专题18.12 平行四边形全章十六类必考压轴题（原卷版）

专题1812 平行四边形全章十六类必考压轴题 【人版】 1．（2022 秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形ABCD，AD=8， ∠BAD=135°，点E在边BC上，将平行四边形沿AE翻折，使点B落在边CD的F处，且 满足CF−DF=3 ❑ √2，则EF=¿______． 2．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，已知▱ABCD中，AF垂直平分DC， 且AF=DC，点E 为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，则AD 的长为______． 3．（2022 秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12， D 是B 边上任意一点，连接D，以D，D 为邻边作平行四边形DE，连接DE，则DE 长的最 小值为___________． 4．（2022 春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠D<90°，点E在AD 边上，CM ⊥AD，垂足为M，以CE为边，E为直角顶点，作等腰直角△CEF，使点F落 在射线AB上． (1)当△CED是边长为6 的等边三角形时，∠AFE的度数为_______，AD的长为_______； 平行四边形中边的关系运用 必考点1 1 (2)当AE=ED时，求∠ECD的度数； (3)是否存在AF=BF的情况，如果存在，求AE，ED和CM之间满足的数量关系；如果不 存在，说明理由． 5．（2022 春·广东清远·八年级统考期末）在平形四边形ABCD中，点O是对角线BD的中 点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、 H、P如图2． ①当CD=6，CE=4时，求BE的长； ②求证：CD=CH． 6．（2022 秋·湖北·九年级统考期中）如图，点P 是▱ABCD内一点， ∠BPC=90°，∠BAD−∠PCD=45° (1)如图1，求证：PB=PC； (2)如图2，若 AB=8，PC=5 ❑ √2，且 S△ABP：S△PCD=1：3，求▱ABCD的面积； (3)如图3，将△PBA绕点P 旋转至△PCE处，过D 作DF ⊥EP，交EP延长线于F，若 AB=❑ √6 AP，∠PAB=75°，直接写出PF PD 的值为 ． 1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，点E、F、G、分别在▱ABCD的AD、AB、BC、 CD边上，EG∥CD，FH ∥AD，EG与FH交于点P，连接BD交FH于点Q，连接BP， 平行四边形中的面积转换 必考点2 1 设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，若 ▱AEPF ∽▱PHCG，则只需知道（ ），就能求△BPQ的面积． ．S2−S1 B．S3−S1 ．S4−S1 D．S4−S3 2．（2022 秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平行四边形FBCE中，点J ，G分别在 边BC ，EF上，JG∥BF，四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能 求出△BIJ面积的条件（ ） ．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之 差 ．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之 差 3．（2022 春·浙江·八年级阶段练习）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、 PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论中正确的是____________． ①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，则S3>S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④如果P 点在 对角线BD上，则S1:S4=S2:S3；⑤S1−S2=S3−S4，则P 点一定在对角线BD上． 1 4．（2022 秋·上海·七年级校考期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形 是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画 出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行 四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好 重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对 称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题： (1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC 、BD相交于点O．过点O的直线l与 边AB 、CD分别相交于点M 、N，四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之 比为___________； (2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上， 且B 、C 、G在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母 并写出结论）； ②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB 、EK 、BK， 如图③所示，当四边形AHED的面积为10，四边形CEFG的面积为2 时，求三角形EBK 的面积． 5．（2022 秋·吉林长春·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角 形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等． 例如：如图1，在△ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友 三角形”，则有S△ACD=S△ABD． 应用：如图2，在矩形BD 中，点E 在D 上，点F 在B 上，E=BF，F 与BE 交于点． 1 (1)求证：△AOE和△AOB是“朋友三角形”． (2)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，点 G在BC上，点E在AD上，DG与CE交于点F，GF=DF． ①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”； ②连接AF，若△AEF和△≝¿是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积． (3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD 是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A 'CD，若△A 'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的1 4 ，则△ABC的面积是________（请直接写出答）． 