ∵∠BD＝∠B，∴＝D（相等的圆周角所对的弦相等）； ∴△D 是等腰三角形； 过作E⊥B 于E． ∵D＝4，则E＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7； 在Rt△B 中，E⊥B，根据射影定理，得： B2＝BE•B＝7×9＝63；故B＝3 ．故选：． 变式训练 【变式1】．如图，在△B 中，若B＝，B＝2BD＝6，DE⊥，则•E 的值是 9 ． 解：如图，∵在△B 中，若B＝，B＝2BD＝6， ∴D⊥B，D＝BD＝3． 又DE⊥， ∴∠ED＝∠D＝90°． ∵∠＝∠， ∴△DE∽△D． ∴ ＝ ，即•E＝D2＝9．（射影定理） 故答是：9． 【变式2】．如图所示，在矩形BD 中，E⊥BD 于点E，对角线，BD 交于，且BE：ED＝ 1：3，D＝6m，则E＝ m． 解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x， 根据射影定理，D2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3； 由E2＝BE•ED，E2＝x•3x；即E2＝3x2＝3×3＝9；E＝3． 【变式3】．如图，若抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，若∠ ＝∠B．则的值为（ ） ．﹣1 B．﹣2 ． D． 解：设（x1，0），B（x2，0），（0，）， ∵二次函数y＝x2+bx+的图象过点（0，）， ∴＝， ∵∠＝∠B，⊥B， ∴△∽△B， ∴ ， ∴2＝•B（即射影定理） 即|x1•x2|＝2＝﹣x1•x2， 令x2+bx+＝0， 根据根与系数的关系知x1•x2＝ ， ∴ ， 故＝﹣1，故选：． 【变式4】．如图，正方形BD 中，E 为B 上一点，F⊥DE 于点F，已知DF＝5EF＝5，过、 D、F 的⊙与边D 交于点G，则DG＝____________ 解：连接F、GF，如图： 在正方形BD 中，∠ED＝∠D＝90°，F⊥DE， ∴△FD∽△ED， ∴ ＝ ， 又∵DF＝5EF＝5， ∴D＝ ＝ ＝ ＝D， 在Rt△FD 中，F＝ ＝ ＝ ， ∵∠DF+∠DF＝90°，∠DF+∠DF＝90°， ∴∠DF＝∠DF， ∵四边形GFD 是⊙的内接四边形， ∴∠FD+∠DGF＝180°， ∵∠FG+∠DGF＝180°， ∴∠FG＝∠FD， ∴△FG∽△DF， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴G＝ ， ∴DG＝D﹣G＝ ﹣ 【变式5】．如图，在△B 中，以边为直径的⊙交B 于点D，过点B 作BG⊥交⊙于点E、， 连D、ED、E．若BD＝8，D＝6，则E 的长为 2 ． 解：∵为⊙的直径， ∴∠D＝90°， ∵BG⊥， ∴∠BG＝∠D＝90°， ∵∠BG＝∠D， ∴△D∽△BG， ∴ ＝ ， ∴G•＝D•B＝6×14＝84， 连接E， ∵为⊙的直径，∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠EG＝90°， ∵∠E＝∠EG， ∴△EG∽△E，∴ ＝ ， ∴E2＝G•＝84，∴E＝2 ． 故答为2 ． 【变式6】．如图，四边形BD 是平行四边形，过点作E⊥B 交B 于点E，点F 在B 的延长 线上，且F＝BE，连接DF． （1）求证：四边形EFD 是矩形； （2）连接，若∠D＝90°，E＝4，F＝2，求E 和的长． （1）证明：∵四边形BD 是平行四边形，∴D∥B，D＝B， ∵F＝BE∴BE+E＝F+E， 即B＝EF，∴D＝EF， ∵D∥EF，∴四边形EFD 是平行四边形， ∵E⊥B，∴∠EF＝90°，∴平行四边形EFD 是矩形； （2）解：如图，∵F＝BE，F＝2， ∴BE＝2，∵四边形BD 是平行四边形，∴B∥D，∴∠B＝∠D＝90°， ∵E⊥B，∴E2＝BE•E（射影定理），∴E＝ ＝ ＝8， ∴＝ ＝ ＝4 ． 1．如图，在矩形BD 中，DE⊥，垂足为点E．若s∠DE＝ ，D＝4，则B 的长为（ ） 实战演练 ．1 B．2 ．3 D．