模型21 瓜豆原理之直线型（原卷版）(1)

运动轨迹为直线 问题1：如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时， Q 点轨迹是？ P Q A B C N C B A Q P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所 以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点为定点，点P、Q 为动点，P=Q，且∠PQ 为定值，当点P 在直线 B 上运动，Q 的运动轨迹是？ 解析：当P 与Q 夹角固定，且P=Q 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1 理由：易知△PP1 PP ≌△ 1，则∠PP1=QQ1，故可知Q 点轨迹为一条直线 模型总结 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运 动路径长； 【例1】如图，在平面直角坐标系中，（－3，0），点B 是y 轴正半轴上一动点， 点、D 在x 正半轴上，以B 为边在B 的下方作等边△BP，点B 在y 轴上运动时，求 P 的最小值． 变式训练 【变式1-1】．如图，△PQ 是等腰直角三角形，∠PQ＝90°，当点P 在线段B 上运动时，画 出点Q 的运动轨迹． 【变式1-2】．如图，等边△B 中，B＝B＝＝6，点M 是B 边上的高D 所在直线上的点，以 例题精讲 BM 为边作等边△BM，连接D，则D 的最小值为 ． 【变式1-3】．如图，已知点（﹣3，0），B（0，3），（﹣1，4），动点P 在线段B 上， 点P、、M 按逆时针顺序排列，且∠PM＝90°，P＝MP，当点P 从点运动到点B 时，则 点M 运动的路径长为 ． 【例2】．如图，边长为5 的等边三角形B 中，M 是高所在直线上的一个动点，连接MB， 将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接．则在点M 运动过程中，线段长度的最 小值是（ ） ． B．1 ．2 D． 变式训练 【变式2-1】．如图，等边△B 的边长为4，点D 是边上的一动点，连接BD，以BD 为斜边 向上作等腰Rt△BDE，连接E，则E 的最小值为（ ） ．1 B． ．2 D．2 【变式2-2】．如图，正方形BD 的边长为4，E 为B 上一点，且BE＝1，F 为B 边上的一 个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接G，则G 的最小值为（ ） ．05 B．25 ． D．1 【变式2-3】．如图，等腰Rt△B 中，斜边B 的长为4，为B 的中点，P 为边上的动点， Q⊥P 交B 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点运动到点时，点M 所经过的路线长为 ． 1．如图，长方形BD 中，B＝3，B＝4，E 为B 上一点，且BE＝1，F 为B 边上的一个动点， 连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和G，则G 的最小值为 （ ） ．2 B．1+3 ❑ √2 2 ．2❑ √2 D．5 2 2．如图，已知直线y＝kx+2k 分别交x 轴和y 轴于，B 两点，以B 为边作等边△B（，B，三 点逆时针B 排列），D，E 两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接D，E，则 D+E 的最小值为（ ） ．6 B． ．65 D．7 3．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝8，点D 在B 上，且D＝2，点P 是线段上一个动点， 以PD 为直径作⊙，点Q 为直径PD 上方半圆的中点，连接Q，则Q 的最小值为（ ） ．2 B．2 ．4 D．4 4．如图，∠B＝30°，D＝4，当点在上运动时，作等腰Rt△DE，D＝DE，则，E 两点间距离 的最小值为 ． 5．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝5 ，点P 在线段B 上运动（含B、两点），连接 P，以点为中心，将线段P 逆时针旋转60°到Q，连接DQ，则线段DQ 的最小值为_____ ___ 6．如图，在△B 中，∠B＝90°，点D 在B 边上，B＝5，D＝2，点E 是边所在直线上的一动 点，连接DE，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF 的最小值为 ． 8．如图，已知点是第一象限内横坐标为 的一个定点，⊥x 轴于点M，交直线y＝﹣x 于 点．若点P 是线段上的一个动点，∠PB＝30°，B⊥P，则点P 在线段上运动时，点不变， B 点随之运动．求当点P 从点运动到点时，点B 运动的路径长是 ． 9．如图，菱形BD 的边长为4，∠B＝120°，E 是B 的中点，F 是对角线上的动点，连接 EF，将线段EF 绕点F 按逆时针旋转30°，G 为点E 对应点，连接G，则G 的最小值为 ． 10．如图，已知△B 为直角三角形，∠＝30°，∠B＝90°，B＝4，D 是直线B 上一点．以D 为 斜边作等腰直角三角形DE，求E 的最小值． 11．如图，在等边△B 中，B＝6，BD⊥，垂足为D，点E 为B 边上中点，点F 为直线BD 上 一点．当点M 为BE 中点，点在边上，且 D＝2，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将 线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当P+1 2 MP 最小时，直接写出 △DP 的面积． 12．如图，等边三角形B 的边长为4，点D 是直线B 上一点．将线段D 绕点D 顺时针旋转 60°得到线段DE，连接BE． （1）若点D 在B 边上（不与，B 重合）请依题意补全图并证明D＝BE； （2）连接E，当E 的长最小时，求D 的长． 13．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝，点D 是B 边上一动点，以D 为边向右作等腰 Rt△DE，其中∠DE＝90°，D＝E． （1）在图①中，画出当点D 从点B 运动到点的过程中，点E 的运动轨迹； （2）如图②，若B＝6，点F 为B 的中点，连接EF，求EF 的最小值． 14．如图，矩形BD 中，B＝4，D＝3，点E 在折线BD 上运动，将E 绕点顺时针旋转得到 F，旋转角等于∠B，连接F． （1）当点E 在B 上时，作FM⊥，垂足为M，求证：M＝B； （2）当E＝3 时，求F 的长； （3）连接DF，点E 从点B 运动到点D 的过程中，试探究DF 的最小值． 15．问题提出： （1）如图①，△BE≌△D，请在图中找到一组相似的三角形 ． 问题探究： （2）如图②，点D 为等腰直角三角形B 的直角边B 上的动点，D 绕点D 顺时针旋转 90°得到ED，连接BE，求∠DE 与∠E 的关系． （3）如图③，点D 是等边三角形B 的上的动点．连接DB，将DB 绕点D 逆时针旋转 120°得到DE，连接E，E，若B＝2，直接写出E+E 的最小值． 16．菱形BD 的对角线交于点． （1）如图1，过菱形BD 的顶点作E⊥B 于点E，交B 于点，若∠B＝60°，四边形ED 的 面积为24 ，求菱形BD 的边长； （2）如图2，菱形BD 中，过顶点作F⊥B 于点E，交D 延长线于点F，线段F 交B 于 点，若D＝F，求证：＝ B﹣； （3）如图3，菱形BD 中，∠B＝45°，B＝9，点P 为射线D 上一动点，连接BP，将BP 绕点B 逆时针旋转60°到BQ，连接Q，直接写出线段Q 的最小值． 17．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+的图象与x 轴交于点（﹣1，0）、B（3，0），与y 轴 交于点，连接B，点P 是抛物线上一动点． （1）求二次函数的表达式． （2）当点P 不与点、B 重合时，作直线P，交直线B 于点Q，若△BQ 的面积是△BPQ 面 积的4 倍，求点P 的横坐标． （3）如图②，当点P 在第一象限时，连接P，交线段B 于点M，以M 为斜边向△BM 外 作等腰直角三角形M，连接B，△B 的面积是否变化？如果不变，请求出△B 的面积；如 果变化，请说明理由．