第18章 平行四边形压轴题考点训练（教师版）

第十八章 平行四边形压轴题考点训练 1．如图，在▱BD 中，BE 垂直平分D 于点E，且∠BD＝45°，D＝3，则▱BD 的对角线的长 为( ) ． B．5 ．5 D．2 【答】 【详解】解：如图所示，过作F⊥B，交B 延长线于点F，连接BD， ∵在▱BD 中，BE 垂直平分D 于点E，∴B＝BD＝D＝3， 又∵∠BD＝45°， ∴∠BD＝45°，∠DB＝90°， ∴Rt△BD 中，B＝ D＝ ， ∵∠BF＝∠DB＝45°，∠F＝90°，∴∠BF＝45°，∴F＝FB＝ ， ∴Rt△F 中， ， 故选：． 2．如图，在△B 中，=B=4，∠B=120°，点M 在边B 上，且BM=1，点是直线上一动点，点 P 是边B 上一动点，则PM+P 的最小值为( ) ． B． ． D．4 【答】B 【详解】解：作点关于B 的对称点'，连接'，B'，取'=，连接P'， 则='=B=B'， ∴四边形B'是菱形， ∴P=P'， ∴PM+P=PM+P'， ∴当M、P、'共线，且M' ' ⊥时，PM+P 最小， 过点'作'⊥B 于， ∵∠B=120°， ' ∴∠B=60°， '= ∴ B'=2 ， ∴PM+P 的最小值为2 ， 故选：B． 3．如图，等边 中， ， 为 中点， ， 为 边上动点，且 ， 则 的最小值是( ) ． B． ． D．15 【答】 【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，作 关于 的对称点 ，过 作 的 延长线于点 ，连接 ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 当 三点共线时取等于号，则 的长度即为 的最小值， 由作图可知： ， ， ， ， ， ， ， ． 故选． 4．如图，菱形BD 的边长为9，面积为 ，P、E 分别为线段BD、B 上的动点，则 的最小值为( ) ． B． ． D．9 【答】B 【详解】解：过 作 于 交 于 由菱形在轴对称性质可得： 此时 最短， 菱形BD 的边长为9，面积为 ， 所以 的最小值是 故选： 5．如图，▱BD 中，对角线、BD 相交于点，E 平分∠BD，分别交B、BD 于点E、P，连接 E，∠D＝60°，B＝2B＝4，则下列结论：①D＝4E；②BD＝2 ；③30°＜∠BE＜45°； ④S△P＝ ．其中正确的个数是( ) ．4 B．3 ．2 D．1 【答】 【详解】解：∵E 平分∠BD，∴∠BE＝∠DE， ∵四边形BD 是平行四边形，∴D∥B，∠B＝∠D＝60°，D=B,=, ∴∠DE＝∠BE，∴∠BE＝∠BE，∴B＝BE＝2， ∴△BE 是等边三角形，∴E＝BE＝2， ∵B＝4，∴E＝2，∴E＝E，∴∠E＝∠E， ∵∠EB＝∠E+∠E＝60°，∴∠E＝30°， ∵D∥B，∴∠D＝∠E＝30°，∴∠B＝∠D＝90°， ∵E＝BE＝2，∴E 为B 的中点，∴E 为△B 的中位线 ∴E= B=1，E∥B，∴∠E＝∠B＝90°， ∵B＝2B，∴B=4E，∴D=4E，∴①正确 Rt△E 中，＝ ， 在Rt△D 中，D＝ ，BD＝2D＝2 ，故②正确 在Rt△E 中，∵E 是斜边，∴E＞，∴B＞，∴∠B＞∠B ，∴∠B＞45° ∴∠BE=90°-∠B＜45° ∵E= ，∴∠BE＞∠BE ∵∠B=30°，∠E=90°，∴∠E=60° ∴∠EB=120°，∴∠BE +∠BE=60°，∴∠BE＞30°，∴③正确 过点P 分别作PM⊥B 于M，P⊥D 于 ∴PM=P(角平分线的性质)，∴ ∵四边形BD 是平行四边形 ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ∵四边形BD 是平行四边形，∴== ， ∴ ，∴④正确 综上，正确的个数是4 个 故选：． 6．