专题17.5 勾股定理全章七类必考压轴题（原卷版）

专题175 勾股定理全章七类必考压轴题 【人版】 1．（2022 春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后， 尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形BD 内部嵌入了6 个全等 的正方形，其中点M，，P，Q 分别在长方形的边B，B，D 和D 上，若B＝23，B＝32，则 小正方形的边长为 _____． 2．（2022 秋·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1 的格图形中．每个小正方形的 顶点称为格点以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形， 使四个直角顶点E , F ,G , H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为 格点弦图．例如，在图1 所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为❑ √26，此时正方形 EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为❑ √26时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是________(不包括52)． 3．（2022 秋·山东东营·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成 一个正方形，那么这个正方形的边长是 ____ 4．（2022 春·全国·八年级统考期末）图中的虚线格是等边三角形格,它的每一个小三角形 勾股定理与格问题 必考点1 1 都是边长为1 的等边三角形 (1)边长为1 的等边三角形的高=____; (2)图①中的▱BD 的对角线的长=____; (3)图②中的四边形EFG 的面积=____ 5．（2022 秋·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△B 中，B、B、三边的长分别为 ❑ √5，❑ √10，❑ √13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形格 （每个小正方形的边长为1），再在格中画出格点△B（即△B 三个顶点都在小正方形的顶 点处），如图①所示．这样不需求△B 的高，而借用格就能计算出它的面积． （1）请你将△B 的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求△B 面积的方法叫做构图法．若△B 三边的长分别为❑ √5，2❑ √2，❑ √17 （＞0），请利用图②的正方形格（每个小正方形的边长为）画出相应的△B，并求出它的 面积． 探索创新： （3）若△B 三边的长分别为❑ √m 2+16n 2, ❑ √9m 2+4 n 2,2 ❑ √4 m 2+n 2（m＞0，＞0，且 m≠），试运用构图法求出这三角形的面积． 6．（2022 秋·全国·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1 的正方形，我们把以格 点连线为边的多边形称为“格点多边形”． 1 （1）在图1 中确定格点D，并画出一个以、B、、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形 （一种情况即可）； （2）直接写出图2 中△FG 的面积是 ； （3）在图3 中画一个格点正方形，使其面积等于17． 7．（2022 春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在8×4的正方形格中，按△ABC的形状 要求，分别找出格点，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积． 1．（2022 秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在线段AC 上，现将ΔABC沿着BD翻折后得到Δ A ' BD，A ' B交AC于点E，A ' D/¿ BC且A ' D=BC， 若BD=2❑ √6，则ΔABC的面积为__________． 2．（2022 秋·浙江·八年级期末）△ABC中，AB=4 ❑ √2，AC=6，∠A=45°，折叠 △ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点D由B向A连续移动过 程中，点E经过的路径长记为m，则BC=¿________，m=¿________． 勾股定理与折叠问题 必考点2 1 3．（2022 秋·河南周口·八年级统考期末）如图，已知在△B 中，∠ACB=90°，AC=2， BC=4，点E 为B 的中点，D 为B 边上的一动点，把△D 沿D 折叠，点落在点F 处，当 △EF 为直角三角形时，D 的长为__________． 4．（2022 春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中， ∠BAC=90° ,∠C=30° , AB=3，点D 为AC的中点，点E 在BC边上，将△CDE沿着 DE翻折，使点落在点F 处，当FE⊥AC时，FE=¿________． 5．（2022 秋·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片 ABCD沿MN折叠，使点落在BC边上点A '处，点D 的对应点为D '，连接A ' D '交边CD于 点E，连接C D '，若AB=9，AD=6，A '点为BC的中点，则线段E D '的长为________． 6．（2022 秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）在△ABC中，AB=25，AC=10 ❑ √5，AP垂直 直线BC于点P． (1)当BC=25时，求AP的长； (2)当AP=20时， ①求BC的长； 1 ②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为_____ ______． 1．（2022 春·浙江·八年级期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正 方形构成，它可以验证勾股定理．在Rt △ABC中， ∠BAC=90° , AC=a, AB=b(a<b)．如图所示作矩形HFPQ，延长CB交HF于点G． 若正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3 倍，则a b 的值为（ ） ． ❑ √2 4 B． ❑ √2 2 ． ❑ √5−1 2 D．3−❑ √5 2 2．（2022 秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书 《醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形 和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2 是由图1 放入矩形内得到的， ∠B=90°，B=3，B=5，点D，E，F，G，，都在矩形KLM 的边上，则矩形KLM 的面积为( ) ．121 B．110 ．100 D．90 3．（2022 秋·全国·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是 数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形B 的三条 边为边长向外作正方形，正方形BED，正方形BGF，连接B，D，过点作⊥DE 于点，交B 以弦图为背景的计算 必考点3 1 于点K．