专题18.2 平行四边形的判定【九大题型】（解析版）

专题182 平行四边形的判定【九大题型】 【人版】 【题型1 判断能否构成平行四边形】.....................................................................................................................1 【题型2 添加条件构成平行四边形】.....................................................................................................................4 【题型3 数图形中平行四边形的个数】................................................................................................................. 7 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】........................................................................................10 【题型5 证明四边形是平行四边形】...................................................................................................................14 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】........................................................................................................... 18 【题型7 利用平行四边形的判定和性质求解】...................................................................................................22 【题型8 利用平行四边形的判定和性质证明】...................................................................................................28 【题型9 平行四边形的应用】...............................................................................................................................36 【知识点1 平行四边形的判定】 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【题型1 判断能否构成平行四边形】 【例1】（2021 秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将 四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边 形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边 形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） ．①② B．①④ ．①②④ D．①③④ 【答】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； 1 ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形BD 是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， BD ∴ 的长度变大，故②错误； ∵平行四边形BD 的底不变，高变小了， ∴平行四边形BD 的面积变小，故③错误； ∵平行四边形BD 的四条边不变， ∴四边形BD 的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关 键是熟练应用这些知识解决问题． 【变式1-1】（2022 春·北京西城·八年级校考期中）下列∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值中， 能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） ．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 ．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2 【答】D 【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D 是对角，对角的份数应相等，据此即可求解． 【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只 有D 符合条件． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察 题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【变式1-2】（2021 春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期中）在四边形ABCD中，对 角线AC ,BD相交于点．给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD， AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定这个四边形是平 行四边形的条件有（ ） ．①②③ B．②③④ ．①②④ D．①③④ 【答】 【分析】根据平行四边形的5 个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两 1 组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两 组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作 出判断． 【详解】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可知①能判断这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断 这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判 断这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能 判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）； 故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形． 故选：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形 的判定定理，难度一般． 【变式1-3】（2022 春·浙江舟山·八年级统考期末）如图，已知▱ABCD的一组邻边B， B，用尺规作图作▱ABCD，下列4 个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：图①，由作图可知AB=CD，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边 形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确； 图②， 1 由作图可知，作的垂直平分线，得到的中点，再连接B 并延长到点D，使OD=BO，根据 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2 作法与理论依据正确； 图③，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取CD=AB，根据“一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形”可得，图3 作法与理论依据正确； 图④，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取AD=BC，“一组对边平行，另一组对边相 等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4 作法与理论依据不正确； 综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③，共3 个． 故选：． 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图 的意义是解题的关键． 【题型2 添加条件构成平行四边形】 【例2】（2022 春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角 线AC上的两点，如果添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，则添加的条件不能是 （ ） ．DE=BF B．AE=FC ．AF=CE D．∠1=∠2 【答】 【分析】根据各选项给出的条件，逐一验证即可． 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B，D∥B， ∴∠DE＝∠BF， ∵DE＝BF，不能得出△DE≌△BF， ∴不能得出四边形DEBF 是平行四边形，故错误； ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B，∠DE＝∠BF， ∵E＝F， ∴△DE≌△BF（SS）， ∴∠ED＝∠FB，DE＝BF， ∴∠DEF＝∠BFE； 1 ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF 是平行四边形，故B 正确； ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B，∠DE＝∠BF； ∵F＝E， ∴E＝F， ∴△DE≌△BF（SS）， ∴∠ED＝∠FB，DE＝BF， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF 是平行四边形，故正确； ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B，∠DE＝∠BF， ∵∠DE＝∠BF， ∴△DE≌△BF（S）， ∴DE＝F，∠ED＝∠BF， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴DE∥F， ∴四边形DEBF 是平行四边形，故D 正确； 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定 定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都 对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 【变式2-1】（2022 春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E，F 分别 为边B，B，上的点，连接FD 并延长到点G，已知FG∥AB，则添加下列条件，可以使线 段G，DE 互相平分的是（ ） ．