如图，在菱形BD 中，∠BD＝60°，与BD 交于点，E 为D 延长线上的一点，且D＝DE， 连接BE 分别交、D 于点F、G，连接G，则下列结论中一定成立的是( ) ①G＝ B；②与△DEG 全等的三角形共有5 个；③四边形DEG 与四边形BG 面积相等； ④由点、B、D、E 构成的四边形是菱形． ．①③④ B．①④ ．①②③ D．②③④ 【答】 【解析】解： 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 是 的中位线， ，①正确； ， ， 四边形 是平行四边形， ， 、 是等边三角形， ， ， ，四边形 是菱形，④正确； ， 由菱形的性质得： ， 在 和 中， ， ， ，②不正确； ， ， 四边形 是菱形， ， 四边形 与四边形 面积相等，故③正 确； 故选：． 7．如图，在菱形BD 中，B＝BD，点E、F 分别是B、D 上任意的点(不与端点重合)且E＝ DF，连接BF 与DE 相交于点G，连接G 与BD 相交于点．若G＝2 ，则四边形BDG 的 面积为 _____． 【答】 【详解】如图，过点作M⊥GB 于M，⊥GD 于． 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 是等边三角形 ， 又 是 的角平分线 △BM≌△D， S 四边形MG= 2S△MG， ∵∠GM=60°， ∴GM= G， ∴S 四边形MG=2S△MG=2× × G× G= G2， S 四边形MG= ． 故答为： ． 8．如图，在菱形BD 中，∠B＝60°，B＝2，M 为边B 的中点，为边B 上一动点(不与点B 重 合)，将△BM 沿直线M 折叠，使点B 落在点E 处，连接DE，E．当△DE 为等腰三角形时， 线段B 的长为_____． 【答】 或 【详解】①当DE=D 时，连接DM，过点D 作DG⊥B 交B 延长线于点G，如图 ∵四边形BD 是菱形 ∴B=D=B=2，D∥B，B∥D ∴∠DG=∠B=60゜，∠=180゜-∠B=120゜，DE=D=2 ∵DG⊥B，∴∠DG=90゜-60゜=30゜，∴ 由勾股定理得： ，∴BG=B+G=2+1=3 ∵M 为B 的中点，∴M=BM=1 由折叠的性质得：E=B，EM=BM=1，∠ME=∠B=60゜，∴EM=M ∵D=D，DE=D，∴DE=D 在△EMD 和△MD 中， ，∴△EMD≌△MD(SSS) ∴∠DEM= =120 ∠ ゜，∴∠DEM+∠ME=180゜ ，即D、E、三点共线 设B=x，则E=x，D=DE+E=2+x，G=BG-B=3-x 在Rt△DG 中，由勾股定理可得： ，解得： ，即 ②当E=D 时，E=D=D=2，此时点E 与点重合，点与点重合，如图 ∴B=2 ③当E=DE 时，点E 在线段D 的垂直平分线上，此时点E 与点重合，点与点重合，同理可 得B=2． 综上所述，B 的长为 或 故答为： 或 ． 9．如图，在边长为6 的菱形 中， ， 为 上方一点，且 ，则 的最小值为______． 【答】 【详解】解：过作E⊥B 于E， ∵∠B＝30°，B＝6， ∴E B＝3， ∴S△PB S 菱形BD 6×3＝6， 设点P 到B 的距离为， ∴＝2， 即点P 在平行于B 且到B 的距离为2 的直线上， 作点B 关于直线l 的对称点G，连接G 交直线l 于点P， 则此时，PB+P 的值最小，PB+P 的最小值＝G， ∵BG⊥l， ∴BG⊥B， ∴∠BG＝90°，BG＝2＝4， ∴G 2 ， 故答为 ． 10．如图，正方形 中，在 的延长线上取点E，F，使 ， ，连 接 分别交 ， 于，G．下列结论：①图中有8 个等腰三角形；② ；③ ；④ ．其中正确的有_________(填序号)． 