重难点突破07 三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）（原卷版）

重难点突破07 三角形的6 种模型 （字、8 字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 飞镖模型 题型04 老鹰抓小鸡模型 题型05 双角平分线模型 题型06 三角形折叠模型 题型01 字模型 【模型介绍】图形像“”字，故曰“”字模型 已知 图示 结论（性质） 已知△B，延长B 至 D，延长至E 1+ 2= +180° ∠ ∠ ∠ 1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置， 若∠1=125°，则∠2的度数为（ ） ．35° B．40° ．45° D．55° 2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形BDE 中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BDEM， 则∠l+∠2 的度数为（ ） ．210° B．110° ．150° D．100° 3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是 （ ） 结论①：变成五边形后外角和不发生变化； 结论②：变成五边形后内角和增加了360°； 结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°； ．只有①对 B．①和③对 ．①、②、③都对 D．①、②、③都不对 4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发 现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=¿ 度． 5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则 ∠1＋∠2＝ °． 6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B ,C，连接BC，求证 ∠DBC+∠ECB=180°+∠A． 题型02 8 字模型 【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型 已知 图示 结论（性质） 已知D，B 相交于 + B= + D ∠∠ ∠∠ 已知线段P 平分 ∠BD，线段P 平分 ∠BD P= ∠ 1 2 ( B+ D) ∠ ∠ 7．（2023 下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，AD 、BC相交于点，连接AB 、CD． 下列结论正确的是（ ） ．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠D ．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C 8．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C=28°， ∠D=22°，则∠P的度数为（ ） ．22° B．25° ．28° D．30° 9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，AD与BC交于点O，甲、乙两人要证明 ∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下： 甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角， ∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C， 故得证． 乙：作一圆通过A，B，C，D四点， ∵∠A与∠C对同弧´ BD，∠B与∠D对同弧´ AC． ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=∠D+∠C． 对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（ ） ．甲、乙两人的做法都是正确的 B．甲的做法正确，乙的做法错误 ．乙的做法正确，甲的做法错误 D．甲、乙两人的做法都是错误的 10．（2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1 中，△B 的内角∠B 与△D 的内角∠D 互为对顶角，则△B 与△D 为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知 “对顶三角形”有如下性质：∠十∠B=∠十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△B 与△D 中，∠B=70°，则∠十∠D= °． (2)如图2，在△B 中，D、BE 分别平分∠B 和∠B，若∠=60°，∠DE 比∠BED 大6°，求∠BED 的度数． 11．（2020·全国·九年级专题练习）阅读材料： 如图1，B、D 交于点，我们把△D 和△B 叫做对顶三角形． 结论：若△D 和△B 是对顶三角形，则∠+∠D＝∠B+∠． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠+∠B+∠E+∠DB+∠E 的度数． 解：连接D，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△D 中，∵∠+∠D+∠D＝180°， 即∠+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∠ ∴ +∠E+∠B+∠E+DB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ ； （2）如图②，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ； （3）如图③，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠＝ ； （4）如图④，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠+∠M+∠＝ ； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 12．（2020·全国·九年级专题练习）如图，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠六个角的和． 13．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图①，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F 的度数； （2）如图②，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠的度数； （3）如图③，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数． 14．（2021 下·江苏苏州·七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为 “8 字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D． （2）如图②，AP ,CP分别平分∠BAD ,∠BCD，若∠ABC=36° ,∠ADC=16°，求∠P的度数． （3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD ,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若 ∠ABC=α ,∠ADC=β，则∠P=¿________用α 、β的代数式表示） 15．（2019 下·河南新乡·七年级校联考期末）图1，线段B、D 相交于点，连接D、B，我们把形如图1 的 图形称之为“8 字形”．如图2，在图1 的条件下，∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P，并且与D、B 分别相交于M、．