模型20 轴对称——婆罗摩笈多模型-解析版

轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型 一、垂直 中点 【结论1】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，M 经过点B， 若M⊥E，则①点是D 的中点，②SΔCBE＝SΔ ABD，③E＝2B 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过作P⊥M，垂足为P，过D 作DQ⊥M 交M 的延长线于Q， 易证：△BP △BM,P ≌ ＝BM,△DQB △BME,DQ ≌ ＝BM P ∴＝DQ 易证：△P △DQ ≌ ∴＝D ②如图，由①知，SΔCBM ＝S ΔBAP ，S Δ EBM ＝SΔBDQ，S Δ APN ＝SΔ DQN S ∴ Δ ABD＝S Δ ABN ＋S Δ DBN ＝S ΔBAP＋S Δ APN ＋SΔBDQ－SΔ DQN ＝SΔBAP＋SΔBDQ＝SΔCBM ＋SΔ EBM ＝SΔCBE,即SΔCBE＝SΔ ABD，得证 ③如图，由①得，P＝Q， E ∴＝M＋EM＝BP＋BQ＝B－P＋B＋Q＝2B，得证 二、中点 垂直 【结论2】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，点P 是E 的中点，PB 的延长线交 D 于点Q，则①PQ⊥D，②SΔCBE＝SΔ ABD, D=2BP ③ 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BP 至点M，使PM＝BP，连结ME， 易证：△PB PME ≌ B ∴＝ME，B∥ME B ∵＝ B ∴＝EM， B∥ME ∵ ， ∠BE ∴ ＋∠BEM＝180°， 又∵∠B＝∠DBE＝90° ∠BE ∴ ＋∠BD＝180°， ∠BD ∴ ＝∠MEB， 易证：△BD △MEB ≌ ， ∠2 ∴ ＝∠1， ∠1 ∵ ＋∠3＝90° ∠2 ∴ ＋∠3＝90° ∠DQP ∴ ＝90° ②如图，由①知SΔCBE＝SΔCBP＋SΔ EBP＝SΔ EMP＋SΔ EBP＝SΔ MEB＝SΔ ABD,得证 ③如图，由①知D＝MB＝2BP，得证。 婆罗摩笈多定理： 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有 另一个名称，叫做“布拉美古塔定理 ” （又译《卜拉美古塔定理”）。 拓展1：如图，△B 和△D 是等腰直角三角形，M 过点， ⑴若M⊥D，则点M 是B 的中点，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M ⑵若M 是B 的中点，则①M⊥D，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M 拓展2：如图，△B 和△D 是等腰三角形，∠B＋∠D=180º，M 过点在D 延长线上 ⑴若∠M＝∠B，则M 是B 的中点，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M ⑵若M 是B 的中点，则②∠M＝∠B，②SΔ AOD＝SΔBOC，③D＝2M 拓展3：如图，△B △D ≌ 且∠B＝∠D=180º，M 过点 ⑴若M 是B 的中点，则①D＝2M，②SΔ AOD＝SΔBOC ⑵若是D 的中点，则①B＝2，②SΔ AOD＝SΔBOC 拓展4：如图，在△B、△D 中， AO BO = CO DO ，且∠B＋∠D=180º，则SΔ AOD＝SΔBOC 1．（江西省南昌市第十九中学2019-2020 学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，B＝E，B E ⊥，D＝， D⊥，点M 为B 的中点， 求证：DE＝2M 【答】见解析 【分析】延长M 至，使M=M，证△M MB ≌△ ，推出=B=D，求出∠ED= B ∠，证△ED B ≌△ 即可． 【详解】延长M 至，使M＝M，连接B， ∵点M 为B 的中点， M=BM ∴ ， 在△M 和△MB 中 M MB ∴△ ≌△ （SS）， =B ∴ ，∠= BM ∠ ， B E ∵⊥，D⊥， EB= D=90° ∴∠ ∠ ， ED+ B=180° ∴∠ ∠ ， B= B+ =180 ∴∠ ∠ ∠ ゜- B= ED ∠ ∠ ， 在△ED 和△B 中 ∵ ， B ED ∴△≌△ （SS）， DE==2M ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长M 至， 使M=M，再只证=DE 即可，这就是“中线倍长”，实质是“补短法”． 1．（河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020 学年八年级上学期期末数学试题）阅读情境：在综合实践课上， 同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题” 如图1， ，其中 ， ，此时，点 与点 重合， 操作探究1:（1）小凡将图1 中的两个全等的 和 按图2 方式摆放，点 落在 上， 所在直线交 所在直线于点 ，连结 ，求证： ． 操作探究2:（2）小彬将图1 中的 绕点 按逆时针方向旋转角度 ，然后，分别延长 ， ， 它们相交于点 ．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ① 时，求证： 为等边三角形； ②当 __________时， ．