重难点突破07 三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）（解析版）

重难点突破07 三角形的6 种模型 （字、8 字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 飞镖模型 题型04 老鹰抓小鸡模型 题型05 双角平分线模型 题型06 三角形折叠模型 题型01 字模型 【模型介绍】图形像“”字，故曰“”字模型 已知 图示 结论（性质） 已知△B，延长B 至 D，延长至E 1+ 2= +180° ∠ ∠ ∠ 1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置， 若∠1=125°，则∠2的度数为（ ） ．35° B．40° ．45° D．55° 【答】 【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1−∠4，根据平行线的性质可得∠2=∠3． 【详解】解：如图， 由题意知∠4=90°，AB∥CD， ∵ ∠1=∠4+∠3，∠1=125°， ∴ ∠3=∠1−∠4=125°−90°=35°， ∵ AB∥CD， ∴ ∠2=∠3=35°． 故选． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和；两直线平行，同位角相等． 2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形BDE 中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BDEM， 则∠l+∠2 的度数为（ ） ．210° B．110° ．150° D．100° 【答】 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠M＋∠M=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠M=180°，∠2＋ ∠M=180°，从而求出结论． 【详解】解：∵∠=30°， ∠ ∴ M＋∠M=180°－∠=150° ∠ ∵ 1＋∠M=180°，∠2＋∠M=180° ∠ ∴ 1＋∠2=180°＋180°－（∠M＋∠M）=210° 故选． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是 （ ） 结论①：变成五边形后外角和不发生变化； 结论②：变成五边形后内角和增加了360°； 结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°； ．只有①对 B．①和③对 ．①、②、③都对 D．①、②、③都不对 【答】B 【分析】根据多边形的外角和是360°，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的 性质即可求解． 【详解】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确； 根据多边形内角和定理(5−2)×180°−(4−2)×180°=180°， 四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误， 如图所示， ∵∠1=∠4+∠A ,∠2=∠3+∠A ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上 知识是解题的关键． 4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发 现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=¿ 度． 【答】240 【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=60°， ∵ ∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE， ∴ ∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE， ∵ ∠AED+∠A+∠ADE=180°， ∴ ∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°， 故答为：240． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌 握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则 ∠1＋∠2＝ °． 【答】230 【分析】根据三角形的内外角之间的关系可求解 【详解】解：三角形的内角和等于180°，∠D＝50°， ∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠≝¿ ∵∠≝+∠DFE+∠D=180°， ∴∠1+∠2=∠≝+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230° 故答为：230 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是明确三角形的内外角之间的关系和三角形的内角 和等于180°的知识点 6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B ,C，连接BC，求证 ∠DBC+∠ECB=180°+∠A． 【答】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角， ∴∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC． 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关 键． 题型02 8 字模型 【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型 已知 图示 结论（性质） 已知D，B 相交于 + B= + D ∠∠ ∠∠ 已知线段P 平分 ∠BD，线段P 平分 ∠BD P= ∠ 1 2 ( B+ D) ∠ ∠ 7．（2023 下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，AD 、BC相交于点，连接AB 、CD． 下列结论正确的是（ ） ．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠D ．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C 【答】 【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D， ∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B， ∴∠AOC>∠D， ∴四个选项中只有选项结论正确， 故选． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度 数之和是解题的关键． 8．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C=28°， ∠D=22°，则∠P的度数为（ ） ．22° B．25° ．28° D．30° 【答】B 【分析】设∠CAD=a，∠CBD=b，根据角平分线的定义可知，∠DAP=∠PAC=1 2 ∠CAD=1 2 a， ∠DBP=∠PBC=1 2 ∠CBD=1 2 b，再根据三角形外角的性质可得1 2 a+∠P=1 2 b+28°， 1 2 a+22°=1 2 b+∠P，从而可得28°−∠P=∠P−22°，再进行求解即可． 