专题07 密度、压强和浮力的综合计算（压轴题）（解析版）

专题07 密度、压强和浮力的综合计算（压轴题） 模型构建｜真题试炼｜模拟演练｜题组通关 高频模型 中考题型分布 分值占比 模型01 漂浮、悬浮模型（高频考点） 选择题、填空题、解答题 2~8 分 模型02 注液、排液模型（压轴题） 选择题、填空题、解答题 2~8 分 模型03 出液、入液模型（压轴题） 选择题、填空题、解答题 2~8 分 模｜型｜构｜建 『模型解读』几种常见浮力的受力分析 模型 受力分析 浮力求解 (1)已知物体的体积V 及液体的密度，则：F 浮=ρ 液gV (2)已知物体的重力G 和拉力，则：F 浮=G+F (1)已知物体(或B)的体积V 及液体的密度ρ 液，则(或B)受到的浮力 F 浮=ρ 液gV (2)已知物体(或B)的重力G(或GB)，(或B)受到的拉力F，则(或B)受 到的浮力F 浮=G+F(或F 浮=GB-F) (1)已知物体质量m 物，则F 浮=G 物=m 物g; (2)已知物体底面积S 及浸入液体的深度和液体的密度ρ 液，则 F 浮=ρ 液gS 中考·模型解读 识 善 模型01 漂浮、悬浮模型 变式演练 (1)已知物体的体积V 及液体的密度ρ 液，则F 浮=ρ 液gV； (2)已知物体的重力G 和压力F，则F 浮=G+F (1)已知物体的体积V 及液体的密度ρ 液，则F 浮=ρ 液gV (2)已知物体的重力G 和物体B 的重力GB，则F 浮 =G +GB 解 （北京）股份有限公司 B．若m<mB，则一定有F<FB ．甲杯中液体对容器底的压力大于乙杯中液体对容器底的压力 D．甲杯对桌面的压强小于乙杯对桌面的压强 【答】B 【详解】．由图可知，物体在甲杯液体中处于沉底状态，所以的密度大于液体密度，物体B 在乙杯液体中 处于漂浮状态，B 的密度小于液体密度，两烧杯中液体密度相同，所以的密度大于B 的密度，若V<VB，则 根据 无法判断谁的质量大，谁的质量小，故错误； B．物体在甲杯液体中处于沉底状态，所以的重力大于浮力，物体B 在乙杯液体中处于漂浮状态，B 的重力 等于浮力，若m<mB，根据 可知，的重力小于B 的重力，则的浮力一定小于B 的浮力，即F<FB，故 B 正确； ．甲、乙两个相同的烧杯中装有密度相同的液体，两杯中的液体液面高度均为，根据 可知液体对 容器底压强相等，相同的烧杯底面积相同，根据 可知，液体对容器底压力相等，故错误； D．物体在甲杯液体中处于沉底状态，所以的重力大于浮力，甲杯对桌面的压力等于烧杯重力，液体对烧 杯底的压力和物体对烧杯底的压力之和，物体B 在乙杯液体中处于漂浮状态，乙杯对桌面的压力等于烧杯 重力，液体对烧杯底的压力之和，因两烧杯相同，由选项可知，液体对容器底压力相同，故甲杯对桌面的 压力大于乙杯对桌面的压力，根据 可知，甲杯对桌面的压强大于乙杯对桌面的压强，故D 错误。 故选B。 【变式1-2】（多选）（2024·天津静海·模拟预测）如图甲所示，底面积为S0的柱形容器内盛有密度为ρ0的 液体，木块用轻质细线固定在容器底部且浸没，此时细线对木块的拉力为T。将细线剪断，木块最终漂浮 且露出水面的体积为 ，如图乙。下列说法正确的是（ ） ．木块的体积为 （北京）股份有限公司 B．木块所受的重力为 ．乙图中容器对桌面的压力小于甲图 D．甲、乙两图中，甲中液体对容器底部的压强大于乙 【答】BD 【详解】．甲图中，由木块的受力分析可知 … … ① 图乙中，木块漂浮，浮力大小和重力大小相等，即 … … ② 由 可得 ①② 故正确； B．图乙中，木块漂浮，重力大小和浮力大小相等，即 故B 正确； ．两图中容器对桌面的压力均为 所以，乙图中容器对桌面的压力等于甲图，故错误； D．