（直接回答即可） 操作探究3:（3）小颖将图1 中的 绕点 按顺时针方向旋转角度 ，线段 和 相交于点 ， 在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当 时，直接写出线段 的长为_________． ②如图5，当旋转到点 是边 的中点时，直接写出线段 的长为____________． 【答】（1）见解析；（2）①见解析；② ；（3）① ；② 【分析】（1）证明Rt MB Rt MD △ ≌ △ 即可解决问题． （2）①证明∠FE= FE=60° ∠ 即可解决问题． ②根据平行线的判定定理即可解决问题． （3）①连接E，证明△E 是等边三角形，利用勾股定理求出E 即可解决问题． ②如图5 中，连接F，BD 交于点．首先证明E=BD，再证明B=D，利用面积法求出B 即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图2， ， ， ， ， ． （2）①证明：如图3 中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ②解：当 时， ．理由如下： ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 当 时， ． 故答为 ． （3）①解：如图4 中，连接 , ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答为 ． ②解：如图5 中，连接 ， 交于点 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 垂直平分线段 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答为 ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边 三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022 学年九年级下学期5 月月考数学试题）已知 ， ， ，点 线段 中点，连接 ． 为平面内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，线段 与线段 交于点 ，若 ， ，求 的面积； (2)如图2，若点 在 的内部连接 、 ，线段 交线段 于点 ，当 时， 求证： ； (3)如图3，过 作 的平行线，交直线 于点 ．连接 ．将 沿 翻折得到 ，当线段 最短时，直接写出此时 的值． 【答】(1) ． (2)证明见详解． (3) ． 【分析】（1）过D 作 交 于，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半、直角三角形 角所对直角边 等于斜边一半及等腰直角三角形关系结合勾股定理即可求出三角形的底和高，即可得到答； （2）延长 交 于K，过作 交 于G，根据等腰直角三角形两个 及直角得到角度的等量关系， 再根据两次三角形全等即可得到线段相等； （3）根据等腰直角三角形及线平行得到角度数，再根据对角互补的四边形与圆内接四边形关系等到点M 在圆上， 根据圆外一点与圆的距离关系找到最小点，根据对称找到相等从而得到三角形相似得出线段与半径的关系，最后 根据勾股定理求出平方值即可得到比值． 【详解】（1）解：如图所示过D 作 交 于点， ∵ ， ，点 线段 中点， ， ∴ ， , , ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ , ∴ 在 中根据勾股定理可得， ， ， ∴ , , ∵线段 是线段 绕点 逆时针旋转 得到， ∴ ， , 在 中， ∵ , ， ∴ ， ， 在 中根据勾股定理可得， ∴解得 ∴ ∴ 的面积为： ． （2）证明：延长 交 于K，过作 交 于G， ∵ ， ，点 线段 中点， ∴ ， ， ， ∵线段 是线段 绕点 逆时针旋转 得到， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． （3）解：过D 作 ， ∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ∥ ， ∴ ， ∵ ， ，点 线段 中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴、M、D、四点在⊙上， 连接 与圆相交时 最短如图所示， 沿 翻折得到 ，根据对称性可得 在圆上，连接 ， 设圆的半径为r，则 ， ∴ ， 连接 交 于点， ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ， ， ， ， 在 中， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中根据勾股定理可得， ， ∵ ， 在 中根据勾股定理可得， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、圆的有关计算、等腰三角形有关计算、旋转的性质及勾股定理，解 题的难点主要是根据性质作出相应辅助线，巧妙灵活的运用知识点进行计算，第三问中最难点是找到最短距离点． 1．（2021 年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试题）我们定义：如图1，在△B 中，把B 绕点顺时针旋转 α（0°＜α＜180°）得到B'，把绕点逆时针旋转β 得到′，连接B''，当+β＝180°时，我们称△B''是△B 的“旋补三角 形”，△B'边B''上的中线D 叫做△B 的“旋补中线”． (1)[特例感知]在图2，图3 中，△B'′是△B 的“旋补三角形”，D 是△B 的“旋补中线”． ①如图2，当△B 为等边三角形，且B＝6 时，则D 长为 ． ②如图3，当∠B＝90°，且B＝7 时，则D 长为 ． (2)[猜想论证]在图1 中，当△B 为任意三角形时，猜想D 与B 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思 路，可以考虑延长D 或延长B'，…） (3)[拓展应用]如图4，在四边形BD 中，∠BD＝150°，B＝12，D＝6，以D 为边在四边形BD 内部作等边△PD，连接 P，BP．