题型4 多边形证明（复习讲义）（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型四多边形证明 （三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形） （复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 三角形全等及性质 一、三角形的基础知识 1．三角形的概念 由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2．三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线 段不等关系． 3．三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论： ①直角三角形的两个锐角互余； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 4．三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三 角形的角平分线． （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线． （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简 称三角形的高）． （4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且 等于第三边的一半． 二、全等三角形 5．三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边” 或“SS”）； （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角” 或“S”）； （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或 “SSS”）； （4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有L 定理（斜边、直角边定理）：有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“L”）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 6．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 三、等腰三角形 7．等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合． 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 8．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等 边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 四、等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． （3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边 三角形． 五、直角三角形与勾股定理 9．直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质： （1）直角三角形两锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 判定： （1）两个内角互余的三角形是直角三角形； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 10．勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边、b 的平方和等于斜边的平方，即：2+b2=2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边、b、有关系：2+b2=2，那么这个三角形是直 角三角形． 1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在 中， 为 的角平分 线．以点 圆心， 长为半径画弧，与 分别交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ，由作图可得 ，即可证明 ； （2）根据角平分线的定义得出 ，由作图得出 ，则根据三角形内角和定 理以及等腰三角形的性质得出 ， ，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 为 的角平分线， ∴ ， 由作图可得 ， 在 和 中， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴ ； （2）∵ ， 为 的角平分线， ∴ 由作图可得 ， ∴ ， ∵ ， 为 的角平分线， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定 义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 2 如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD． (1)求证：∠A=∠C； (2)求证：AB/¿CD． 【 答 】 证 明 ： (1)在 △AOB和 △COD中 ， { OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴∠A=∠C； (2)由(1)得∠A=∠C， ∴AB/¿CD． 3．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的中点， ．求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】见解析 【分析】根据 是 的中点，得到 ，再利用 证明两个三角形全等． 【详解】证明： 是 的中点， ， 在 和 中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决 本题的关键． 4 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E .求证： ∠A=∠D． 【答】证明：∵BF=EC， ∴BF+CF=EC+CF， 即BC=EF， 在△ABC和△≝¿中， ¿， ∴△ABC≌△≝(SAS)， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴∠A=∠D． 5．（2023·福建·统考中考真题）如图， ．求证： ． 【答】见解析 【分析】根据已知条件得出 ，进而证明 ，根据全等三角形的 性质即可得证． 【详解】证明： ， 即 ． 在 和 中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直 观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 6(2022· 四川省宜宾市) 已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB/¿ DE， ∠B=∠E，BC=EF .求证：AD=CF． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】证明：∵AB/¿ DE， ∴∠A=∠EDF． 在△ABC和△≝¿中， { ∠A=∠EDF ∠B=∠E BC=EF ， ∴△ABC≌△≝( AAS)． ∴AC=DF， ∴AC−DC=DF−DC， 即：AD=CF． 7(2022· 陕西省) 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE/¿ AB， ∠DCE=∠A .求证：DE=BC． 【答】证明：∵DE/¿ AB， ∴∠EDC=∠B， 在△CDE和△ABC中， { ∠EDC=∠B CD=AB ∠DCE=∠A ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴△CDE≌△ABC( ASA )， ∴DE=BC． 8(2022·浙江省杭州市)如图，在Rt △ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E 在线段AM上，EF ⊥AC于点F，连接CM，CE .已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 【答】(1)证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴MC=MA=MB， ∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B， ∵∠A=50°， ∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°， ∵∠ACE=30°， ∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°， ∴∠MEC=∠EMC， ∴CE=CM； (2)解：∵AB=4， ∴CE=CM=1 2 AB=2， ∵EF ⊥AC，∠ACE=30°， ∴FC=CE⋅cos30°=❑ √3． 