【答】③④ 【详解】解：如图，在正方形 中， ， ， 和 是等腰三角形； ， ， 和 是等腰三角形； ， ， ， ， 和 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形，且 ， ， ， ， 和 是等腰三角形， 综上，图中共有9 个等腰三角形；故①不正确； 正方形 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ，要使 ，只要 为 的中点即可， 且 ， ， ， 即 和 不全等， 点 不是 中点，②错误 由①分析可知，在 和 中， ， ；故③正确； 如图，过点 作 交 的延长线于点 ，交F 于， 设G=x，则MG=1-x，∵△DE 为等腰三角形，∴∠DE=∠DE=45°， 可得△GM 为等腰直角三角形，∴M=1-x，∴G= ， 设正方形BD 的边长为1，则B=DE=1，BD=DF=E= ， ∵△BG 为等腰三角形，∴ ，解得： ， ∴ ，故④正确； 综上，③④正确．故答为：③④． 11．如图，矩形纸片 ， ， ，点 在线段 上，将 沿 向上 翻折，点 的对应点 落在线段 上，点M，分别是线段 与线段 上的点，将四 边形 沿 向上翻折，点 恰好落在线段 的中点 处．则线段 的长______． 【答】 ． 【详解】如图，作 ，连接 交 ，连接 ． 由题意可知，四边形 是正方形， 是等腰直角三角形； ∴ ， ， 在 中， ， 设 ，则 ， 在 中， ，即 ，解得 ，∴ ， 由折叠的性质可得： ， ， ∵ ，∴ ．故答为： ． 12．在菱形BD 中， ∠B=60°，P 是对角线BD 上一点，E 是B 边的延长线上一点，PE=P． (1)如图1，求∠PE 的度数； (2)如图2，BE 的垂直平分线交BD 于F，交BE 于G，求证；B= PF (3)如图3，PE 交D 于M，当∠ME=45°时，直接写出 = ． 【答】(1)∠PE=120°；(2)见解析；(3) 【解析】(1)如答图1，连接P，由菱形的对称性知，∠BP=∠BP，P=P=PE，∴∠PE=∠PE， ∵∠BP+∠PE=180°，∴∠BP+∠PE=180°， ∴∠B+∠PE=180°，∵∠B=60°，∴∠PE=120°． (2)如答图2，连接P，作P⊥BE 于，延长BE 至Q，使B=Q，连接PQ， 有=E，B=EQ． 设P=1，B=B=x，则PB=2，B= ，BQ=2 ，BE=2 -x， ∴BG= BE= - x，∴BF= BG=2- x，∴PF= x，∴B= PF． (3)如答图3，连接P，，、BD 交于点， ∵∠E=∠BD-∠ME=75°，∴∠PE=180°- E- PE=30° ∠∠ ，∴∠P= PE- PE=90° ∠ ∠ ， ∴∠BPE=180°- PBE- E=75° ∠ ∠ ，∴BP=BE， 设=1，则B= ，BP=BE= +1，B=2，∴E= +1-2= -1，∴ = ． 13．四边形 BD 为正方形，点 E 为线段 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 B 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 G． (1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； (2)若 B＝ ，E＝2，求 G 的长； (3)当线段 DE 与正方形 BD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EF 的度数． 