6．（2022 秋·重庆大足·九年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC 、△EDC 的顶点C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF , DF． (1)如图1，当B 、C 、D三个点共线时，请猜测线段BF 、FD的数量关系，并证明； (2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2 位置，根据“AE中点F”这个条件，想 到取AC与EC的中点G 、H，分别与点F相连，再连接BG , DH，最终利用 △BGF ≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C 继续顺时针旋转至图3 位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论； 若不成立，请说明理由； (3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若 AC=5 ❑ √2,CB=3 ❑ √2，请直接写出△BFD面积的最大值． 1．（2022 春·江西新余·八年级新余四中校考期中）如图，平行四边形BD 中，E 平分 平行四边形中的角度转换 必考点3 1 ∠BD，交B 于点E，且AB=AE，延长B 与DE 的延长线交于点F．下列结论中：① △ABE是等边三角形：②△ABC ≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=S△CDF；⑤ S△ABE=S△CEF其中正确的是（ ） ．①②③ B．①④⑤ ．①②⑤ D．②③④ 2．（2022 春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，P 为AC 上一点（与点、不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取 值范围是_______． 3．（2022 秋·辽宁朝阳·九年级校考期中）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O， BD=2 AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论①BE⊥AC；②四边形 BEFG是平行四边形；③EG=GF ；④EA平分∠GEF．其中正确的是________． 4．（2022 春·浙江·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB/¿CD ,∠B=∠D，点E 为 BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于．∠DCE的平分线交AE于G． 1 （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）如图1，若AB=2 AD=10，为CD的中点，HE=6，求AC的长； （3）如图2，若∠BAC=∠DAE ①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度数； ②∠AGC=n∠CAE ,∠CAE=¿_____°（用含有的式子表示） 5．（2022 春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在□BD 中，∠B，∠BD 的平分线分别交D 于点E，F，BE，F 相交于点G (1)求证：BE⊥F； (2)若B=，F=b，求BE 的长 6．（2022 春·湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 （，6），B（4， b）， （1）若 ，b 满足 (  b  5)2  |2a−b−1| 0 ， ①求点 ，B 的坐标； ②点 D 在第一象限，且点 D 在直线 B 上，作 D⊥x 轴于点 ，延长 D 到 P 使 得 P=D，若 △PB 的面积为 10，求 P 点的坐标； 1 （2）如图，将线段 B 平移到 D，且点 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上， 连接 交 y 轴于点 E，连接 BD 交 x 轴于点 F，点 M 在 D 延长线上，连 EM，3∠ME+∠E=180°，点 在 B 延长线上，点 G 在 F 延长线上，∠FG= 2∠FB，请探究∠EM 和∠BF 的数量关系，给出 结论并说明理由 1．（2022 春·浙江温州·八年级统考期中）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD＝❑ √6， 顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接 AD、BC，这时△ADE的面积是______． 2．（2022 春·广西贵港·八年级统考期中）如图，四边形BD 为菱形，B=3，∠B=60°，点M 为B 边上一点且BM=2M，过M 作M∥B 交，D 于点，，连接B．若点P，Q 分别为，B 的 中点，则PQ 的长度为________． 3．（2022 春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、分别 是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F． (1)求证：四边形GEHF是平行四边形． (2)若AB=4，BC=7，当四边形GEHF是矩形时BD的长为 ． 4．（2022 秋·辽宁辽阳·九年级校考期中）如图，在R t △ABC中，∠BAC=90°， AB=AC，点D为平面内一点，以CD为腰在CD右侧作等腰R t △CDE，且 平行四边形中勾股定理的运用 必考点4 1 ∠CDE=90°，过点B作BF ∥DE，且BF=DE，连接BD，DF，EF． (1)如图①，当点D在AC边上时，直接写出线段AF与AD的关系为 ； (2)将图①中的等腰R t △CDE绕点C逆时针旋转α (0°<α<45° )到图②的位置，连接AD， AF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若AD=3，AC=5，当A、E、F三点在一条直线上时，请直接写出CD的长． 5．（2022 春·广东广州·八年级广州市南武中学校考期中）如图： (1)如图1，平行四边形BD 中，AM ⊥BC于M，DN ⊥BC于．求证：BM=CN． (2)如图2，平行四边形BD 中，，BD 是两条对角线，求证： A C 2+B D 2=A B 2+BC 2+C D 2+D A 2． (3)如图3，PT 是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT 的长度． 6．（2022 春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）如图，在平行四边形BD 中，BD 是它的 一条对角线，过，两点分别作E⊥BD，F⊥BD，E、F 为垂足． （1）求证：四边形FE 是平行四边形； （2）若D＝13m，E＝12m，B＝20m，过点作⊥B，垂足为，求的长． 