专题17.5 勾股定理全章七类必考压轴题（解析版）

专题175 勾股定理全章七类必考压轴题 【人版】 1．（2022 春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后， 尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形BD 内部嵌入了6 个全等 的正方形，其中点M，，P，Q 分别在长方形的边B，B，D 和D 上，若B＝23，B＝32，则 小正方形的边长为 _____． 【答】❑ √53 【分析】如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形， 假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为，找出等量关系，列二元一次方程 组解出、b，再由勾股定理算出原图中的小正方形边长． 【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正 方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为，由题意，得 ¿， 解得：¿， 小正方形的边长为：2 + b2¿ ❑ √2 2+7 2=❑ √53， 故答为：❑ √53． 【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量 勾股定理与格问题 必考点1 1 关系求解． 2．（2022 秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1 的格图形中．每个小正方形的 顶点称为格点以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形， 使四个直角顶点E , F ,G , H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为 格点弦图．例如，在图1 所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为❑ √26，此时正方形 EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为❑ √26时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是________(不包括52)． 【答】36或50 【分析】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为，b．利用分类讨论的思想，在格点 上找出各点位置，即找出边的位置，即可求出面积． 【详解】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为，b．则正方形EFG 的边长为+b， 即S正方形EFGH=(a+b) 2 ． ∴在格中找出和b 的线段，且线段的端点都在格点上即可． 分情况讨论： ①a=5，b=1 ，如图， 此时S正方形EFGH=(a+b) 2=6 2=36． 1 ②a=❑ √13，b=❑ √13 ，如图， 此时S正方形EFGH=(a+b) 2=(2❑ √13) 2=52． ③a=2❑ √2，b=3 ❑ √2，如图， 此时S正方形EFGH=(a+b) 2=(5 ❑ √2) 2=50． 1 题干中不包括52， 故S正方形EFGH的值为36 或50． 故答为：36 或50． 【点睛】本题考查勾股定理．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 3．（2022 秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成 一个正方形，那么这个正方形的边长是 ____ 【答】❑ √5 【分析】由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的小正方形的面积为5， 进一步开方得出拼成的正方形的边长为❑ √5 【详解】分割图形如下： 故这个正方形的边长是❑ √5 故答为❑ √5 【点睛】本题考查图形的剪拼和勾股定理，熟知勾股定理，能够构造出直角三角形是解题 的关键． 4．（2022 春·全国·八年级统考期末）图中的虚线格是等边三角形格,它的每一个小三角形 都是边长为1 的等边三角形 (1)边长为1 的等边三角形的高=____; (2)图①中的▱BD 的对角线的长=____; 1 (3)图②中的四边形EFG 的面积=____ 【答】 ❑ √3 2 ❑ √13 8❑ √3 【详解】分析：(1)利用等边三角形的性质和勾股定理求出高； (2)要求的长，构造直角三角形，应用勾股定理求出． (3)要求四边形EFG 的面积，先将其分割，然后求每部分的面积，再相加和即可． 