模型09 三角形——老鹰抓小鸡模型-解析版

三角形 模型（九）——老鹰抓小鸡模型 （筝型或折叠模型） ◎结论：如图所示，∠+∠BF=∠DBF+∠FE 【证明】∵∠+∠BF＋∠BF＋∠F＝360° ∠BF＋∠F＋∠DBF+∠FE＝360° ∴∠+∠BF=∠DBF+∠FE 将△EF 还原回去，就可以得到老鹰抓小鸡模型， 即∠1+∠2=2∠ 注：老鹰抓小鸡模型的变形比较多 ，大多考查翻折类问题的角度关系，分为①折叠 后角的顶点落在角的内部，②以及角的顶点落在角的外部，记住结论能节省大量的答 题时间 翼下两角和等于上下两角和 1．（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）如图，将△B 纸片沿DE 折叠，使点落在点'处，且'B 平分∠B，'平 分∠B，若∠B'＝120°，则∠1+ 2 ∠的度数为（ ） ．90° B．100° ．110° D．120° 【答】D 【分析】连接'，先求出∠B，再证明∠1+ 2=2 ∠ ∠B 即可解决问题． 【详解】解：如图，连接'， ' ∵B 平分∠B，'平分∠B， ' ∴∠B= ∠B，∠'B= ∠B， ∵∠B'=120°， ' ∴∠B+ ' ∠B=180°-120°=60°， ∴∠B+∠B=120°， ∴∠B=180°-120°=60°， ∵沿DE 折叠， ∴∠D'=∠D'，∠E'=∠E'， 1= ∵∠ ∠D'+∠D'=2∠D'，∠2=∠E'+∠E'=2∠E'， 1+ 2=2 ∴∠ ∠ ∠D'+2∠E'=2∠B=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正 确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把△B 沿EF 对折，折叠后的图形如图所示， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】由三角形的内角和，得 ，由邻补角的性质得 ，根据折叠的性 质得 ，即 ，所以， ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质可得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为 ，互为 邻补角的两个角之和为 以及折叠的性质是本题的解题关键． 3．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，已知三角形纸片 中， ， ，将纸片的一角折叠，使 点 落则在 内，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长 和 ，交于点 ，根据三角形内角和定理求出 的度数，根据折叠的性质得： ， ，求出 的度数，根据三角形内角和定理求出 的度数，得到 的度数，从而得出 的度数． 【详解】解：如图，延长 和 ，交于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 根据折叠的性质得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理．延长 和 ，交于点 ，根据三角形内角和定 理和折叠的性质求角的度数是解题的关键． 1．（2022·海南海口·七年级期末）如图，把△B 纸片沿M 折叠，使点落在△B 内部点′处，若∠=36°，则∠1+ 2 ∠等于 （ ） ．54° B．62° ．72° D．76° 【答】 【分析】根据折叠可知∠=∠ ，四边形内角和为360°，即可求出 + ，用平角的定义即可求出 ∠1+ 2 ∠ 【详解】∵△M 折叠得到 = ∴∠∠ 1=180°- ∵∠ ，∠2=180°- 1+ 2=180°- ∴∠ ∠ +180°- =360°-（ + ） ∵ + =360°- - ∠ =360°-36°-36°=288° 1+ 2=360°-288°=72° ∴∠ ∠ 故选： 【点睛】本题主要考查了折叠问题，掌握三角形的内角和定理，四边形的内角和以及平角的定义是解题的关键． 2．（2021·河南·淮阳第一高级中学七年级期末）如图，已知点 ， 分别在 的边 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在点 的位置，已知 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由∠求∠EF＋∠FE 的大小，由折叠得到∠PEF＋∠PFE 的大小，结合平角计算∠1＋∠2． 【详解】解：∵∠＝70°， ∴∠EF＋∠FE＝180°−70°＝110°， 由折叠得：∠PEF＋∠PFE＝∠EF＋∠FE＝110°， 1 ∵∠＋∠PEF＋∠EF＝180°，∠2＋∠PFE＋∠FE＝180°， 1 ∴∠＋∠2＝360°−110°−110°＝140°， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和、折叠的性质、平角的定义，利用整体思想解题是本题的关键． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把 纸片沿 折叠，使点 落在图中的 处，若 ， ，则 的大小为______ 【答】32° 【分析】根据折叠性质以及 ， 可知， 、 、 ，又 ∠ED+ ED=180° ∠ ，即可求出答 【详解】由折叠的性质可知， 又 ∴ ， 根据三角形内角和可得： ∴ 故答为32° 1．（2012·广东河源·中考真题）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△B 纸片，点D、E 分别是边B、上，将△B 沿着DE 折叠压平，与′重合，若∠=75°，则∠1+ 2= ∠ 【 】 ．150° B．210° ．105° D．75° 【答】 【详解】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理． ′DE ∵△ 是△B 翻折变换而成，∴∠ED= ′ED ∠ ，∠DE= ′DE ∠ ，∠= ′=75° ∠ ． ED+ DE= ′ED+ ′DE=180°﹣75°=105° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ，∴∠1+ 2=360° 2×105°=150° ∠ ﹣ ． 故选． 2．（2022·广东梅州·一模）如图，在△B 中，点D、E 分别为边B、上的点，将△DE 沿DE 翻折得到△′DE， 使′D∥ B．若∠＝75°，∠=45°，则∠′E 的大小为 _____°． 【答】30 【分析】由′D∥ B 得出∠DGE= =75° ∠ ，由折叠性质可知，∠'= =45° ∠ ，再根据三角形外角性质求出∠′E=∠DGE- '=75°-45°=30° ∠ ． 【详解】解：如图， ′ ∵D∥B， ∴∠DGE= =75° ∠ ， 由折叠性质可知，∠'= =45° ∠ ， ′ ∴∠E=∠DGE- '=75°-45°=30° ∠ ， 故答为30． 【点睛】本题考查了翻折变换的知识及三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠DGE 的度数是解题的关键．