甲、乙两图中，液体的密度相同，由 可知，甲图中液体的深度更大，所以甲中液体对容器底部 的压强大于乙，故D 正确。 故选BD。 【变式1-3】（2024·山东聊城·一模）如图甲所示，将边长都为 的正方体物块和B 用细线（质量忽略 不计）连接在一起，放在水中，和B 恰好悬浮在水中某一位置，此时容器中水的深度为 ，B 下表面距 容器底 。当把细线轻轻剪断后，物块上升，物块B 下沉，最后漂浮在水面上静止，且露出水面的体积 是它自身体积的 ，B 沉到容器底后静止（物块B 与容器底不会紧密接触），如图乙所示。（和B 都不吸 水， 取 ）求： （1）甲图中物块B 下表面受到水的压强； （2）物块的重力； （北京）股份有限公司 （3）图乙中物块B 对容器底部的压强。 【答】（1） ；（2） ；（3） 【详解】解：（1）甲图中物块B 下表面水的深度 物块B 下表面受到水的压强 （2）的体积 乙图中物体漂浮在水面上，由漂浮条件得到 露出水面的体积是它白身体积的 ，故排开水的体积为它自身的 ，则结合阿基米德原理可得的重力 （3）甲图中、B 看成整体，处于悬浮状态，则 ， 解得 ， 图乙中物块B 对容器底部的压力 图乙中物块B 对容器底部的压强 答：（1）甲图中物块B 下表面受到水的压强是 ； （2）物块的重力是 ； （3）图乙中物块B 对容器底部的压强是 ； （北京）股份有限公司 『模型解读』在液体中注入液体的过程分析（排出液体按照逆过程进行分析） 注液过程 加水至物体刚好漂浮 加水至细线恰好拉直 加水至物体刚好浸没 浸没后继续加水 注入液体的体积 第一次注水体积 △V 1=(S 容−S 物)h浸 第一次注水体积 △V 2=S 容h绳 第一次注水体积 △V 3=(S 容−S 物)△h3 第一次注水体积 △V 4=S 容△h4 浮力 F 浮=G 物=ρ 液gS 物浸 F 浮=ρ 液gV 排=ρ 液gV 物 和F 浮=G 物+F 拉 液体对容器底的压强 P=ρ 液gS，带入当时的液体深度即可 容器对桌面的压力 F 容=G 物+G 水+G 容 『核心提示』 【例2】（2023·湖北襄阳·中考真题）一个小船漂浮在圆柱体水池中（此时为初始状态）。现将体积相等、 质量不同的小球 、B 放入小船，小船仍处于漂浮状态，水面相对于初始状态上升了 （水未溢出）； 再将小球 、B 投入水池中后如图所示，水面相对于初始状态上升了 ；在 、B 球质量差最大时，若只 把质量大的小球放入小船中，水面相对于初始状态上升的高度是 m。 【答】6 【详解】[1]设圆柱体水池底面积为，现将体积相等、质量不同的小球 、 放入小船，小船处于漂浮状 模型02 注液、排液模型 真题·思维剖析 解 （北京）股份有限公司 态，水面相对于初始状态上升了 ， 、 的重力应等于增加的浮力，即 再将小球 、 投入水池中后，水面相对于初始状态上升了 ，因 、 完全浸没在水中，则 、 的 总体积等于排开水的体积，即 、 体积相等，故 、 的平均密度为 要使 、 球质量差最大，假设B 球的质量最小，则B 球的密度应最小，由题意可知，B 球最小密度应等 于水的密度，即 因 解得 若只把质量大的小球放入小船中，即 球放入小船中， 球处于漂浮状态，根据浮沉条件可知 即 ， 解得 因B 球完全浸没在水中 此时 、B 排开水的总体积为 则水面相对于初始状态上升的高度为 水面相对于初始状态上升的高度是6m。 变式演练 （北京）股份有限公司 【变式2-1】（2024·四川成都·一模）如图所示，薄壁圆柱形容器放在水平桌面上，质量 ，高度 ，底面积 。容器内装有06kg 的水，现有均匀实心圆柱体B 和，其中B 的密度为 ，高度为 ，的质量为 ，体积 ，高度为 。已知 ，g=10/kg，忽略实心圆柱体吸水、容器壁厚度、液体附着等次要因素。 （1）求容器对水平桌面的压强； （2）若将圆柱体B 竖直压入容器的底部，再向上提升，直到圆柱体B 的底部距离容器底部为3m，在此过 程中，没有水从容器中溢出，且水对容器底部的压力变化了1，求圆柱体B 的底面积； （3）若把放在B 上，把它们一起缓慢放入容器中，再沿着容器壁缓慢加入05kg 的水，平衡时与B 始终不 倾倒，且接触面水平，求此时液体对容器底部的压力。 【答】（1）900 ；（2） ；（3）175 【详解】解：（1）容器对水平桌面的压强 （2）水对容器底部的压力变化了1，则压强的变化量为 水面高度变化量为 放入B 之前，中水面高度为 （北京）股份有限公司 此时水面高度为007m，圆柱体B 的底部距离容器底部为3m，即003m，则B 在水下的高度为004m，则B 的底面积为 （3）杯中水的重力为 B 的质量 则B 的总质量为 B 的体积为 ， 所以B 在水中漂浮，浮力等于重力，即 力的作用是相互的，水给B 竖直向上的浮力，B 给水竖直向下的压力，所以此时液体对容器底部的压力为 答：（1）容器对水平桌面的压强为900 ； （2）圆柱体B 的底面积为 ； （3）此时液体对容器底部的压力为175。 【变式2-2】（2023·云南保山·二模）小红用传感器设计了如图甲所示的力学装置，竖直细杆B 的下端通过 力传感器固定在柱形容器的底部，它的上端与不吸水的实心正方体固定（不计细杆B 及连接处的质量和体 积），现缓慢地向容器中加水，力传感器的示数大小F 随水深变化的图象如图乙所示（ρ 水 =10×103kg/m3）。求： （1）正方体所受重力大小； （2）当容器内水的深度为13m 时，正方体受到的浮力大小； （3）当容器内水的深度为8m 时，力传感器的示数大小为F，继续向容器中加水，当力传感器的示数大小 变为05F 时，水对容器底部的压强是多少？ （北京）股份有限公司 【答】（1）6；（2）10；（3）850P 或950P 【详解】解：（1）由图乙可知，当0=0 时，力传感器的示数为F2=6，此时正方体没有受到浮力，不计细杆 B 及连接处的质量，则细杆B 对力传感器的压力等于正方体的重力G0=6 （2）由图乙可知，当1=3m 时，物体的下表面恰好与水面接触；当容器内水的深度2=13m 时，已经超过了 F=0 时水的深度，由力的平衡条件可得，此时正方体受到的浮力F 浮=G+F=6+4=10 （3）由图乙可知，当1=3m 时物体的下表面恰好与水面接触，则正方体的边长l=13m-3m=10m 容器内水的深度3=8m 时，正方体浸入水的深度浸2=3-1=8m-3m=5m=005m 排开水的体积V 排′ =L2 浸2=（01m） 2×005m=5×10-4m3 正方体受到的浮力F 浮′ =ρ 水gV 排′ =10×103kg/m3×10/kg×5×10-4m3=5 力传感器的示数F=G-F 浮′ =6-5=1 继续向容器中加水，当力传感器第一次受到的力F′=05F=05×1=05 且水的深度较小时、细杆的向上的作用力处于平衡状态，所以由正方体受到的合力为零可得 F 浮″ =G-F′=6-05=55 由F 浮=ρ 液gV 排=ρ 液gS 浸可得，此时正方体浸入水中的深度 则此时容器内水的深度4=1+浸3=3m+55m=85m=0085m 则此时水对容器底的压强p'=ρ 液g4=10×103kg/m3×10/kg×0085m=850P 继续向容器中加水，当力传感器第二次受到的力F1′=5F=05×1=05 且水的深度较小大时、细杆的向下的作用力处于平衡状态，所以由正方体受到的合力为零可得 F 浮1''=G+F1′=6+05=65 由F 浮=ρ 液gV 排=ρ 液gS 浸可得，此时正方体浸入水中的深度 则此时容器内水的深度5=1+浸3′=3m+65m=95m=0095m （北京）股份有限公司 则此时水对容器底的压强p1'=ρ 液g5=10×103kg/m2×10/kg×0095m=950P 答：（1）正方体所受重力大小为6； （2）当容器内水的深度为13m 时，正方体受到的浮力大小为10； （3）当容器内水的深度为6m 时，力传感器的示数大小为F，当力传感器的示数大小变为5F，压强为 850P 或950P。 