专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598 年 ~ 660 年。他编著了 《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四 边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、 日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的 婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈 多”模型。 .................................................................................................................................................2 模型1“婆罗摩笈多”模型..............................................................................................................................2 .................................................................................................................................................8 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ 模型1“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从 交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BP 和△DP 是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形B 的边B、为边，向三角形外侧外做正方形BDE 和正方形FG，为EG 的中点， M、、三点共线。结论：M⊥B；B=2；S△B=S△EG 。 证明：（倍长中线法）延长到，使=，连接E。 在∆E 和∆G 中，=（已作），∠E=∠G（对顶角），E=G（已知） ∴∆E≌ ∆G(SS)，∴E=G，∠E=∠G。 ∠ ∵ E=∠G∴E//G，∴∠E+∠EG=180°(平行线同旁内角)。 ∠ ∵ G=90°，∠EB=90°，∴∠EG+∠B=180°，∴∠E=∠B。 ∵E=G，又∵G=，∴E=。 在∆E 和∆B 中：E=B，∠E=∠B，E=，∴∆E ≌ ∆B(SS)。 ∴=B，∠E=∠B，∵∆B ≌ ∆E， ∴S∆E = S∆B。 ∵∆E≌ ∆G， ∴S∆E= S∆G，∴S∆B=S∆E =S∆E +S∆E=S∆E+S∆G=S△EG。 ∵=，∴B=2 ，∵∠B=∠EB+∠E。 又∵∠B=∠BM+∠MB（三角形外角性质），∴∠EB+∠E=∠BM+∠MB。 ∠ ∵ E=∠B（∠B 即∠BM），∴∠EB+∠BM=∠BM+∠MB。 ∠ ∴ EB=∠MB，∴∠MB=90°，即M⊥B。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆B 的边B、为边，向三角形外侧外做正方形BDE 和正方形FG，M⊥B。 结论：为EG 的中点；B=2 ；S△B=S△EG。 证明：（法1:平行线法）作E//G，交的延长线于，∵E//G，∴∠E+∠EG=180°， ∠ ∵ EB 和∠G 为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EG+∠B=180°， ∠ ∴ E=∠B，∵E//G，∴∠E=∠G， ∠ ∵ G+∠M =90°，∵M⊥B，∴∠M+∠M=90°，∴∠M=∠G，∴∠M=∠E， 在∆B 和∆E 中，∠B=∠E，∠B=∠E，B=E，∴∆B ≌ ∆E(S) ， ∴=B，∴E=，∵=G，∴E=G，∵E//G，∴∠E=∠G， 在∆E 和∆G 中，∠E=∠G，E=G，∠E=G，∴∆E≌ ∆G (S)， ∴E=G，即为EG 的中点，∴=，∴B==2， ∵∆B ≌ ∆E，∴S∆E = S∆B，∵∆E≌ ∆G， ∴S∆E= S∆G， ∴S∆B=S∆E =S∆E +S∆E=S∆E+S∆G=S△EG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥，交的延长线于X，作GY⊥，将于Y。 ∵M⊥B，∴∠BM+∠BM=90°，∵∠EB=90°，∴∠E+∠BM=90°，∴∠BM=∠E 在Rt∆BM 和Rt∆EX 中，∵∠BM=∠E，∴∠EX=∠BM； 在Rt∆BM 和Rt∆EX 中，∠BM=∠EX，B=E，∠BM=∠EX； ∴Rt∆BM ≌Rt∆EX （S），∴M=EX，同理可证：∴Rt∆YG ≌Rt∆M （S），∴GY=M； ∵M=EX，∴GY=EX，在Rt∆EX 和Rt∆GY 中，∠EX=∠GY，∠EX=∠GY，EX =GY； ∴Rt∆EX ≌ Rt∆GY（S），∴E=G，即为EG 的中点； ∵Rt∆BM ≌Rt∆EX ，∴S∆BM =S∆EX，BM=X，∵Rt∆YG ≌Rt∆M，∴S∆YG =S∆M，M=Y； ∵Rt∆EX ≌ Rt∆GY，∴S∆EX = S∆GY，X=Y； ∴S△B=S∆BM+S∆M =S∆EX+S∆YG=S∆E +S∆EX+S∆G-S∆GY=S∆EG； ∴B=BM+M=X+Y=+X+-Y=2。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（24-25 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点 的坐标为 ，点 为 轴的负半轴上的一个动 点，分别以 ， 为直角边在第三、第四象限作等腰 、等腰 ，连接 交 轴于 点， 当点 在 轴上移动时，则 的长度为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 例2．（2024·重庆渝中·二模）如图，以 的边 、 为边向外作正方形 和正方形 ， 连接 、 相交于点 ，连接 、 ，取 中点 ，连接 并延长交 于点 ．下列结论： ① ；② ；③ 平分 ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有 （填写编号）． 