高考数学答题技巧题型14 4类解三角形大题综合（双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图形类解三角形综合）（原卷版）Word（11页）

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； (2)若 ，求 ． 2．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， ，点D 是边BC 上的一点，且 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 ． 3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ， 且满足 . (1)求角 的大小； (2)若 为边 的中点，且 ，求 的面积. 技法02 周长及面积类最值问题 例2-1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、分别为 的三个内角 、 、 的对边长， ，且 ． (1)求角 的值； (2)求 面积的取值范围． （1） ． 周长及面积类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常 考考点，需强加练习 （2）由正弦定理，可知 ， ， ∵ ，∴ ，∴ . 例2-2．（2023·云南·校联考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求 周长的取值范围. （1）以 . （2）由（1）知 ，又 ， 由正弦定理得 ， 则 ， ， 1．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，，已知 ． (1)求 的取值范围； (2)若 是 边上的一点，且 ， ，求 面积的最大值． 2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ，， 若满足 ． (1)求角 的大小； (2)若 ，求 面积的取值范围． 3．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，若 . (1)求 ； (2)若 ，求 周长的取值范围. 技法03 边长和差、积商类最值问题 例3-1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 且 ． (1)求角C； (2)设BC 的中点为D，且 ，求 的取值范围． 【详解】（1） 中， ，由正弦定理得 ． 边长和差、积商类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中 的常考考点，需强加练习 所以 ， 即 ， 所以 ； 又 ，则 ，所以 ， 则有 ，又因为 ，则 ，即 ； （2）设 ，则 中，由 可知 ， 由正弦定理及 可得 ， 所以 ， ， 所以 ， 由 可知， ， ， 所以 ． 即 的取值范围 . 例3-2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已 知 ． (1)求A 的值； (2)若 是锐角三角形，求 的取值范围． 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 或 （舍去）． 所以 ，结合 ，得 ． （2）由（1）得: ． 因为 是锐角三角形，所以B，C 均为锐角， 即 ， ，所以 ， 所以 ， ， 所以 的取值范围是 ． 1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD 中， ， ， ， ． (1)若 ，求 ； (2)求 的取值范围． 2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知 ， ，其中 ，函数 的最小正周期为 . (1)求函数 的单调递增区间； (2)在锐角 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足 ，求 的取值范围. 3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， 的平分线 BD 交AC 于点 ． (1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求 的大小． ① ；② ；③ ． (2)若 ，求 的取值范围． 技法04 图形类解三角形综合 例4．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）如图，在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， ，角C 的平分线交AB 于点D，且 ， . (1)求 的大小； (2)求 . 【详解】（1）由正弦定理 得 ， 即 ， 因为 ， 图形类解三角形综合是通过在图形中寻找正余弦定理来求解，此类题型难度中等，是高考中的常考考点， 需强加练习 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 . （2）已知角C 的平分线交AB 于点D，且 ， . 在 中，由正弦定理得 , 在 中，由正弦定理得 , 因为 ， ，所以 ， 所以 . 设 ，由余弦定理得 ， 即 ， 解得 ， 因为 ， 所以 , 解得 . 1．（2023·山东潍坊·统考二模）在四边形 中， ， ， ，为 的面 积，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求四边形 的周长. 2．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，过点 作 ，交线段 于点 ，且 ， ， . (1)求 ； (2)求 的面积. 3．（2023·山东淄博·统考二模）如图所示， 为平面四边形 的对角线，设 ， 为等边三角形，记 . (1)当 时，求 的值； (2)设为四边形 的面积，用含有 的关系式表示，并求的最大值.