第21讲 相似三角形及其应用（讲义）（解析版）

第21 讲 相似三角形及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 相似三角形的性质与判定 题型01 添加条件使两个三角形相似 题型02 证明两个三角形相似 题型03 确定相似三角形的对数 题型04 在格中判断相似三角形 题型05 利用相似的性质求解 题型06 利用相似的性质求点的坐标 题型07 在格中画与已知三角形相似的三角形 题型08 证明三角形的对应线段成比例 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用 题型12 三角板与相似三角形综合应用 题型13 平移与相似三角形综合应用 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 考点二 相似三角形的常见模型 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 一线三垂直模型 题型04 三角形内接矩形模型 题型05 旋转相似模型 考点三 相似三角形的应用 题型01 测量树高 题型02 测量旗杆高度 题型03 测量楼高问题 题型04 测量河宽问题 题型05 杠杆问题 题型06 实验问题 题型07 九章算经问题 题型08 三角形内接矩形问题 考点要求 新课标要求 命题预测 相似三角形的 性质与判定  了解相似三角形的判定定理  了解相似三角形判定定理的证明  了解相似三角形的性质定理 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考 点，也是难度最大的一个考点它不仅可以作为简 单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题 方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一 起考察而且在很多压轴题中，经常通过相似三角 形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关 系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段 需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 相似三角形的 常见模型  相似三角形的 应用  会利用图形的相似解决一些简单 的实际问题 考点一 相似三角形的性质与判定 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似用符号 “∽”，读作“相似于” 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 3）相似三角形周长的比等于相似比 4）相似三角形面积比等于相似比的平方 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 题型01 添加条件使两个三角形相似 【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后， 不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ） ．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC ．AC BC =CD AC D．AD AB =CD AC 【答】 【分析】可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似． 【详解】解：、 由CA平分∠BCD可得∠BCA=∠ACD，结合∠ADC=∠BAC，可以证明 1 判断格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等 △ABC ∽△DAC，故此选项不符合题意； B、由∠DAC=∠ABC，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC ∽△DAC，故此选项不符合题意； 、由AC BC =CD AC ，结合∠ADC=∠BAC，不可以证明△ABC ∽△DAC，故此选项符合题意； D、由AD AB =CD AC ，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC ∽△DAC，故此选项不符合题意； 故选． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是 （填一个即可） 【答】∠ACD=∠B（答不唯一） 【分析】由图可得△ABD与△ACB有一个公共角∠C，再根据相似三角形的判定方法即可得到结果 【详解】∵∠A=∠A，∠ACD=∠B ∴△ACD∼△ABC 故填：∠ACD=∠B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似 【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知AB AC = AC AD =k，请再添加一个条件，使 △ABC ∽△ACD，你添加的条件是 （写出一个即可）． 【答】BC CD =k或∠BAC=∠CAD 【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：添加BC CD =k， ∵AB AC = AC AD = BC CD =k， ∴△ABC ∽△ACD； 添加∠BAC=∠CAD， ∵AB AC = AC AD =k，∠BAC=∠CAD， ∴△ABC ∽△ACD； 故答为：BC CD =k或∠BAC=∠CAD． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似； 两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似． 题型02 证明两个三角形相似 【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A 、D 、C 、E在同一直线上，满足∠ABC=90°， BD⊥BE，且CB=CE．