【变式2-3】（2024·天津静海·模拟预测）如图所示，小明在实验室整理器材时发现一块长方体物块，经过 测量该物块的高为8，底面积为S 。他根据已经学习过的密度知识测量出此物块的密度为05 ρ0 ，并把它放 在一个水槽中进行如下的操作，请根据要求回答问题（已知水的密度为 ρ0 ）。 （1）没加水时，圆柱体对容器底的压强； （2）向容器内加水，当水加到3 深时，求容器底对圆柱体的支持力大小； （3）继续向容器中加水，当水深为6 时，求圆柱体竖直静止时，圆柱体浸入水中的深度0 。 【答】（1）4ρ0g；（2）ρ0gS；（3）4 【详解】解：（1）由于 所以，没加水时，圆柱体对容器底的压强 （2）物体的重力 假设物体没有浮起，则浸没体积为 物体受到的浮力 所以物体没有浮起，容器底对圆柱体的支持力大小 （3）假设物体没有浮起，则浸没体积为 物体受到的浮力 所以物体漂浮，则受到的浮力等于重力，浮力大小是 解得，圆柱体竖直静止时，圆柱体浸入水中的深度 『模型解读』物体浸入液体的过程分析（出液体按逆过程分析） 图示 受力分析 F 拉=G 物 F 拉+F 浮=G物 F 拉+F 浮=G物 F 支+F 浮=G物 浮力 0 F 浮==ρ 液gS 物浸 F 浮=G 物=ρ 液gV 物 F 浮=G 物=ρ 液gV 物 液面上升的高度 0 △h1=V 排 S 容 = F 浮 ρ液gS 容 △h2= △V 排 S 容 = △V 浸 S 容 液面不再变化 模型03 出液、入液模型 真题·思维剖析 解 （北京）股份有限公司 F 浮=G+F 压=200+300=500 的体积为 的横截面积为 当F 压=0 时，刚好漂浮F 浮′ =G=200 浸入水中的体积为 浸入水中的深度为 此时水的深度=1+浸=01m+08m=09m 水产生的压强为p=ρ 水g 水=10×103kg/m3×10/kg×09m=9000P 答：（1）起重船带着重物一起漂浮在水面上时，排开水的体积是11×104m3； （2）起重机将该重物匀速提升了30m，它的电动机所做的功是75×108，则起重机的机械效率是40%； （3）当力传感器示数为0 时，剩余的水对舱底的压强是9000P。 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）如图所示容器内放有一长方体木块M，上面压有一铁块m，木块浮出 水面的高度为1（图）；用细绳将该铁块系在木块的下面，木块浮出水面的高度为2（图b）；将细绳剪断 后（图），则木块浮出水面的高度3为（ ） ． B． 变式演练 （北京）股份有限公司 ． D． 【答】 【详解】设木块的底面积为S，高为，把木块和铁块看做一个整体，、b 两种情况下都处于漂浮状态，浮力 等于木块和铁块的总重力，所以浮力相同，液体密度相等，则排开液体的体积相等，即V 排=Vb 排，又因为 V 排=S-S1，Vb 排=S-S2+Vm 所以S-S1= S-S2+Vm 所以Vm=S（2-1） ① 由图可知，木块和铁块漂浮时F 浮=G 木+G 铁 所以 ② 将 式带入 式得 ① ② ③ 将细线剪断后，木块漂浮GM=FM 浮，即 所以 ④ 将 式带入 得 ③ ④ 故符合题意，BD 不符合题意。 故选。 