4 解：∵DE⊥， ∴∠DE+∠D＝90°， ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝∠DE， ∵矩形BD 的对边B∥D， ∴∠B＝∠D， s ∵∠DE＝ ，B＝D＝4， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴＝5， 由勾股定理得，B＝ ＝3， 故选：． 2．如图，在矩形BD 中，BD＝2 ．对角线与BD 相交于点，过点D 作的垂线，交于点 E，E＝3E．则DE2的值为（ ） ．4 B．2 ． D．4 解：∵四边形BD 是矩形，∴∠D＝90°，＝BD＝2 ， ∵E＝3E，∴E＝ ＝ ，E＝ ＝ ， ∵∠D＝90°，∴∠D+∠D＝90°， ∵DE⊥，∴∠ED＝∠ED＝90°， ∴∠DE+∠D＝90°，∴∠DE＝∠D，∴△DE∽△DE，∴ ＝ ， ∴DE2＝E•E＝ × ＝ ，故选：． 3．如图，在正方形BD 内，以D 点为圆心，D 长为半径的弧与以B 为直径的半圆交于点 P，延长P、P 交B、B 于点M、．若B＝2，则P 等于（ ） ． B． ． D． 解：如图，设点S 为B 的中点，连接DP，DS，DS 与P 交于点，作PE⊥B 于点E，PF⊥B 于点F， ∴DP＝D＝2，PS＝S＝1，即DS 是P 的中垂线，∴△DS≌△DPS， ∴∠DPS＝∠DB＝90°，∴DS＝ ＝ ＝ ， 由三角形的面积公式可得P＝ ， ∵B 为直径，∴∠PB＝90°，∴PB＝ ＝ ， ∴PE＝FB＝ ＝ ，∴PF＝BE＝ ＝ ， ∴F＝B﹣FB＝ ，∴P＝ ＝ 故选：B． 4．如图，点P 是⊙的直径B 延长线上一点，P 与⊙相切于点，D⊥B，垂足为D，连接、 B、，那么下列结论中：①P2＝P•PB；②P•＝P•D；③2＝D•P；④（P﹣D）＝ P•D，正确的结论有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 解：①∵P 与⊙相切于点， ∴∠PB＝∠，∠P＝∠P，∴△PB∽△P，∴P2＝P•PB； ②∵⊥P，∴P•＝P•D； ③∵D⊥B，⊥P，∴2＝D•P， ∵＝，∴2＝D•P； ④∵ P•D＝ •P﹣ •D，＝，∴（P﹣D）＝P•D， 所以正确的有①，②，③，④，共4 个．故选：D． 5．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝＝8 ，点E 为的中点，点F 在底边B 上，且 FE⊥BE，则F 长 ． 解：作E⊥B 于，如图， ∵∠＝90°，B＝＝8 ，∴B＝ B＝16 ，∠＝45°， ∵点E 为的中点，∴E＝E＝4 ， ∵△E 为等腰直角三角形，∴E＝＝ ＝4 ，∴B＝12 在Rt△BE 中，BE＝ ＝4 ， 在Rt△BEF 中，∵E⊥BF，∴BE2＝B•BF， 即BF＝ ＝ ，∴F＝B﹣BF＝16 ﹣ ＝ ． 故答为 ． 6．如图，在矩形BD 中，点E 在边D 上，把△BE 沿直线BE 翻折，得到△GBE，BG 的延长 线交D 于点F．F 为D 的中点，连结G，若点E，G，在同一条直线上，FG＝1，则D 的长为 2+2 ，s∠DE 的值为 ﹣ 1 ． 解：∵四边形BD 是矩形， ∴B＝D，D∥B，∠BD＝∠＝∠D＝90°， ∴∠EB＝∠EB，∠BG＝∠DE， 由折叠的性质得：BG＝B，∠EGB＝∠＝90°，∠GEB＝∠EB， ∴D＝BG， ∴∠EB＝∠GEB， ∴B＝E， ∵点E，G，在同一条直线上， ∴∠GF＝90°，∠GB＝180°﹣∠EGB＝90°， ∵F 为D 的中点， ∴F＝DF， 设F＝DF＝x，则BG＝D＝2x， ∵∠FG＝∠BF， ∴△FG∽△BF， ∴ ＝ ， ∴F2＝FG•BF， 即x2＝1×（1+2x）， 解得：x＝1+ 或x＝1﹣ （舍去）， ∴D＝2x＝2+2 ， ∵∠DE+∠ED＝90°，∠GF+∠ED＝90°， ∴∠DE＝∠GF， s ∴∠DE＝s∠GF＝ ＝ ＝ ﹣1， 故答为：2+2 ， ﹣1． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1 分别交x 轴，y 轴于点，B，过点B 作B⊥B 交x 轴于点，过点作D⊥B 交y 轴于点D，过点D 作DE⊥D 交x 轴于点E，过点E 作 EF⊥DE 交y 轴于点F．已知点恰好是线段E 的中点，那么线段EF 的长是 ． 