试解答下列问题： （1）在图1 中，请直接写出∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数： 个； （3）图2 中，当∠D＝50 度，∠B＝40 度时，求∠P 的度数． （4）图2 中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关系．（直 接写出结果，不必证明）． 题型03 飞镖模型 【模型介绍】图形像“飞镖”，故曰飞镖模型 已知 图示 结论（性质） 已知四边形BD = + B+ D ∠∠∠ ∠ 已知四边形BD，线段 B 平分∠B，线段D 平 分∠D = ∠1 2 ( + ) ∠∠ 16．（2013·湖北鄂州·中考真题）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 （ ） ．165° B．120° ．150° D．135° 17．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点F是△ABC的内心，连接BF ，CF，若∠BFC=112°，则 ∠A=¿（ ） ．44° B．45° ．50° D．55° 18．（2023 上·河北邯郸·八年级统考期末）如图，用铁丝折成一个四边形BD（点在直线BD 的上方），且 ∠=70°，∠BD=120°，若使∠B、∠D 平分线的夹角∠E 的度数为100°，可保持∠不变，将∠BD （填“增 大”或“减小”） °． 19．（2023·河北邯郸·统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说， 这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A ，∠B，∠BCD保持不 变，则将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”． 20．（2021·全国·九年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如 果∠A=52° ,∠B=25°，∠C=30° ,∠D=35° ,∠E=72°，那么∠F的度数是（ ）． ．72° B．70° ．65° D．60° 21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，若∠EOC=115°，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=¿ ． 22．（2019·全国·九年级专题练习）如图，Δ ABC中， (1)若∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O1、O2，请用∠A表示∠BO1C、∠BO2C； (2)若∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅On−1（O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅On−1依次从下到上），请用 ∠A表示∠BO1C，∠BOn−1C． 23．（2020 下·七年级统考课时练习）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把 这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A 、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ恰好经过点B、，若 ∠A=50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50° ,∠DBE=130°，求∠DCE的度数； ③如图4，∠ABD ,∠ACD的10 等分线相交于点G1、G2、⋯、G9，若 ∠BDC=140° ,∠BG1C=77°，求∠A的度数． 24．（2021 下·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则 ∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“ ∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2，∠A=60° ,∠B=20° ,∠C=30°，则∠BOC=¿__________°； ②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=¿__________°； （2）拓展应用： ①如图4，∠ABO、∠ACO的2 等分线（即角平分线）BO1、C O1交于点O1，已知∠BOC=120°， ∠BAC=50°，则∠BO1C=¿__________°； ②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10 等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次 为O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则∠BO7C=¿__________°； ③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120° ,∠C=44°，则 ∠ADB=¿__________°； ④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为___ _______． 题型04 老鹰抓小鸡模型 图示 结论（性质） + = 1+ 2 ∠∠∠ ∠ 口诀：腋下两角之和等于上下两角之和 + = 2- 1 ∠∠∠ ∠ 25．（2019 上·广东珠海·八年级珠海市文中学校考阶段练习）如图,将△B 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合, 若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ） ．20° B．30° ．40° D．50° 26．（2022 上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△B 沿EF 对折，折叠后的图形如图所示，∠A=60°， ∠1=96°，则∠2 的度数为（ ） ．30° B．24° ．25° D．26° 27．（2020 下·江苏常州·七年级校联考期中）如图，将△B 纸片沿DE 折叠，点的对应点为’，若∠B=60°， ∠=80°，则∠1+∠2 等于( ) ．40° B．60° ．80° D．140° 28．（2022 下·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°， 将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C '，D '处，折痕为EF，则∠1+∠2=¿（ ） ．40° B．50° ．60° D．70° 29．（2023 下·河南郑州·八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色 的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或 ∠1−∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠＝60°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ ． (2)如图②，翻折后，点落在点A '处，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C的度数． (3)如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点落在点A '处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为 ． 30．