【详解】解：如图，设∠CAD=a，∠CBD=b， ∵AP平分∠CAD，BP平分∠CBD， ∴∠DAP=∠PAC=1 2 ∠CAD=1 2 a，∠DBP=∠PBC=1 2 ∠CBD=1 2 b， ∵∠BFA=∠FAP+∠P，∠BFA=∠CBP+∠C， ∴∠FAP+∠P=∠CBP+∠C， ∴1 2 a+∠P=1 2 b+28°，即1 2 a−1 2 b=28°−∠P， 又∵∠AEB=∠DAP+∠D，∠AEB=∠DBP+∠P， ∴∠DAP+∠D=∠DBP+∠P， ∴1 2 a+22°=1 2 b+∠P，即1 2 a−1 2 b=∠P−22°， ∴28°−∠P=∠P−22°，即2∠P=50°, ∴∠P=25°， 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，AD与BC交于点O，甲、乙两人要证明 ∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下： 甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角， ∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C， 故得证． 乙：作一圆通过A，B，C，D四点， ∵∠A与∠C对同弧´ BD，∠B与∠D对同弧´ AC． ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=∠D+∠C． 对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（ ） ．甲、乙两人的做法都是正确的 B．甲的做法正确，乙的做法错误 ．乙的做法正确，甲的做法错误 D．甲、乙两人的做法都是错误的 【答】B 【分析】根据三角形外角性质可判断甲的做法正确，由于不能确定点A、B、C、D在同一个圆上，于是 可判断乙的做法不正确． 【详解】解：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角， ∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C， 即∠A+∠B=∠D+∠C，所以甲的做法正确； ∵点A、B、C、D不一定在同一个圆上， ∴乙的做法不正确． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，圆周角定理以及确定圆的条件，解题的关键是确定A、B、C、 D四个点不一定在同一个圆上． 10．（2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1 中，△B 的内角∠B 与△D 的内角∠D 互为对顶角，则△B 与△D 为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知 “对顶三角形”有如下性质：∠十∠B=∠十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△B 与△D 中，∠B=70°，则∠十∠D= °． (2)如图2，在△B 中，D、BE 分别平分∠B 和∠B，若∠=60°，∠DE 比∠BED 大6°，求∠BED 的度数． 【答】(1)110 (2)27° 【分析】（1）由对顶三角形可得∠+∠B=∠+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答； （2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠B+∠B=180°−¿∠=180° −¿60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△BF 与△DEF 为对顶三角形得出∠1+∠3=∠DE+∠BED=60°，由 题意知∠DE 比∠BED 大6°，联立方程组即可解得答． 【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠+∠B=∠+∠D， 在△B 中，∠+∠B=180°−¿∠B=180°−¿70°=110°， ∠ ∴ +∠D=110°； （2）∵D、BE 分别平分∠B 和∠B， ∠ ∴ 1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠=60°， ∠ ∴ B+∠B=180°−¿∠=180°−¿60°=120°， ∠ ∴ 1+∠2+∠3+∠4=120°， ∴2∠1+2∠3=120°， ∠ ∴ 1+∠3=60°， 由图知△BF 与△DEF 为对顶三角形， ∠ ∴ 1+∠3=∠DE+∠BED=60°①， 又∵∠DE 比∠BED 大6°， ∠ ∴ DE−¿∠BED=6°②， 联立①②得¿， 解得：¿， ∠ ∴ BED=27°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键． 11．（2020·全国·九年级专题练习）阅读材料： 如图1，B、D 交于点，我们把△D 和△B 叫做对顶三角形． 结论：若△D 和△B 是对顶三角形，则∠+∠D＝∠B+∠． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠+∠B+∠E+∠DB+∠E 的度数． 解：连接D，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△D 中，∵∠+∠D+∠D＝180°， 即∠+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∠ ∴ +∠E+∠B+∠E+DB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ ； （2）如图②，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ； （3）如图③，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠＝ ； （4）如图④，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠+∠M+∠＝ ； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接D，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BD＋∠D，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BED＋∠DE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接B、DE，由对顶角三角形可知∠EB＋∠BD＝∠DE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接D、E，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠G＋∠EG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接D，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BD＋∠D，则∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠＋∠B＝∠BED＋∠DE，则∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接B、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EB＋∠BD＝∠DE＋∠BED， ∠ ∴ ＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＝五边形DEFG 的内角和＋△B 的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接D、E， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠G＋∠EG， ∠ ∴ ＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠M＋∠＝六边形BFGM 的内角和＋△D 的内角和＋△DE 的内角和 ＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△D 和△B 叫做对顶三角形的性质及 多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 12．