若△PD 是△PB 的“旋补三角形”，请直接写出△PB 的“旋补中线”长及四边形BD 的边D 长． 【答】(1)①；② (2)D＝ B，证明见解析 (3)旋补中线长为 ， 【分析】（1）①首先证明 是含有 是直角三角形，可得 即可解决问题． ②首先证明 ，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题． （2）结论： ．如图1 中，延长D 到M，使得 ，连接 ，首先证明四边形 是 平行四边形，再证明 ，即可解决问题． （3）如图4 中，过点P 作 于，取B 的中点，连接P．解直角三角形求出B，P，利用（2）中结论解决问 题即可． (1) 解：①如图2 中， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：3． ②如图3 中， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． (2) 结论：D＝ B． 理由：如图1 中，延长D 到M，使得D＝DM，连接B′M，′M ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． (3) 如图4 中，过点P 作P⊥B 于，取B 的中点，连接P． ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵∠BD＝150°， ∴∠PB＝90°， ∵ 是 的“旋补三角形”， ∴ ， ∵P⊥B， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的“旋补中线”长 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 也是 的“旋补三角形”， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30 度角性质、等边三角形 的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（2020 年湖北省随州市曾都区九年级升学适应性考试数学试题）我们定义：如图1，在 中，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们 称 是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”． 【特例感知】 （1）在图2，图3 中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”． ①如图2，当 为等边三角形，且 时，则 长为 ． ②如图3，当 ，且 时，则 长为 ． 【猜想论证】 （2）在图1 中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路， 可以考虑延长 或延长 ，……） 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形 中， ， ， ，以 为边在四边形 内部作等边 ，连接 ， ．若 是 的“旋补三角形”，请直接写出 的“旋补中线”长及四边形 的边 长． 【答】（1）①，② ；（2） ，见解析；（3） ， 【分析】（1）①由旋补三角形的概念可证明△DB′是含有30°是直角三角形，可得D= B 即可解决问题； ②首先证明△B B′′ ≌△ ，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：D= B．如图1 中，延长D 到Q，使得D=DQ，连接B′Q，′Q，首先证明四边形′QB′是平行四边形， 再证明△B B′Q ≌△ ，即可解决问题； （3）由 ， 是等边三角形可得 ，由旋补三角形的概念可得 ，PB=P，进 而求出PB 的长，再根据勾股定理就可求出B 的长，由（2）的结论即可求出旋补中线PE 的长和D 的长． 【详解】解：（1）①∵ 是 的“旋补三角形”， ∴ ， ， , ∵ 为等边三角形，且 ， ∴ ， ， ∴ 是等腰三角形， ， D ∴⊥ ， ， D=3 ∴ ， ②∵ 是 的“旋补三角形”， ∴ ， ， , ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， D ∵ 为中线， ∴ ； （2)猜想： 如图，延长 至Q，使 ． ∵ 是 的“旋补中线”， ． 四边形 是平行四边形， ， ． 由定义可知 ， ， ， ， ， ． ∵ ， ； （3）过点P 作PE B ⊥，取D 的中点F，连接PF，延长DP，过点作M DM ⊥ ，如图， ∵ ，△PD 是等边三角形， ∴ ， D=6 ∵ ， P=D=PD=6 ∴ ， ∵ 是 的“旋补三角形”， ∴ ，PB=P， ， ∴△PB 是等腰三角形， ， PE B ∵ ⊥， EB=E ∴ B=12 ∵ ， BE=6 ∴ ， ， 在△PB 中，由勾股定理得， ， 由（2）可知， ， ∴ ， ∵ ， ∴ , ∵ , ∴ ， ∴ ， ， MD=12 ∴ ， 在△MD 中，由勾股定理得， ∴ ． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30 度角性质、 等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题．