例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别 在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ． (1)求证： ， ；(2)将 绕点 顺时针旋转到图2 的位置． ①请直接写出 与 的位置关系：___________________；②求证： ． 例4．（23-24 八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，M⊥PQ 于，△B 是等腰直角三角形， ，等腰直角△B 的顶点、B 分别在射线M，射线Q 上滑动（顶点、B 与点不重合）在滑动过程 中，点到直线M 的距离 （填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△EF 中， ，且△EF 的顶点、F 也分别在射线M、 射线P 上滑动（顶点、F 与点不重合），连接E 交M 于点D，试探究D 与ED 的数量关系，并证明你的结 论． （3）如图2， ， ，在△EF 和△B 保持原来滑动状态的过程中，△E 的面积是否有最大 值？若有，请求出△E 的最大面积并求此时BF 的长度；若△E 的面积没有最大值，请说明理由． 例5．（2024·湖北·二模）【特例发现】如图1，在△B 中，G⊥B 于点G，以为直角顶点，分别以B，为直 角边，向△B 外作等腰Rt△BE 和等腰Rt△F，过点E、F 作射线G 的垂线，垂足分别为P、Q．求证： EP=FQ． 【延伸拓展】如图2，在△B 中，G⊥B 于点G，以为直角顶点，分别以B，为直角边，向△B 外作Rt△BE 和 Rt△F，射线G 交EF 于点．若B=kE，=kF，请思考E 与F 之间的数量关系，并直接写出你的结论． 【深入探究】如图3，在△B 中，G 是B 边上任意一点，以为顶点，向△B 外作任意△BE 和△F，射线G 交EF 于点．若∠EB=∠GB，∠F=∠G，B=kE，=kF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论． 【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠分别与△EF 的两边E、F 分别交于点M、，若△B 为腰 长等于4 的等腰三角形，其中∠B=120°，且∠=∠GB=θ=60°，k=2； 求证：当∠在旋转过程中，△EM、△M 和△F 均相似，并直接写出线段M 的最小值（请在答题卡的备用图中 补全作图）． 例6．（23-24 九年级上·福建厦门·期中）定义：如图13，在 中，把 绕点顺时针旋转 （ ）得到 ，把 绕点逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点叫做 “旋补中心”． (1)在图1 中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，若 为等边三角形， 则 与 的数量关系为： ______ ． (2) 在图2 中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明． (3)如图3，在四边形 中， ， ， ， ， ．若四边形内部恰好 存在一点P，使 是 的“旋补三角形”，请直接写出 的“旋补中线”长是____________． 1．（23-24 九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7 世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互 相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在 中，四边形 是“婆 氏四边形”，对角线 相交于点E，过点E 作 于点，延长 交 于点F，则 的值为 （ ） ． B． ． D． 2．（23-24 九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7 世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相 垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形 是 的内接 四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若 ，则 的半径为 ． 3．（23-24 八年级·江苏·假期作业）如图，以 的边 ， 为腰分别向外作等腰直角 、 ，连接 ， ， ，过点的直线分别交线段 ， 于点 ， ，以下说法：①当 时， ；② ；③当直线 时，点 为线段 的中点．正确的有 ． （填序号） 4．（2024·湖北黄石·模拟预测）如图，以△B 的边、B 为边向外作正方形DE 和正方形BGF，连接G、BD 相交于点，连接、DG，取B 中点M，连接M 并延长交DG 于点．下列结论：①G＝BD；②M⊥DG；③平 分∠DG；④S△B＝S△DG；⑤∠＝45°．其中正确的结论有 （填写编号）． 5．（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理：如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为M，如果直线 ，垂 足为E，并且交边AD于点F，那么 ． 证明：∵ ， ，∴ ， ．∴ ． 又∵ ① ，（同弧所对的圆周角相等） ，∴ ．∴ ② ．… 任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知 中， ， ， 分别交 于点D，E，连接 交 于点P．过点P 作 ，分别交 于点M，．若 ，求 的长． 6．（2024·湖北·一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作 关于点 中心对称的图形，其中点 的对应 点是点 ．请你帮助小明完成画图和后面的解答． 尝试运用：如图（2）， 是 的中线， ， ， ，试判断线段 与 的关系，并加以证明． 迁移拓展：如图（3）， 是 的中线， ， ，直接用含 的代数式 写出 与 之间的面积关系． 7．（2023 福建·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长 线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥B 于点E，并延长EP 与D 交于点F，不写作 法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程． 8．