（2020·全国·九年级专题练习）如图，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠六个角的和． 【答】360° 【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠＝∠4，∠E＋∠＝∠2，再根据三角形 内角和定理可得答． 【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠＝∠4，∠E＋∠＝∠2， ∠ ∴ G＋∠D＋∠F＋∠＋∠E＋∠＝∠3＋∠4＋∠2， ∠ ∵ B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠＝180°， ∠ ∴ ＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°， ∠ ∴ ＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＝360°． 【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和． 13．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图①，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F 的度数； （2）如图②，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G+∠的度数； （3）如图③，求∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数． 【答】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）连接D，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠＝∠BD＋∠D，进而将问题转化为求四边形DEF 的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形BDEF 的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形BDE 的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接D， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠＝∠BD＋∠D， ∠ ∴ BF＋∠B＋∠＋∠DE＋∠E＋∠F＝∠BF＋∠BD＋∠D＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形DEF 的内角和，四边形的内角和为360°， ∠ ∴ BF＋∠B＋∠＋∠DE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠B＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠的度数等于六边形BDEF 的内角和， ∠ ∴ B＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GE＋∠FE， ∠BG＋∠B＋∠＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G 的度数等于五边形BDE 的内角和， ∠ ∴ BG＋∠B＋∠＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 14．（2021 下·江苏苏州·七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为 “8 字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D． （2）如图②，AP ,CP分别平分∠BAD ,∠BCD，若∠ABC=36° ,∠ADC=16°，求∠P的度数． （3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD ,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若 ∠ABC=α ,∠ADC=β，则∠P=¿________用α 、β的代数式表示） 【答】（1）证明见解析；（2）∠P=26°；（3）∠P=1 2 (α+β)． 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证； （2）设∠BP=∠PD=x，∠BP=∠PD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （3）表示出∠PD 和∠PD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解． 【详解】解：（1）∵∠+∠B+∠B=180°，∠+∠D+∠D=180゜， ∠ ∴ +∠B+∠B=∠+∠D+∠D． ∠ ∵ B=∠D， ∠ ∴ +∠B=∠+∠D； （2）∵AP ,CP分别平分∠BAD ,∠BCD， 设∠BP=∠PD=x，∠BP=∠PD=y， 则有¿， ∠ ∴ B-∠P=∠P-∠D， ∴∠P=1 2 (∠ABC+∠ADC )=1 2 (36°+16°)=26°； （3）如图，∵P 平分∠BD 的外角∠FD，P 平分∠BD 的外角∠BE， ∠ ∴ 1=∠2，∠3=∠4， ∠ ∴ PD=180°-∠2=180°-∠1，∠PD=180°-∠3， ∠ ∵ P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3）， ∠P+∠1=∠B+∠4， ∴2∠P=∠B+∠D， ∵∠ABC=α ,∠ADC=β， ∴∠P=1 2 (∠ABC+∠ADC )=1 2 (α+β)． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8 字形”的结论，然后 列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 15．（2019 下·河南新乡·七年级校联考期末）图1，线段B、D 相交于点，连接D、B，我们把形如图1 的 图形称之为“8 字形”．如图2，在图1 的条件下，∠DB 和∠BD 的平分线P 和P 相交于点P，并且与D、B 分别相交于M、．试解答下列问题： （1）在图1 中，请直接写出∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数： 个； （3）图2 中，当∠D＝50 度，∠B＝40 度时，求∠P 的度数． （4）图2 中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着怎样的数量关系．（直 接写出结果，不必证明）． 【答】（1）∠+∠D＝∠+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠+∠D＝∠+∠B； （2）根据“8 字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8 字形”共有6 个； （3）先根据“8 字形”中的角的规律，可得∠DP+∠D＝∠P+∠DP①，∠PB+∠B＝∠PB+∠P②，再根据角平 分线的定义，得出∠DP＝∠P