（2022 下·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传 统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△B 中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与 ∠的数量关系． (1)如图①，若∠＝80°，沿图中虚线DE 截去∠，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠＝80°，沿图中虚线DE 将∠翻折，使点落在B 上的点’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点落在点’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠的度数 (4)如图④，△B 纸片沿DE 折叠，使点落在点’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠的度数． 31．（2019 下·江苏宿迁·七年级校联考期中）如图1，将△B 纸片沿DE 折叠，使点落在四边形BDE 内点’ 的位置， （1）①若∠1=20 0,∠2=50 0，则∠C=¿ ； ②若∠C=42 0，则∠1+∠2=¿ ； ③探索∠C 、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由； （2）直接按照所得结论，填空： ①如图中，将△B 纸片再沿FG、M 折叠，使点、B 分别落在△B 内点’、B’的位置，则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=¿ ； ②如图中，将四边形BD 按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠8=¿ ； ③若将边形A1 A2 A3⋯An也按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠2n=¿ ； （3）如图，将△B 纸片沿DE 折叠，使点C落在△B 边AC上方点C '的位置， 探索∠C、∠1与∠2之间的 数量关系，并说明理由 题型05 双角平分线模型 已知 图示 结论（性质） 已知BD、D 分别平分 ∠B、∠B D=90°+ ∠ 1 2 ∠ 已知BD、D 分别平分 ∠EB、∠FB D=90°- ∠ 1 2 ∠ 已知BE、E 分别平分 ∠B、∠D E= ∠ 1 2 ∠ 32．（2023·青海·统考一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE 与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC的度数是 ． 33．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】 三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°． 如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D 是AB延长线上一点．由平角的定义可得 ∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外 角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】 如图③，点D，E 分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点， （1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=¿______°； （2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=¿______°； （3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=¿______°． 【拓展延伸】 如图④，点D，E 分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点， （4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点，则∠BOC=¿______°； （5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点，且∠CBO=1 3 ∠CBD， ∠BCO=1 3 ∠BCE，则∠BOC=¿______°； （6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的等分线交于点，且∠CBO=1 n ∠CBD， ∠BCO=1 n ∠BCE，则∠BOC=¿______°． 34．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点 E，则∠AEC=¿ ． 35．（2021·全国·九年级专题练习）如图，B A1和C A1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，B A2 是∠A1BD的平分线，C A2是∠A1CD的平分线，B A3是∠A2BD的平分线，C A3是∠A2CD的平分 线，……以此类推，若∠A=α，则∠A2020=¿ ． 36．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在△ABC中，BO ,CO分别是∠ABC和∠ACB的 平分线，证明：∠BOC=90°+ 1 2 ∠A． （2）如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°−1 2 ∠A． （3）如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=1 2 ∠A． 37．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB ①当∠A=60 ∘时，求∠D的度数 ②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论 （2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确， 请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程） 题型06 三角形折叠模型 已知 图示 结论（性质） 将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在线 段上时 2=2 ∠ ∠ 将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四 边形BFE 内部时 2 = 1+ 2 ∠∠ ∠或 ∠=1 2 （∠1+ 2 ∠） 将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四 边形BFE 外部时 2 = 2- 1 ∠∠ ∠或 ∠=1 2 （∠2- 1 ∠） 38．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在△ABC中，∠A=20°，D 为 AB的中点，E 为AC边上一点，将△ADE沿着DE翻折，得到△A ' DE，连接A ' B．当A ' B=A ' D时，则 ∠A ' EC的度数为 ． 2 B C A C' E F 39．（2023·江西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C =90°，∠B=30°，点P 是边AB上一点，点D 是 边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点落在边BC上的A '处，若A ' P∥AC，则∠PDA '的度数为 ． 40．（2023 上·江苏·八年级专题练习）如图，有一个三角形纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片 一角折叠，使点落在△ABC外．若∠2=20°，则∠1的大小为 ． 41．（2020 上·湖南常德·九年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，