【答】(1)见解析；(2) ；(3) 或 【解析】(1)证明：如下图所示： 作EP⊥D 于P，EQ⊥B 于Q， ∵∠D＝∠B，∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FE＝90°，∠PED+∠FE＝90°，∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF 和Rt△EPD 中， ，∴Rt△EQF Rt ≌ △EPD(S)， ∴EF＝ED，∴矩形DEFG 是正方形； (2)如图2： 在Rt△B 中＝ B＝ ， ∵E＝2，∴E＝E， ∴点F 与重合，此时△DG 是等腰直角三角形， ∴ ； (3)①如图3： 当DE 与D 的夹角为40°时，∠DE＝45°+40°＝85°， ∵∠DEF＝90°，∴∠EF＝5°， ∵∠EF＝45°，∴∠EF＝130°， ②如图4： 当DE 与D 的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DF＝90°， ∴∠EF＝∠ED＝40°， 综上所述，∠EF＝130°或40°． 14．已知正方形BD 与正方形EFG，正方形EFG 绕点旋转一周． (1)如图1，连接BG、F， ①求 的值；②求∠B 的度数． (2)当正方形EFG 旋转至图2 位置时，连接F、BE，分别取F、BE 的中点M、，连接M， 猜想M 与BE 的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答】(1)① ；②45°；(2) ； ；理由见解析 【解析】(1)①如图1，连接F，， ∵四边形BD 和四边形EFG 都是正方形， ∴ ， ，∠B＝∠GF＝45°，∠BD＝90°， ∴∠F＝∠BG， ，∴△F∽△BG，∴ ； ②∵是正方形BD 的对角线， ∴∠B＝90°，∠B＝45°， 在△B 中，∠B＝180°−(∠B＋∠B) ＝180°−(∠B＋∠B＋∠F)＝180°−(∠B＋∠B＋∠BG) ＝180°−(∠B＋∠B)＝45°； (2) BE＝2M，M⊥BE； 理由如下：如图2 连接ME，过点作Q∥EF，交直线ME 于Q，连接BQ，设F 与D 交点为P，F 与G 交点为 R， ∵Q∥EF， ∴∠FQ＝∠FE， ∵点M 是F 的中点， ∴M＝MF， 又∵∠MQ＝∠FME， ∴△MQ≌△FME(S)， ∴Q＝EF，ME＝QM， ∴E＝Q， ∵Q∥EF，G∥EF， ∴Q∥G，∴∠QF＝∠R， ∵D∥B，∴∠BF＝∠PR， ∴∠BQ＝∠BF＋∠QF＝∠PR＋∠R， ∵∠DG＋∠PR＋∠R＝180°，∠BE＋∠DG＝180°，∴∠BE＝∠BQ， 又∵B＝B，Q＝E， ∴△BQ≌△BE(SS)，∴BQ＝BE，∠BQ＝∠BE，∴∠QBE＝∠B＝90°， ∵MQ＝ME，点是BE 中点，∴BQ＝2M，M∥BQ， ∴BE＝2M，M⊥BE． 15．点D、E、F 分别是 的边B、B、的中点． (1)如图1，以BD、BE 为边分别作正 和正 ，连接MF、F、M．求证： 是等边三角形． (2)如图2，以BD、BE 为边分别作正方形BPMD 和正方形BQE，连接MF、F、M，则 的度数是多少？ (3)以BD、BE 为边分别作正边形，设两个正边形与点D、E 相邻的顶点分别是M、(点M、 与点B 是不同的点)，连接MF、F、M 得到 ，则 的度数是多少？(结果用含的 代数式表示)． 【答】(1)见解析；(2)90°；(3) 【解析】(1)解：连接FD、FE， ∵ 和 是等边三角形，∴ ， ， ， ∵D、F、E 分别为边B、、B 的中点，∴ ， ，∴DFEB 是平行四边形 ∴ ， ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， 而 ∴ 是等边三角形； (2) 是等腰直角三角形，且∠MF 为90°， 理由如下：连接FD、FE， ∵四边形BDMP 和四边形BEQ 是正方形， ∴ ， ， ， ∵D、F、E 分别为边B、、B 的中点，∴ ， ， ∴DFEB 是平行四边形．∴ ， ， ∴ ． 在 和 中 ， ∴ ，∴ ， · 故答为：90°； (3) ，理由如下： 由(1)(2)知： ． 故答为：