求证：△ABD∽△AEB． 【答】见解析 【分析】先根据同角的余角相等，得∠ABD=∠CBE，再根据“等边对等角”可得∠ABD=∠E，然 后根据“两角相等的两个三角形相似”得出答 【详解】证明：∵∠ABC=90°，∠DBE=90°， ∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC， 即∠ABD=∠CBE ∵BC=CE， ∴∠CBE=∠E， ∴∠ABD=∠E 又∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△AEB ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形 相似 【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在 BC边上求作一点M，使△CMA ∽△CAB．（保留作图痕迹，不写作法） 【答】见解析 【分析】作∠BAC的平分线，交BC边于点M，此时∠CMA=∠CAB． 【详解】解：点M即为所作， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM=∠CAM， ∵∠BAC=2∠B， ∴∠B=∠CAM， ∵∠MCA=∠ACB， ∴△CMA △CAB． 【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分 线 (1)求证：△P∽△DPB； (2)若P＝BP＝1，D＝P，求DP 的长 【答】(1)证明见解析； (2)x= ❑ √5−1 2 【分析】（1）由等腰三角形得∠C=∠ABC，由角平分线得∠ABC=∠CBD，进而可得 ∠C=∠CBD ，证得AC ∥BD，结论得证； （2）由△APC ∽△DPB得AP DP =CP BP ，构建方程求解． 【详解】（1）证明：∵AB=AC ∴∠C=∠ABC ∵BC平分∠ABD ∴∠ABC=∠CBD ∴∠C=∠CBD ∴AC ∥BD ∴∠C=∠DBP ,∠CAP=∠D ∴△APC ∽△DPB （2）设PD=x ∵PC=AD ∴PC=1+x ∵△APC ∽△DPB ∴AP DP =CP BP ∴1 x = x+1 1 ∴x= ❑ √5−1 2 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键． 【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点 E，F 在线段BC上，CE=BF，点Q 在线段AB上，且A E 2=AQ⋅AB． 求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)△ACE∽△AFQ． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）根据△ACE≌△ABF得出AE=AF，∠CAE=∠BAF，根据AE ²=AQ· AB，AC=AB，得出 AE AQ = AC AF ，利用相似三角形的判定得出结论即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ACE和△ABF中，¿， ∴△ACE≌△ABF (SAS)， ∴∠CAE=∠BAF； （2） 证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE=AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE ²=AQ· AB，AC=AB， ∴AE AQ = AB AE ，即AE AQ = AC AF ， ∴△ACE∽△AFQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关 判定定理和性质定理是解题的关键． 题型03 确定相似三角形的对数 【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中， ∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72 ∘则图中相似三角形共有（ ） ．2 对 B．3 对 ．4 对 D．5 对 【答】 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答． 【详解】解：∵∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72 ∘， ∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−72°−72°=36°， ∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−36°−72°=72°， ∴∠DBC=180°−∠C−∠BDC=180°−72°−72°=36°， ∵∠AED=∠ABC， ∴ED/¿ BC， ∴∠EDB=∠DBC=36°， ∴∠BED=180−∠EBD−∠EDB=180−36°−36°=108°， ∴∠DBC=180°−∠C−∠BDC=180°−72°−72°=36°， ∠ADB=∠ADE+∠EDB=72°+36°=108°， ∵∠AED=∠ABD，∠ADE=∠ACB， ∴△AED∼△ABC， ∵∠AED=∠C，∠ADE=∠BDC， ∴△AED∼△BCD， ∵∠ABD=∠C，∠ACB=∠BDC， ∴△BCD∼△ABC， ∵∠A=∠EBD，∠ADB=∠BED， ∴△EBD∼△DAB． 故相似的三角形对数为4 对： 故选：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则 图中相似三角形共有（ ） ．2 对 B．3 对 ．4 对 D．5 对 【答】 【分析】利用相似三角形的判定方法可判定△ABD∽△ACE， △ADE∽△ABC，即可求解． 