详解：(1)边长为1 的等边三角形的高=❑ √1- 1 4 = ❑ √3 2 (2)过点作K B ⊥ 于K(如图①), 由图①知,▱BD 的面积等于24 个小等边三角形的面积和,由(1)知每个小等边三角形的面积为 1 2×1× ❑ √3 2 = ❑ √3 4 , S ∴▱BD=24× ❑ √3 4 =6❑ √3又S▱BD=B·K,B=4, K=6 ∴ ❑ √3÷4=3 ❑ √3 2 ,又在Rt BK △ 中,B=3, BK= ∴ ❑ √A B 2-A K 2=3 2, K= ∴ 5 2, = ∴ ❑ √A K 2+K C 2=❑ √13 (3)如图②所示,将四边形EFG 分割成五部分,以FG 为对角线构造▱FPGM, ∵▱FPGM 含有6 个小等边三角形, S ∴ △FGM=3S 小等边三角形, 同理可得S△DG=4S 小等边三角形,S△EF=9S 小等边三角形,S△ED=8S 小等边三角形,又S 四边形MGD=8S 小等边三角形, 由(2)知小等边三角形的面积为 ❑ √3 4 , S ∴ 四边形EFG=(3+4+9+8+8)× ❑ √3 4 =8❑ √3 点睛：此题主要考查了等边三角形的性质的应用和勾股定理，平行四边形的面积和三角形 的面积，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和分割图形是解题关键 1 5．（2022 秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△B 中，B、B、三边的长分别为 ❑ √5，❑ √10，❑ √13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形格 （每个小正方形的边长为1），再在格中画出格点△B（即△B 三个顶点都在小正方形的顶 点处），如图①所示．这样不需求△B 的高，而借用格就能计算出它的面积． （1）请你将△B 的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求△B 面积的方法叫做构图法．若△B 三边的长分别为❑ √5，2❑ √2，❑ √17 （＞0），请利用图②的正方形格（每个小正方形的边长为）画出相应的△B，并求出它的 面积． 探索创新： （3）若△B 三边的长分别为❑ √m 2+16n 2, ❑ √9m 2+4 n 2,2 ❑ √4 m 2+n 2（m＞0，＞0，且 m≠），试运用构图法求出这三角形的面积． 【答】（1）7 2；（2）画图见解析，3a 2；（3）构图见解析，5m 【分析】（1）利用割补法求解可得； （2）在格中利用勾股定理分别作出边长为❑ √5a、2❑ √2a、❑ √17 a(a>0)的首尾相接的三条 线段，再利用割补法求解可得； （3）在格中构建边长为6m和6n的矩形，同理作出边长为❑ √m 2+16n 2、❑ √9 2+4 n 2， 2 ❑ √m 2+n 2的三角形，最后同理可得这个三角形的面积． 【详解】解：（1）ΔABC的面积为3×3−1 2 ×1×2−1 2 ×1×3−1 2 ×2×3=7 2， 故答为：7 2； （2）如图，AB=2❑ √2a，BC=❑ √5a，AC=❑ √17a， 1 由图可得：SΔABC=2a×4 a−1 2 ×a×2a−1 2 ×2a×2a−1 2 ×a×4 a=3a 2； 故答为：3a 2； （3）构造ΔABC所示，AB= ❑ √(2m) 2+(2n) 2=2 ❑ √m 2+n 2， AC= ❑ √m 2+(4 n) 2= ❑ √m 2+16n 2， BC= ❑ √(3m) 2+(2n) 2= ❑ √9m 2+4 n 2， ∴S ΔABC=3m×4 n−1 2 ×m×4 n−1 2 ×3m×2n−1 2 ×2m×2n=5mn． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理 解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示 出所求三角形的面积进行解答． 6．（2022 秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1 的正方形，我们把以格 点连线为边的多边形称为“格点多边形”． （1）在图1 中确定格点D，并画出一个以、B、、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形 （一种情况即可）； （2）直接写出图2 中△FG 的面积是 ； （3）在图3 中画一个格点正方形，使其面积等于17． 1 【答】（1）见解析；（2）9；（3）见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答； （2）利用△FG 所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答； （3）利用勾股定理作出❑ √17，结合正方形的性质得出答 【详解】解：（1）如图1 所示，四边形BD 即为所求； （2）如图2 所示： FG △ 的面积=矩形B 的面积- FG △ 的面积- BG △ 的面积- F △的面积 ¿5×6−1 2 ×1×3−1 2 ×3×5−1 2 ×4×6=9 （3）如图3 所示：四边形BD 即为所求； 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换和勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题 关键． 