设正方形的面积为S1，正方形BGF 的面积为S2，矩形KD 的面积为S3，矩形KEB 的面积为S4，下列结论中：①B⊥D；②S1∶S△D＝2 1 ∶；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝ S3S2，正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 4．（2022 秋·江苏·八年级期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形，其中，B，，D 四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为__． 5．（2022 秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西 方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦 五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）， 后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 1 (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任 选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1 中的四个全等的直 角三角形按如图2 的形式摆放，求图2 中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三 角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个； (3)如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图（图中阴影部 分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系______． 1．（2022 秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）在Rt△B 中，∠B＝90°，B ＝，＝b，B＝．将Rt△B 绕点依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我 国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股 定理证明的记载，也成为了2002 年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． （1）请利用这个图形证明勾股定理； （2）请利用这个图形说明2＋b2≥2b，并说明等号成立的条件； （3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y 的长方形，其周长为8，求当 x，y 取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？ 2．（2022 秋·河南郑州·八年级校考期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就 把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形 勾股定理的证明方法 必考点4 1 （如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直 角边、b 与斜边满足关系式2＋b2＝2，称为勾股定理 证明：∵大正方形面积表示为S＝2，，又可表示为S＝4×1 2b＋(b－)2， 4× ∴ 1 2b＋(b－)2＝2 ______________ ∴ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证 这个结论，请你帮助小明完成验证的过程 (3)如图3 所示，∠B＝∠E＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论2＋b2＝2 3．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）公元3 世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称 为“弦图”．1876 年美国总统Grfeld 用图1（点、点B、点′三点共线）进行了勾股定理的 证明．△B 与△B′B′是一样的直角三角板，两直角边长为，b，斜边是．请用此图1 证明勾股 定理． 拓展应用l：如图2，以△B 的边B 和边为边长分别向外作正方形BF 和正方形ED，过点 F、E 分别作B 的垂线段FM、E，则FM、E、B 的数量关系是怎样？直接写出结论 ． 拓展应用2：如图3，在两平行线m、之间有一正方形BD，已知点和点分别在直线m、上， 过点D 作直线l m ∥∥，已知l、之间距离为1，l、m 之间距离为2．则正方形的面积是 ． 4．（2022 秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅 力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 向常春在1994 年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（Rt △ACB≅Rt △DAE）如图1 放置，∠DAB=∠B=90°， 1 AC ⊥DE点E 在边上，现设Rt △ACB两直角边长分别为CB=a、CA=b，斜边长为 AB=c，请用、b、分别表示出梯形BD、四边形ED、△EBC的面积，再探究这三个图形 面积之间的关系，可得到勾股定理 （1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理 （2）如图2，铁路上、B 两点（看作直线上的两点）相距40 千米，D 为两个村庄（看作直 线上的两点），AD⊥AB，BC ⊥AB，垂足分别为、B，AD=25千米，BC=16千米， 则两个村庄的距离为 千米． （3）在（2）的背景下，若B=40 千米，D=25 千米，B=16 千米，要在B 上建造一个供应 站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2 中作出P 点的位置并求出P 的距离． （4）借助上面的思考过程，当1<x<11时，求代数式❑ √x 2−2 x+5+ ❑ √x 2−22 x+130的最 小值． 5．（2022 秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西 方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦 五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）， 后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 1 (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任 选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1 中的四个全等的直 角三角形按如图2 的形式摆放，求图2 中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三 角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个； (3)如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图（图中阴影部 分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系______． 