专题02 一元二次方程实际应用的四种考法（原卷版）

专题02 一元二次方程实际应用的四种考法 【知识点精讲】 应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用 ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝(1±x)，表示基数，x 表示平均增长率（降低率），表示变化的 次数，b 表示变化次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程；b 将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用 面积之间的关系列方程 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义 类型一、增长率问题 例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人 民的追捧，第一天票房约3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10 亿元，若 把增长率记作x，则方程可以列为（ ） ． B． ． D． 【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周 作业时长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少 了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ） ． B． ． D． 【变式训练2】某药店一月份销售口罩500 包，一至三月份共销售口罩1820 包，设该店二、三月份销售口 罩的月平均增长率为 ，则根据题意可列出方程为（ ） ． B． ． D． 【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加 ，这两年平 均每年绿化面积的增长率为（ ） ． B． ． D． 类型二、利润问题 例1 某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50 元． (1)连续两次降价后每千克32 元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取 适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8 元，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现 该商场要保证每天盈利6000 元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 例2 今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在上直播销售、B 两种优质农产品礼包． (1)已知今年7 月份销售种农产品礼包256 包，8、9 月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基 础上，9 月份的销售量达到400 包．若设8、9 两个月销售量的月平均增长率为x，求x 的值； (2)若B 种农产品礼包每包成本价为16 元，当售价为每包30 元时，每月销量为200 包．为了尽快减少库存， 该村准备在10 月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1 元，月销售量可增加20 包， 当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元? 【变式训练1】第19 届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品 的成本是30 元，如果销售单价定为每件40 元，那么日销售量将达到100 件．据市场调查，销售单价每提 高1 元，日销售量将减少2 件． (1)若销售单价定为每件45 元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种纪念品盈利1600 元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多 少元？ 【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T 恤衫，甲种款型共用了10400 元，乙种款型共用 了6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30 元 (1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？ (2)该服装店第一个月甲种款型的T 恤衫以200 元/件的价格售出20 件、乙种款型的T 恤衫以250 元/件的价 格售出10 件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T 恤衫都进行降价元销售，其中甲种款型的T 恤衫的销售量增加4 件、乙种款型的T 恤衫的销售增加件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总 额增加了1000 元，求第二个月的销售利润． 类型三、工程问题 例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020 年投入资金1000 万元，2022 年投入资金1440 万元，现假定 每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． (2)2022 年老旧小区改造的平均费用约为每个80 万元．2023 年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增 加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023 年最多可以改造多少个老旧小区？ 【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从5 月份到7 月份销售量的月增长 率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能 是900 个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产 头盔3900 个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决定 由甲、乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的 工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成 任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000 米．甲，乙分别从桥梁两端 向中间施工．计划每天各施工5 米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1 米桥梁施工所需成本不一样． 甲每合格完成1 米桥梁施工成本为10 万元，乙每合格完成1 米桥梁施工成本为12 万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每 合格完成1 米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天 少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150 万的情况下比计划多 万元．求的值． 类型四、几何图形问题 例．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平分线交 于点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)填空： _______， _______（用含的代数式表示） (2)设 的面积为 ， 的面积为 ，当为何值时， 的值为 ． (3)求当为何值时， 为直角三角形． 【变式训练1】等边 ，边长为 ，点P 从点出发以 向点B 运动，同时点Q 以 向点运动， 当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为， (1)求当 为直角三角形时的时间； (2) 的面积能否为 ，若存在求时间，若不存在请说明理由． 【变式训练2】如图，在直角梯形 中， ， ．动点P 从点D 出发，沿射线 的方向以每秒2 个单位的速度运动，动点Q 从点出发，沿射线 的方向以每秒1 个单位的速度向点B 运动，点P，Q 分别从点D，同时出发，当点P 运动到点时，点Q 随之停止运动．设 运动的时间为t（秒），当t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【变式训练3】如图，在 中， ， ， 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．点 ， 同时出发， 当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ______ ， ______ ；用含的代数式表示； (2)当为几秒时， 的长度等于 ； (3)是否存在某一时刻，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出的值，如果不存在， 请说明理由． 课后训练 1 如图1，在矩形 中， ，点E 和F 同时从点出发，点E 以 的速度沿 的方向运 动，点F 以 的速度沿 的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为 ， 的面积 为 ，y 关于x 的函数图象如图2，图象经过点 ，则的值为 ． 2．2022 北京冬奥会期间，某店直接从工厂购进、B 两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注： 利润=销售价-进货价） 类别价格 款钥匙扣 B 款钥匙扣 进货价（元／件） 30 25 销售价（元／件） 45 37 (1)店第一次用850 元购进、B 两款钥匙扣共30 件，求两款钥匙扣分别购进的件数？ (2)冬奥会临近结束时，店打算把B 款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4 件．经调查发 现，每降价1 元，平均每天可多售2 件，将销售价定为每件多少元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利 润为90 元？ 3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80 千克，每千克16 元出售；第二批60 千克，每千克18 元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960 元． (1)求樱桃的进价是每千克多少元？ (2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20 元出售，结果仅售出40 千 克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上 每降价1 元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10 千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售 第三批樱桃获得的利润为850 元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？ 4．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6 月份该旅行社“跟团游”的销 售额为 万元，“定制游”的销售额为 万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费 用少 万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4 倍，订单按一人一单计算． (1)求“定制游”的单数为多少？ (2)由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7 月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别 比上月对应订单数多 和 ，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多 和 ，这样预计7 月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的 还多 万元，且 ，求的值． 5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9 月7 日，医院派出13 名医护人员到一个大型小区 设置了 、 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220 份，已知 点平均每人采样720 份， 点平均每 人采样700 份． (1)求 、 两点各有多少名医护人员？ (2)9 月8 日，医院继续派出这13 名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商 户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从 点抽调部分医护人员到 点经调查发现， 点每减 少1 名医护人员，人均采样量增加10 份， 点人均采样量不变，最后当天共采样9360 份，求从 点抽调 了多少名医护人员到 点？ 6．2022 年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种 绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50 棵进行栽种．其中小叶榕每棵680 元，香樟每棵1000 元，经测算， 购买两种树共需38800 元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种 树的售价每降低10 元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2 棵，香樟1 棵．物业管理公司实 际购买的费用比原计划多3600 元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？