1 1．（2022 春·浙江杭州·八年级期末）平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两 条对角线的长可能是（ ） ．8 和12 B．9 和13 ．12 和12 D．11 和14 2．（2022 春·浙江杭州·八年级统考期末）已知：一组邻边分别为6cm和10cm的平行四边 形ABCD，∠DAB和∠ABC的平分线分别交CD所在直线于点E，F，则线段EF的长为 ________cm． 3．（2022 春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点， 连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EP A '，当折叠后△EP A '与 △BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为______． 4．（2022 秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点， 点E 为BD上的一个动点，连接CE并延长到点F，使EF=CE，连接AF． (1)若点E 与点B 重合（如图2），判断F 与BD的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)若以，F，B，E 为顶点的四边形是平行四边形，BD=3，请直接写出线段BE的长度． 5．（2022 春·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知△ABC为等边 三角形，其边长为4．点P 是B 边上一动点，连接P． 平行四边形中的多解问题 必考点5 1 (1)如图1，点E 在边上且E=BP，连接BE 交P 于点F． ①求证：BE=P；②求∠BF 的度数； (2)如图2，将线段P 绕点顺时针旋转120°得线段Q，连接BQ 交于点D．设BP=x，D=y，求 y 与x 的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，延长B 至点E，且E=BP，连接QE，DE．在点P 运动过程中， 当△CEQ的周长为4+❑ √13时，求DE 的长． 6．（2022 春·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形BD 中，AB // CD，∠BCD=90°， AB=AD=10cm，BC=8cm，点P 从点B 出发，沿线段B，向点以2cm / s的速度匀速 运动；点Q 从点D 出发，沿线段D 向点以3cm / s的速度匀速运动，已知两点同时出发， 当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t (s)． （1）连结P、Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________； （2）当PQ=10m 时，求t 的值； （3）若在线段D 上有一点E，QE=2m，连结和PE．请问是否存在某一时刻使得平分 PE？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 1．（2022 秋·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）如图1，Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，D 为CA上一动点，E 为BC延长线上的动点，始终保持 CE=CD．连接BD和AE，将AE绕点逆时针旋转90°到AF，连接DF． 平行四边形中的动点问题 必考点6 1 (1)请判断线段BD和AF的位置关系并证明； (2)当S△ABD= 1 4 B D 2时，求∠AEC的度数； (3)如图2，连接EF，G 为EF中点，AB=2❑ √2，当D 从点运动到点的过程中，EF的中点 G 也随之运动，请求出点G 所经过的路径长． 2．（2022 春·贵州遵义·八年级校考期末）如图，点P 是□BD 对角线所在直线上的一个动点 （点P 不与点、重合），分别过点、向直线BP 作垂线，垂足分别为点E、F，点为的中点． (1)当点P 与点重合时如图1，线段E 与线段F 的数量关系是______． (2)如图2，点P 在上运动时（不与点与重合），（1）中的结论是否成立？ (3)点P 在的延长线上运动时，当∠FE=60°时，如图3 的位置，猜想线段F、E、E 之间有怎 样的数量关系？ 3．（2022 春·四川泸州·八年级统考期末）如图（），直线l1∶y=kx+b经过点、B， =B=3，直线l2:y=3 2 x−2交y 轴于点，且与直线l1交于点D，连接D． 1 (1)求直线l1的解析式； (2)求△D 的面积； (3)如图（b），点P 是直线l1上的一动点，连接P 交线段D 于点E，当△E 与△DEP 的面积相 等时，求点P 的坐标； (4)在（3）的条件下，若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使 以D、、P、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请 说明理由． 4．（2022 春·吉林四平·八年级统考期末）如图1，直线y＝kx＋b 分别交x 轴，y 轴于点， 点B，点、P 分别是线段B，B 的中点，且OC=3 2，P＝2，动点D，E 分别在直线P 和线段 B 上，设点E 的横坐标为m，线段D 的长为（>0），且m＋＝3，以D，DE 为邻边作平行 四边形DEF． (1)求出直线B 的解析式． (2)当＝1 时，请求出点F 的坐标． (3)当点F 落在△B 的边B 或B 上时，求直接写出点F 的坐标． 5．（2022 春·广东江门·八年级校考期中）如图，在四边形BD 中，AD∥BC，∠B=90°， AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P 从点出发，以1cm/s的速度向点D 运动；点 Q 从点同时出发，以2cm/s的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动 点也随之停止运动．设点P，Q 运动的时间为t s． 1 (1)D 边的长度为______m，t 的取值范围为______． (2)从运动开始，当t 取何值时，PQ∥CD？ (3)从运动开始，当t 取何值时，PQ=CD？ 6．（2022 春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形B 是平行四 边形，为坐标原点，点的坐标是(-16，0)， 线段B 交y 轴于点D，点D 的坐标是(0，8)，线 段D=6．动点P 从点出发，沿射线的方向以每秒2 个单位的速度运动，同时动点Q 从点D 出发，以每秒1 个单位的速度向终点B 运动，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动， 运动时间为t 秒 (1)用t 的代数式表示：BQ=_______，P=_______； (2)若以，B，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值； (3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t 的值． 1．（2022 秋·湖北黄冈·九年级统考期中）如图，点D，E 是