1．（2022 秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长AB=6，宽BC=5，高 B B1 ¿2， 一直蚂蚁从木块点处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（ ） ．❑ √89 B．❑ √85 ．❑ √125 D．❑ √80 2．（2022 秋·江苏·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题： 已知，如图一个棱长为8m 无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫 玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁处，然后遥控甲虫从处出发沿外壁面正方形BD 爬 行，爬到边D 上后再在边D 上爬行3m，最后在沿内壁面正方形BD 上爬行，最终到达内壁 B 的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______m 立体几何中求最短路径 必考点5 1 3．（2022 秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B在 棱上，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬 行的最短路程是______． 4．（2022 秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，圆柱底面半径为2 π cm，高为9cm，点， B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且，B 在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱 侧面绕3 圈到B 点，则这根棉线的长度最短为___________m． 5．（2022 秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在一个长6+2❑ √2米，宽为4 米 的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木 块的主视图的高是❑ √2米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是____ _______． 1 6．（2022 秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长B 为8 m，宽B 为6 m，高BF 为4 m． 在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ (1)蚂蚁从点爬行到点G，且经过棱EF 上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长． (2)设该长方体上底面对角线EG、F 相交于点（如图②），则E＝F＝G＝＝5 m． ①蚂蚁从点B 爬行到点的最短路径的长为 m； ②当点P 在B 边上，设BP 长为 m，求蚂蚁从点P 爬行到点的最短路的长（用含的代数式 表示）． 1．（2022 春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上， 它飞行的最短路程是________． 2．（2022 秋·浙江绍兴·八年级统考期中）如图所示，、B 两块试验田相距200m，为水源 地，＝160m，B＝120m，为了方便灌溉，现有两种方修筑水渠． 甲方：从水源地直接修筑两条水渠分别到、B； 乙方；过点作B 的垂线，垂足为，先从水源地修筑一条水渠到B 所在直线上的处，再从分 别向、B 进行修筑． （1）请判断△B 的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方中，哪一种方所修的水渠较短？请通过计算说明． 3．（2022 秋·重庆·八年级校联考期末）如图，公路M 和公路PQ 在点P 处交汇，且 勾股定理的实际应用 必考点6 1 ∠QPN=30°，在处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路M 上沿P 方向 以每秒5 米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100 米以内有噪音影响． （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 4．（2022 秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）【问题探究】 (1)如图①，点E 是正△B 高D 上的一定点,请在B 上找一点F，使EF=1 2E，并说明理由； (2)如图②，点M 是边长为2 的正△B 高D 上的一动点，求1 2M+M 的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，、B 两地相距600km,是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B 到的最 短距离为360km．今计划在铁路线上修一个中转站M，再在BM 间修一条笔直的公路。如 果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由到M 再通过 公路由M 到B 的总运费达到最小值，请确定中转站M 的位置,并求出M 的长．(结果保留根 号) 5．（2022 春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD为某街心公的平面图， 经测量AB=BC=AD=100米，CD=100 ❑ √3米，且∠B=90°． （1）求∠DAB的度数； （2）若BA为公的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装 一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100 米（包含100 米），求被监控到的道路长度为多少？ 1 6．（2022 秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿 海城市 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会 减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 B 方向移动．已知 D⊥B 且D= 1 2 B，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问： （1） 城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 1．（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线．求中线AD的取 值范围；（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE） （2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边的中点，∠EDF=90°，DE交AB 于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：B E 2+C F 2=E F 2； （3）如图3，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E为AD中点，F、G分别边 AB、CD上，且EF ⊥EG，若AF=4，DG=2❑ √3，求GF长． 勾股定理及其逆定理的综合 必考点7 1