7．（2022 春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在8×4的正方形格中，按△ABC的形状 1 要求，分别找出格点，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积． 【答】见解析；S=10；S=25 2 ；S=12 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵B⊥BD，B=5， ∴△B 是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得B 边上高为BD=4, ∴S=1 2 BC ×BD= 1 2 ×4×5=10； 直角三角形时，如图， 取格点F 使得BF=4，F=3， 根据勾股定理，得B=❑ √3 2+4 2=5， ∵E=BF=4，EB=F=3，∠EB=∠BF=90°， ∴△EB≌△BF， ∴∠EB=∠FB， ∵∠EB+∠EB=90°， ∴∠FB+∠EB=90°， ∴∠B =90°， ∴△B 是直角三角形， 根据勾股定理，得B=❑ √3 2+4 2=5， ∴S=1 2 BA ×BC = 1 2 ×5×5 ¿ 25 2 ； 1 锐角三角形时，如图，取格点M 使得BM=3，M=4， 根据勾股定理，得B=❑ √3 2+4 2=5， 根据直角三角形时的作图，知道∠B=90°， ∴∠B＜∠B， ∴∠B＜90° ∵B=B， ∴△B 是等腰三角形， = ∴∠∠＜90°， ∴△B 是锐角三角形， ∴S=1 2 ×4×6=12； 【点睛】本题考查了格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判 定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关 键． 1．（2022 秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在线段AC 上，现将ΔABC沿着BD翻折后得到Δ A ' BD，A ' B交AC于点E，A ' D/¿ BC且A ' D=BC， 若BD=2❑ √6，则ΔABC的面积为__________． 【答】4 ❑ √15 勾股定理与折叠问题 必考点2 1 【分析】根据翻折的性质得到S△ABD=S△A ' BD=S△A ' ED+S△EBD，由A ' D/¿ BC且 A ' D=BC，依据平行线的性质及S，可得△A ' DE≌△BCE，通过等量代换得到 S△BCD=S△ABD，从而得到CD=AD设为4 a，依据等量代换得到CD=4 a=BC，依据三角 形外角的性质、翻折的性质、三角形内角和定理得到BE=BC=4 a，连接B与EC的中点F, 依据三线合一求出两个有公共直角边的直角三角形，依据勾股定理列出关于a的方程，解 出可求得△ABC的底和高，再运用三角形面积公式即可 【详解】解：设AD=4 a, ∵AB=AC, ∴∠C =∠ABC, ∵将△ABC沿着BD翻折后得到△A ' BD， ∴S△ABD=S△A ' BD=S△A ' ED+S△EBD，A ' D=AD=4 a，∠DBE=∠DBA， ∵A ' D/¿ BC， ∴∠A ' DE=∠C，∠A ' =∠CBE， 又∵A ' D=BC =4 a， ∴△A ' DE≌△BCE（S）， ∴DE=EC=1 2 DC，S△A ' DE=S△BCE， 又∵S△BCD=S△BCE+S△EBD，S△ABD=S△A ' ED+S△EBD ∴S△BCD=S△ABD， ∴CD=AD=4 a, ∴DE=EC=1 2 DC=2a， ∵CD=4 a=BC, ∴∠CBD=∠CDB, 又∵∠CBD=∠CBE+∠DBE，∠CDB=∠A +∠DBA，∠DBE=∠DBA， ∴∠CBE=∠A， 又∵∠BEC =180°−∠C−∠EBC,∠ABC =180°−∠C−∠A,∠C =∠ABC ∴∠BEC =∠ABC=∠C, ∴BE=BC=4 a， 如下图，连接B与EC的中点F,则FC=FE=1 2 EC=a,DF=DE+FE=3a, 1 ∴BF ⊥AC, ∴B D 2−D F 2=B F 2=BC 2−F C 2,即(2❑ √6) 2−(3a) 2=B F 2=(4 a) 2−a 2（a>0）， 解得a=1， ∴BF =❑ √15，AC = AD+DC=8a=8， ∴S△ABC= AC ⋅BF 2 =4 ❑ √15, 故答为：4 ❑ √15 【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、三线合一的性质、三 角形等角对等边的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾 股定理，解题的关键是发现D 是的中点，三角形BD、三角形BE 是等腰三角形，依据勾股 定理列出关于a的方程 2．