9．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)写出 与 的数量关系 (2)延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ．求证： ． (3)在（2）的条件下，作 的平分线，交 于点 ，求证： ． 【答】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）勾股定理求得 ，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明 ，得出 ，则 ，即 可得证； （3）延长 交于点 ，延长 交 于点 ，根据角平分线以及平行线的性质证 明 ，进而证明 ，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴ ， ∵ ∴ 即 ； （2）证明：如图所示， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ∵ ， , ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长 交于点 ，延长 交 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又 ，则 ， 在 中， ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线 的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10（2021·浙江温州市·中考真题）如图， 是 的角平分线，在 上取点 ，使 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求证： ． （2）若 ， ，求 的度数． 【答】（1）见解析；（2）35° 【分析】 （1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出 ，即可完成求证； （2）先求出∠DE，再利用平行线的性质求出∠ B，最后利用角平分线的定义即可完成求解． 【详解】 解：（1） 平分 ， ． ， ， ， ． （2） ， ， ． ． ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 平分 ， ， 即 ． 【点睛】 本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决 本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考 查了学生对基本概念的理解与掌握． 11（2021·福建中考真题）如图，在 中，D 是边 上的点， ， 垂足分别为E，F，且 ．求证： ． 【答】见解析 【分析】 由 得出 ，由SS 证明 ，得出 对应角相等即可． 【详解】 证明：∵ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 和 中， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观 念与几何直观． 考点02 相似 六、相似三角形的判定及性质 11．定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相 似比． 12．性质 （1）相似三角形的对应角相等； （2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 13．判定 （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定 （2）]； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 七、相似多边形 14．定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它 们的相似比． 15．性质 （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 八、位似图形 16．定义 如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同 一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位 似比． 27．性质 （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对 应点的坐标的比等于k 或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 18．找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似 中心． 19．画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 位似， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 原点是位似中心，且 ．若 ，则 点的坐标是___________． 【答】 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长． 【详解】解∶设 ∵ 与 位似，原点 是位似中心，且 ．若 ， ∴位似比为 ， ∴ ， 解得 ， ， ∴ 故答为： 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键． 13．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形 中，E 是线段 上一点， 连结 交于点F．若 ，则 __________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】四边形 是平行四边形，则 ，可证明 ，得到 ，由 进一步即可得到答． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明 是解题的关键． 14（2021·云南中考真题）如图，在 中，点D，E 分别是 的中点， 与 相交于点F，若 ，则 的长是______． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】9 【分析】 根据中位线定理得到DE= B，DE B ∥，从而证明△DEF BF ∽△ ，得到 ，求出 EF，可得BE． 【详解】 解：∵点D，E 分别为B 和中点， DE= ∴ B，DE B ∥， DEF BF ∴△ ∽△ ， ∴ ， BF=6 ∵ ， EF=3 ∴ ， BE=6+3=9 ∴ ， 故答为：9． 【点睛】 本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性 质证明△DEF BF ∽△ ． 15．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在 中， ， 将 绕点逆时针方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值 为________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】5 【分析】过点D 作 于点F，利用勾股定理求得 ，根据旋转的性质可证 、 是等腰直角三角形，可得 ，再由 ， 得 ，证明 ，可得 ，即 ，再由 ，求得 ，从而求得 ， ，即可求解． 【详解】解：过点D 作 于点F， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵将 绕点逆时针方向旋转 得到 ， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 故答为：5． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三 角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高． (1)证明： ； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，结合公共角 ，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 是斜边 上的高． ∴ ， ∴ ， ∴ 又∵ ∴ ， （2）∵ ∴ ， 又 ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题 的关键． 17 如图，B DE ∥ ，且B＜DE，D＝B＝4，B+DE＝10．则AE AC 的值． 【分析】由平行线得三角形相似，得出B•DE，进而求得B，DE，再由相似三角形求得结果． 【解析】∵B DE ∥ ， DE B ∴△ ∽△， ∴AD AB = DE BC = AE AC ，即4 AB = DE 4 = AE AC ，