AD=EG B．DF=DG ．DE∥AC D．DG=AE 【答】D 【分析】通过分析线段G，DE 互相平分，得四边形DGE 是平行四边形，结合选项，利用 1 平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】若线段G，DE 互相平分，则四边形DGE 是平行四边形， ∴添加DG=AE， 又∵FG∥AB， ∴四边形DGE 是平行四边形， ∴线段G，DE 互相平分， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-2】（2022 春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）若是四边形BD 的对角线和BD 的 交点，且B＝D，＝24m，则当＝_____m 时，四边形BD 是平行四边形． 【答】12 【分析】由=12m 求出，得出=，再由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：当=12m 时，=24-12=12（m）， = ∴， ∵B=D， ∴四边形BD 是平行四边形， 故答为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题 的关键． 【变式2-3】（2022 春·河南新乡·八年级统考期末）如图，在四边形BD 中，DE⊥AC， BF ⊥AC，垂足分别为点E，F． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF 为平行四边形，你添加的条 件是______． (2)添加了条件后，请证明四边形DEBF 为平行四边形． 【答】(1)DE=BF（答不唯一） (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的判定可得出答； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 1 （1） 解：由题意得DE∥BF，由平行四边形的判定可添加的条件是DE=BF（答不唯一）， 故答为：DE=BF（答不唯一）； （2） 证明：∵DE⊥，BF⊥， ∴DE∥BF， ∵DE=BF， ∴四边形DEBF 为平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关 键． 【题型3 数图形中平行四边形的个数】 【例3】（2021 春·内蒙古包头·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中， EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF与GH相交于点O，图中共有个平行四边形( ) ．4 个 B．5 个 ．8 个 D．9 个 【答】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形， ∴AB∥CD , AD∥BC， ∵EF ∥BC ，GH ∥AB ， EF ∥AD ，GH ∥CD ， ∴AE∥OG∥DF，BE∥OH ∥CF，AG∥OE∥BH，DG∥OF ∥CH， ∴四边形BFE，四边形DFE，四边形BG，四边形DG，四边形EG，四边形BE，四边形 DFG，四边形F 均为平行四边形， ∴图中共有个平行四边形9 个． 故选：D 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题 的关键． 【变式3-1】（2021 春·重庆·八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的 规律组成，其中第①个图形中一共有10 个平行四边形，第②个图形中一共有14 个平行四 边形，第③个图形中一共有19 个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平 1 行四边形的个数为（ ） ．39 B．40 ．41 D．42 【答】B 【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得 结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有10 个平行四边形， 第②个图形中一共有14 个平行四边形， 第③个图形中一共有19 个平行四边形， 第④个图形中一共有25 个平行四边形， 第⑤个图形中一共有32 个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为40． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形 进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般 问题． 【变式3-2】（2021 春·浙江杭州·八年级期末）如图，点，B，在同一直线上，点D，E， F，G 在同一直线上，且AC // DG , AD // BE // CF , AF // BG．图中平行四边形有（ ） 个 ．4 B．5 ．3 D．6 【答】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 1 图中的平行四边形有：▱BED，▱BGF，▱BFE，▱FD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的 四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形． 【变式3-3】（2021 春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，由25 个点构成的5×5 的 正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1 个单位．定义：由点阵中的四个 点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以，B 为顶点，面积为4 的阵点平行四 边形的个数为（ ） ．6 个 B．7 个 ．9 个 D．11 个 【答】D 【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符 合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答． 【详解】解：根据题意得：一共11 个面积为4 的阵点平行四边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例4】（2020 春·四川广元·八年级统考期末）已知，B，三点的坐标分别是(3，3)，(8， 1 3)，(4，6)，若以，B，，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，则D 点的坐标不可能是（ ） ．(−1，6) B．(9，6) ．(7，0) D．(0，−6) 【答】D 【分析】根据平行四边形的性质，分别从以B 为对角线、以为对角线、以B 为对角线去分 析求解即可求得答． 【详解】解：当以B 为对角线时：D=B=5，此时D（9，6）； 当以为对角线时，D=B=5，此时D（-1，6）； 当以B 为对角线时，D=B 4 ═，此时点D（7，0）． D ∴ 点的坐标不可能是：（0，-6）． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解此题的关键是 分类讨论数学思想的运用． 【变式4-1】（2019 秋·江苏南通·八年级校考期末）以不在同一直线上的三个点为顶点作平 行四边形最多能作( ) ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】连接不在同一直线上的三点，得到一个三角形，分别以三角形的三边为对角线， 用作图的方法，可得出选项． 【详解】 如图，以点，B，能做三个平行四边形：分别是▱BD，▱BF，▱EB 故选B 【变式4-2】（2022 春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系内，以（3， 5），B（1，1），（4，1）三点为顶点画平行四边形． 1 (1)可以画多少个平行四边形？ (2)写出每个平行四边形第四个顶点D 的坐标． 【答】(1)可以画3 个平行四边形； (2)（0，5）或（6，5）或（2，−3）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，将平行四边形画出来即可； （2）根据所作平行四边形可直接得出点D 的坐标． （1） 解：可以画3 个平行四边形，如图所示： （2） 由图可得：平行四边形第四个顶点D 的坐标为（0，5）或（6，5）或（2，−3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形 的性质是解题的关键． 【变式4-3】（2020 春·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系xy 中，已知点(1， 1)，B(3，2)． （1）如图1，在y 轴上是否存在－点P，使P＋PB 最小，若存在求出点P 的坐标；若不存 1 在，请说明理由． （2）如图2，点坐标为(4，1)，点D 由原点沿x 轴正方向以每秒1 个单位的速度运动，求 点D 运动几秒时，四边形BD 是平行四边形； （3）点P 在x 轴上，点Q 在y 轴上，且以、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直 接写出点P 以及对应的点Q 的坐标． 【答】(1) 存在点P 的坐标，且P(0, 5 4 )；(2)D 运动2 秒后四边形BD 是平行四边形；(3) P 点 坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q 点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【分析】(1)过点作关于y 轴的对称点M，连接BM 后与y 轴的交点即为所求的点P，求出 BM 解析式，再令y=0 进而求出P 点坐标； (2)只能是为一条对角线，BD 为另一对角线，设D(m,0)，利用BD 的中点与的中点为同一个 点即可求解； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,)，再分成①B 为对角线；②P 为对角线；③Q 为对角线共三 种情况分别求解即可． 【详解】解：(1)过点作关于y 轴的