解：因为B 的解析式为y＝kx+1，所以B 点坐标为（0，1），点坐标为（﹣ ，0）， 由于图象过一、二、三象限，故k＞0， 又因为B⊥B，B⊥， 所以在Rt△B 中，B2＝•，代入数值为：1＝ •，＝k， 同理，在Rt△BD 中，2＝B•D， 代入数值为：k2＝1•D，D＝k2 又因为恰好是线段E 的中点，所以B 为FD 的中点，F＝ 1+1+k2，Rt△FED 中， 根据射影定理，E2＝D•F，即（k+ + ）2＝k2•（1+k2+1）， 整理得（k﹣ ）（k+ ）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝ ． 根据中位线定理，EF＝2GB＝2D，D＝ ＝ ，EF＝2 ． 8．如图，在菱形BD 中，过点D 作DE⊥D 交对角线于点E，连接BE，点P 是线段BE 上 一动点，作P 关于直线DE 的对称点P'，点Q 是上一动点，连接P'Q，DQ．若E＝14， E＝18，则DQ﹣P'Q 的最大值为 ． 解：如图，连接BD 交于点，过点D 作DK⊥B 于点K，延长DE 交B 于点R，连接EP′ 并延长，延长线交B 于点，作E 关于的对称线段E′，则点P′的对应点P″在线段E′上． 当点P 是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″， 当D，P″，Q 共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长， 当点P 与B 重合时，点P″与′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段D′的长，也 就是线段B 的长． ∵四边形BD 是菱形， ∴⊥BD，＝， ∵E＝14．E＝18， ∴＝32，＝＝16， ∴E＝﹣E＝16 14 ﹣ ＝2， ∵DE⊥D， ∴∠DE＝∠ED＝90°， ∵∠DE＝∠DE， ∴△ED∽△ED， ∴DE2＝E•E＝36， ∴DE＝EB＝E＝6， ∴D＝ ＝ ＝12 ， ∴D＝ ＝ ＝4 ， ∴BD＝8 ， ∵S△DB＝ ××BD＝ B•DK， ∴DK＝ ＝ ， ∵∠BER＝∠DK， s ∴∠BER＝s∠DK＝ ＝ ＝ ， ∴RB＝BE× ＝ ， ∵E＝EB，ER⊥B， ∴R＝BR＝ ， ∴B＝D′＝ ， ∴DQ﹣P'Q 的最大值为 ． 解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹E，故最大值为B．勾股得D，D． △BD∽△BD，BD2＝B*B，可得B＝ ． 故答为： ． 9．在矩形BD 中，点E 为射线B 上一动点，连接E． （1）当点E 在B 边上时，将△BE 沿E 翻折，使点B 恰好落在对角线BD 上点F 处，E 交 BD 于点G． ①如图1，若B＝ B，求∠FD 的度数； ②如图2，当B＝4，且EF＝E 时，求B 的长． （2）在②所得矩形BD 中，将矩形BD 沿E 进行翻折，点的对应点为'，当点E，'，D 三点共线时，求BE 的长． 解：（1）①∵四边形BD 是矩形，∴D＝B，∠BD＝90°， ∵B＝ B，∴D＝ B，∴t∠BD＝ ＝ ，∴∠BD＝60°， 由折叠的性质得：F＝B，∴△BF 是等边三角形，∴∠FB＝60°， ∴∠FD＝180°﹣∠FB＝120°； ②由折叠的性质得：BF⊥E，EF＝EB， ∵EF＝E，∴EF＝EB＝E，∴B＝2BE， ∵四边形BD 是矩形，∴∠B＝90°，D＝B＝2BE，D∥B， ∴△DG∽△EBG，∴ ＝ ＝2，∴G＝2EG， 设EG＝x，则G＝2x，∴E＝3x， 在△BE 中，BG⊥E，∴B2＝G•E（射影定理），即42＝2x•3x， 解得：x＝ （负值已舍去），∴E＝3x＝2 ， ∴BE＝ ＝ ＝2 ，∴B＝2BE＝4 ， 即B 的长为4 ； （2）当点E，'，D 三点共线时，如图3， 由②可知，B＝4 ， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝∠BD＝90°，D＝B＝4 ，D＝B＝4，D∥B， ∴∠DE＝90°，∠ED＝∠B'D， 由折叠的性质得：B'＝B＝4，∠B'＝∠B＝90°， ∴∠DE＝∠B'，D＝B'，∴△DE≌△B'D（S）， ∴DE＝D＝4 ，∴E＝ ＝ ＝4， ∴BE＝B+E＝4 +4． 10．如图，已知⊙的半径为2，B 为直径，D 为弦，B 与D 交于点M，将弧D 沿着D 翻折后， 点与圆心重合，延长至P，使P＝，连接P． （1）求证：P 是⊙的切线； （2）点G 为弧DB 的中点，在P 延长线上有一动点Q，连接QG 交B 于点E，交弧B 于 点F（F 与B、不重合）．