（2022 秋·浙江·八年级期末）△ABC中，AB=4 ❑ √2，AC=6，∠A=45°，折叠 △ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点D由B向A连续移动过 程中，点E经过的路径长记为m，则BC=¿________，m=¿________． 【答】 2❑ √5 20−12❑ √2 【分析】过B 作BM⊥，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质求出BM，再利用勾股定理 求出B 的长度，分三段分别求出点E 的运动路径长度，再相加即可． 【详解】解：过B 作BM⊥，垂足为M，如图1， 1 =45° ∵∠ ，B=4 ❑ √2， ∴BM=M=4 ❑ √2 ❑ √2 =4， ∵AC=6， ∴CM=6−4=2， ∴BC= ❑ √C M 2+B M 2=2❑ √5； ①∵由折叠可知：EF 垂直平分D， 当D 与B 重合时，此时AE最小， 如图2，作E1G⊥B，垂足为G，连接E1B， 设A E1=x1， ∵∠A=45°， ∴AG=E1G= x ❑ √2= ❑ √2 2 x，E1C=6−x， ∵E1 F垂直平分 B， ∴E1B=E1C=6−x， ∴在Rt △E1GB 中，E1B 2=E1G 2+G B 2， 即(6−x) 2=( ❑ √2 2 x) 2 −(4 ❑ √2− ❑ √2 2 x) 2 ， 解得：x=1（负值舍去）， ∴A E1=1； ②∵ED=EC， ∴当E 最大时，E 最短， ∴ED 最短， ∴当ED⊥B 时，ED 为垂线段，取最小值， ∴如图3，作E2 D2⊥AB，垂足为D2， 1 设A E2= y，则A D2=D2 E2= y ❑ √2= ❑ √2 2 y， ∴E2C=6−y， ∴E2 F垂直平分C D2， ∴E2 D2=E2C， ∴ ❑ √2 2 y=6−y， ∴y=12−6 ❑ √2， ∴A E2=12−6 ❑ √2， ∴E 从最近到最远走了12−6 ❑ √2−1=11−6 ❑ √2； ③当D 从D2点继续向移动，ED 增加， ∴E 减小， ∴当D 与重合时，如图4， 此时E3 D3=E3C=1 2 AC=1 2 ×6=3， ∴A E3=3， ∴E 从E2到E3运动了12−6 ❑ √2−3=9−6 ❑ √2， ∴点E 从E1运动到E2，再运动到E3， 路径长为11−6 ❑ √2+9−6 ❑ √2=20−12❑ √2， 故答为：2❑ √5；20−12❑ √2． 【点睛】本题考查了折叠问题，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意， 根据点D 运动的情况分别得出点E 相应的运动情况，逐步求解． 1 3．（2022 秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△B 中，∠ACB=90°，AC=2， BC=4，点E 为B 的中点，D 为B 边上的一动点，把△D 沿D 折叠，点落在点F 处，当 △EF 为直角三角形时，D 的长为__________． 【答】2 或2 3 【分析】本题以三角形为基础，考查内容包含中点的用法，可立刻推边等；动点图形翻折 问题，可得到角等以及边等，解答本题需以题目要求直角三角形为前提，采取分类讨论方 法，通过构造辅助线、假设未知数并结合勾股定理求解． 【详解】（1）当∠FE=90°时 作EM B ⊥ 垂足为M，作⊥ME 于，如下图所示： = EMB=90° ∵∠∠ EM ∴ ∥ ∵AE=EB ∴MB=MC=1 2 BC=2 ∴EM=1 2 AC=1 = M= =90° ∴∠∠ ∠ ∴四边形M 是矩形 =M=2 ∵ ∴四边形M 是正方形 在RT B △ 中，∵=2,B=4 B= ∴ 2❑ √5 ，E=❑ √5 在RT FE △ 中，∵E=❑ √5 ，F==2 FE=1 ∴ 设D=FD=x，在RT EDM △ 中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x ∴D E 2=D M 2+E M 2 (1+x) 2=(2−x) 2+1 2 x=2 3 D= ∴ 2 3 1 （2）当∠FE=90°时，如下图所示 FD=90° ∵∠ F,E,D ∴ 三点共线 在RT FE △ 中，∵E=❑ √5 ，F==2 EF=1 ∴ 又∵DE=1 EF=ED ∴ 又∵E=EB，∠EF= BED ∠ 所以△FE≅BDE(SS) △ BDE= FE=90° ∴∠ ∠ 故四边形FD 是矩形 又∵F= 所以四边形FD 是正方形 D==2 ∴ 【点睛】本题主要考查动点翻折问题，需要着重注意分类讨论，思考要全面，求解过程尝 试利用割补法将图形补成常见模型以便求解． 4．（2022 春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中， ∠BAC=90° ,∠C=30° , AB=3，点D 为AC的中点，点E 在BC边上，将△CDE沿着 DE翻折，使点落在点F 处，当FE⊥AC时，FE=¿________． 1 【答】9 2或3 2 【分析】分点F在AC上方和AC下方，分别画图图形，求出BC=6, AC=3 ❑ √3，根据 30°直角三角形的性质，即可得出答． 【详解】解：①如图： ∵在Rt △ABC中：∠BAC=90° ,∠C=30° , AB=3,