【变式3-2】（2024·湖北黄冈·一模）如图所示，水平杠杆M 保持静止，、B 是实心柱形物体，它们受到的 重力分别是G=27，GB=8，B 的底面积SB=20m2，柱形容器中装有水，此时水的深度1=10m，容器的底面积S 容=180m2，B 物体底面离容器底的距离0=4m，已知M：=2：5，ρ 水=10×103kg/m3，g=10/kg，求： （1）水对容器底的压强和水对B 物体的浮力； （2）物体对水平地面的压力； （3）若打开开关K 缓慢放水，试讨论，当放出水的质量为m 时，物体对水平地面的压力是多少？（提示： 在讨论求解的大小时，m 可作为已知量） （北京）股份有限公司 【答】（1）1000P，12；（2）10；（3）见解析 【详解】 解：（1）水对容器底的压强 B 排开水的体积 水对B 物体的浮力 （2）杠杆端绳子的拉力 由杠杆的平衡条件可得 则杠杆M 端绳子的拉力 物体对水平地面的压力 （3） 当容器内水的深度 ① 0=4m 时，流出水的体积 由 可得，流出水的质量 当m≤096kg 时，流出水的体积 ，则水深度的变化量 （北京）股份有限公司 物体B 排开水的体积 物体B 受到的浮力 杠杆端绳子的拉力 由杠杆的平衡条件可得 则杠杆M 端绳子的拉力 物体对水平地面的压力 当m=096kg 时 ②容器内水的总体积 水的总质量 当 时，B 物体露出水面且自身的重力不变，则M 端绳子的拉力不变，对水平地面的压 力7 不变。当 时，物体对水平地面综上可知，当0≤m≤096kg 时，物体对水平地面的压 力 当096kg≤m≤168kg 时，物体对水平地面的压力为7 不变。 答：（1）水对容器底的压强和水对B 物体的浮力为1000P，12； （2）物体对水平地面的压力为10； （3）见解析。 【变式3-3】（2023·重庆·二模）如图所示，水平桌面上放置甲、乙两圆柱形容器，两容器底部用细管相连。 甲容器底面积为 ，水深为20m；乙容器中放有底面积为 的圆柱形木块。现打开阀门K 缓慢 （北京）股份有限公司 向乙容器中注水，水对乙容器底压强 与所注水质量 的关系如图丙所示，木块始终竖直，当注入水的 质量等于05kg 时，木块恰好漂浮。求： （1）打开阀门前甲容器中水的质量； （2）木块恰好漂浮时所受浮力大小； （3）打开阀门，直到水静止时，将木块竖直提升3m，水对乙容器底部的压强。 【答】（1）10kg；（2）10；（3）1275P 【详解】解：（1）水的体积为 水的质量为 （2）由图可知，当注入05kg 的水后，水对容器底部的压强为 ，由 可知，此时水的深度 为 此时木块刚好漂浮，即木块恰好对容器底部无压力，则木块进入水中的高度等于水的深度，故木块排开水 的体积为 木块受到的浮力为 （3）当注入水的质量等于05kg 时，注入水的体积为 （北京）股份有限公司 所以乙容器的底面积为 打开阀门，甲与乙构成连通器，当水不再流动时，两侧水面相平，深度相等，此时容器内水的深度为 将木块竖直提升Δ1= 3m，水面下降的高度为 此时乙容器内水的深度为3=2-Δ2= 1375m- lm= 1275m=01275m 此时水对乙容器底部的压强为p2=ρ 水g3= l0×103kg/ m3×10/kg×01275m=1275P 答：（1）打开阀门前甲容器中水的质量10kg； （2）木块恰好漂浮时所受浮力为10； （3）打开阀门，直到水静止时，将木块竖直提升3m，水对乙容器底部的压强为1275P。 题组1：漂浮、悬浮类 1．（2023·新疆·中考真题）某薄壁玻璃管粗细均匀、一端开口。早晨在室外将该玻璃管开口向下竖直 缓慢插入水中，玻璃管内封闭了一段空气柱，如图所示，放手后玻璃管在某位置保持漂浮状态，玻璃管露 出水面的长度为10