（23-24 九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brmgup1）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规 则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了 “婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ，点 为 的 中点，连结 并延长，交 于点 ，则 ． 证明： ， ， ， （依据）， ，… (1)上述证明过程中的依据是指______．(2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形 内接于 ， ，点 是弧 的中点， ，请直接写出线段 的长度． 9．（23-24 九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brmgupt）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算 法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆 罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形 内接于 ，对角线 ， ， 相交于点M，如果 直线 ，垂足为E，并且交边 于点F，那么 ． 证明： ， ， ． ． 又 _______， ， ．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 10．（2024·江西·模拟预测）婆罗摩芨多是公元7 世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和 负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线 互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形BD 是“婆氏四边形”，则四边形BD 是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形． (2)如图1，四边形BD 为 的内接四边形，连接，BD，，B，，D，已知 ．求证： 四边形BD 是“婆氏四边形”． (3)如图2，在 中， ，以B 为弦的 交于点D，交B 于点E，连接DE，E，BD， ， ，若四边形BED 是“婆氏四边形”，求DE 的长． 11．（23-24 九年级上·河南新乡·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图1，在 B 中，∠B＝90°， ＝k，直线l 经过点，BD⊥直线，E 上直线l，垂足分别为D、E． 求证： ＝k． （2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下 修改：在 B 中， ＝k，D、、E 三点都在直线l 上，并且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，其中α 为任意锐角或钝 角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 B 中，沿 B 的边B、向外作矩形BDE 和矩形FG， ＝ ＝ ，是B 边上的高，延长交EG 于点．①求证：是EG 的中点．②直接写出线段B 与之间的数量关系： ． 12．（23-24 八年级下·江苏镇江·期中）【方法回顾】如图1，在 中，D，E 分别是边 的中点， 小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 到点F，使 ，连接 ，证明 ，再证四边形 是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明 的依据是（ ） ． B． ． D． ②证明四边形 是平行四边形的依据是______； 【类比迁移】（2）如图2， 是 的中线， 交 于点E，交 于点F，且 ，求证： ．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长 至点G，使 ，连接 ，…请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】（3）如图3，四边形 与四边形 均为正方形，连接 、 ，点P 是 的中点， 连接 ．请判断线段 与 的数量关系及位置关系，并说明理由： （4）如图4，四边形 是一片草坪， 、 是等腰直角三角形， ， 为锐角，已知 m， 的面积为 ．计划修建一条经过点的笔直小路 ，其中点 G 在 边上， 的延长线经过 中点F．若小路每米造价500 元，则修建小路的总造价为______元． 13．（2024·重庆·校考一模）我们定义：如图1，在△B 中，把B 绕点顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到 B'，把绕点逆时针旋转β 得到′，连接B''，当+β＝180°时，我们称△B''是△B 的“旋补三角形”，△B'边B''上 的中线D 叫做△B 的“旋补中线”． (1)[特例感知]在图2，图3 中，△B'′是△B 的“旋补三角形”，D 是△B 的“旋补中线”． ①如图2，当△B 为等边三角形，且B＝6 时，则D 长为 ． ②如图3，当∠B＝90°，且B＝7 时，则D 长为 ． (2)[猜想论证]在图1 中，当△B 为任意三角形时，猜想D 与B 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到 证明思路，可以考虑延长D 或延长B'，…） (3)[拓展应用]如图4，在四边形BD 中，∠BD＝150°，B＝12，D＝6，以D 为边在四边形BD 内部作等边 △PD，连接P，BP．若△PD 是△PB 的“旋补三角形”，请直接写出△PB 的“旋补中线”长及四边形BD 的 边D 长． 14．（2024·广东·校考一模）情境观察：将矩形BD 纸片沿对角线剪开，得到△B 和△′′D，如图1 所示将△′′D 的顶点′与点重合，并绕点按逆时针方向旋转，使点D、(′)、B 在同一条直线上，如图2 所示．观察图2 可 知：与B 相等的线段是 ▲ ，∠′= ▲ °． 问题探究：如图3，△B 中，G⊥B 于点G，以为直角顶点，分别以B、为直角边，向△B 外作等腰Rt△BE 和 等腰Rt△F，过点E、F 作射线G 的垂线，垂足分别为P、Q 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你 的结论 拓展延伸：如图4，△B 中，G⊥B 于点G，分别以B、为一边向△B 外作矩形BME 和矩形F，射线G 交EF 于点 若B= k E，= k F，试探究E 与F 之间的数量关系，并说明理由