问GE▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请 说明理由． 解：（1）∵P＝＝2，M＝M＝1，M＝ ， 又∵∠MP＝∠M＝90°， ∴P＝ ＝2 ， ∵＝2，P＝4， ∴P2+2＝P2， ∴∠P＝90°， ∴P 与⊙相切； （2）GE•GF 为定值，理由如下：如图2， 连接G、F、GB， ∵点G 为弧DB 的中点， ∴ ， ∴∠BG＝∠FG， ∵∠GE＝∠FG， ∴△GE∽△FG， ∴ ， ∴GE•GF＝G2， ∵B 为直径，B＝4， ∴∠BG＝∠BG＝45°， ∴G＝2 ， ∴GE•GF＝G2＝8． 11．如图1，在正方形BD 中，点E 是B 边上的一个动点（点E 与点，B 不重合），连接 E，过点B 作BF⊥E 于点G，交D 于点F． （1）求证：△BF≌△BE； （2）如图2，当点E 运动到B 中点时，连接DG，求证：D＝DG； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作M⊥DG 于点，分别交D，BF 于点M，，求 的值． （1）证明：∵BF⊥E， ∴∠GB＝90°， ∴∠GB+∠BG＝90， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BE＝90°＝∠，B＝B， ∴∠FB+∠BG＝90， ∴∠GB＝∠FB， ∴△BF≌△BE（S）； （2）证明：如图2，过点D 作D⊥E 于， 设B＝D＝B＝2， ∵点E 是B 的中点， ∴E＝EB＝ B＝， ∴E＝ ， 在Rt△EB 中，根据面积相等，得BG•E＝B•EB， ∴BG＝ ， ∴G＝ ＝ ， ∵∠DE+∠BE＝90°，∠BF+∠BE＝90°， ∴∠DE＝∠BF， ∵D＝B，∠D＝∠GB＝90°， ∴△D≌△BG（S）， ∴＝BG＝ ， ∴G＝G﹣＝ ＝， ∵D＝D，∠D＝∠GD＝90°， ∴△DG≌△D（SS）， ∴D＝GD； （3）解：如图3，过点D 作DQ⊥E 于Q， S△DG＝ •DQ•G＝ •DG， ∴＝ ＝ ， 在Rt△QD 中，D＝2， ∴D＝ ＝ ， ∵∠MD+∠D＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠MD＝∠D， ∴△D∽△DM， ∴ ＝ ， ∴M＝ ， 在Rt△G 中，G＝ ，＝ ， ∴G＝ ＝ ， ∵∠MG+∠G＝90°，∠G+∠G＝90°， ∴∠G＝∠G， ∴△G∽△G， ∴ ， ∴＝ ＝ ， ∴M＝M﹣＝ ， ∴ ＝ 12．在平面直角坐标系中，已知（﹣4，0），B（1，0），且以B 为直径的圆交y 轴的正半 轴于点（0，2），过点作圆的切线交x 轴于点D． （1）求过，B，三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标； （3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆， 恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 解：（1）令二次函数y＝x2+bx+， 则 ，∴ ， ∴过，B，三点的抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2． （2）以B 为直径的圆的圆心坐标为′（﹣ ，0）， ′ ∴＝ ，′＝ ； ∵D 为⊙′切线∴′⊥D， ′+ ∴∠∠D＝90°，∠'+ ' ∠＝90°， ' ∴∠＝∠D，∴△'∽△D， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴D＝ ，∴D 坐标为（ ，0）． （3）存在， 抛物线对称轴为x＝﹣ ， 设满足条件的圆的半径为r，则E 的坐标为（﹣ +r，|r|）或F（﹣ ﹣r，|r|）， 而E 点在抛物线y＝﹣ x2﹣ x+2 上， | ∴r|＝﹣ （﹣ +r）2﹣ （﹣ +r）+2； ∴r1＝﹣1+ ，r2＝﹣1﹣ （舍去），r3＝1+ ，r4＝1﹣ （舍去）； 故以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切，该圆的半径为 或1+ ．