【详解】解：∵BD和CE是△ABC的高， ∴∠AEC=∠ADB=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠BEC=∠BDC=90°， ∴点B，点，点D，点E 四点共圆， ∴∠ACB+∠BED=180°， ∵∠BED+∠AED=180°， ∴∠ACB=∠AED， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴相似三角形共有2 对， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 题型04 在格中判断相似三角形 【例4】（2019·浙江·校联考三模）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形格，连结小长方形的顶 点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） ．①和② B．②和③ ．①和③ D．①和④ 【答】D 【分析】设小长方形的长为2，宽为．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2 倍， 设小长方形的宽为，则长为2， ∴图①中的三角形三边长分别为2、❑ √(2a) 2+(2a) 2=2❑ √2a⋅ ❑ √(2a) 2+(4 a) 2=2❑ √5a； 图②中的三角形三边长分别为2,❑ √(2a) 2+(3a) 2=❑ √13a, ❑ √(3a) 2+(4 a) 2=5a； 图③中的三角形三边长分别为2❑ √(2a) 2+(4 a) 2=2❑ √5a⋅ ❑ √(4 a) 2+(4 a) 2=4 ❑ √2a； 图④中的三角形三边长分别为❑ √(2a) 2+(a) 2=❑ √5a, ❑ √(a) 2+(3a) 2=❑ √10a、❑ √(3a) 2+(4 a) 2=5a， ∴① 和②图中三角形不相似； ∵2a 2a ≠ ❑ √13a 2❑ √5a ≠ 5a 4 ❑ √2a ∴② 和③图中三角形不相似； ∵2a 2a ≠2❑ √2a 2❑ √5a ≠2❑ √5a 4 ❑ √2a ∴① 和③图中三角形不相似； ∵2a ❑ √5a=2❑ √2a ❑ √10a =2❑ √5a 5a =2❑ √5 5 ∴① 和④图中三角形相似． 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式4-1】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在正方形格中有3 个斜三角形：①△ABC；②△CDB； ③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ．（△ABC除外） 【答】③（△DEB） 【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据格可知：B=1，=❑ √1 2+1 2=❑ √2，B=❑ √1 2+2 2=❑ √5，△B 的三边之比是B：：B＝1：❑ √2： ❑ √5， 同理可求：②△DB 的三边之比是D：B：BD＝1：❑ √5：2❑ √2； ③ △DEB 中DE：BD：BE＝2：2❑ √2：2❑ √5＝1：❑ √2：❑ √5． ∴③ （△DEB）与△B 相似， 故答为：③△DEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 题型05 利用相似的性质求解 【例5】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D , E分别在边BC , AC上， ∠ADE=60°，若AD=4 , BD CE =3 2，则DE的长度为（ ） ．1 B．4 3 ．2 D．8 3 【答】D 【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∴∠ADB+∠BAD=180°−∠B=120°． ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=180°−∠ADE=120°， ∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠EDC， ∴∠BAD=∠EDC， ∴△BAD∽△CDE， ∴ BD CE = AD DE ， ∴ 4 DE =3 2， ∴DE=8 3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角 形的判定与性质． 【变式5-1】（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若AD BD =2 3，那么下列结论中， 正确的是（ ） ． DE BC =2 3 B． AE AC =2 3 ． DO CO =2 3 D． S△DOE S△BOC = 4 25 【答】D 【分析】由AD BD =2 3得到AD AB =2 5，通过证明△ADE∽△ABC ，△DOE∽△COB，得到 AD AB = AE AC = DE BC =2 5 ，DE BC = DO CO =2 5，即可判断、B、，再根据三角形的面积比等于相似比的平方即可 判断D． 【详解】解：∵ DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB，∠EDC=∠BCD，∠DEB=∠CBE， ∴△ADE∽△ABC ，△DOE∽△COB， ∴AD AB = AE AC = DE BC ，DE BC = DO CO ， ∵ AD BD =2 3， ∴AD AB =2 5， ∴AD AB = AE AC = DE BC =2 5 ，DE BC = DO CO =2 5，故、B、错误，不符合题意， ∴S△DOE S△BOC =( DE BC) 2 =( 2 5) 2 = 4 25，故D 正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解 题的关键． 【变式5-2】（2023·云南红河·统考二模）如图，△ADE∼△ACB，DE=5，S△ADE:S四边形BCED=9:16， 则BC为（ ） ．8 B．20 3 ．25 3 D．10 【答】 【分析】根据S△ADE:S四边形BCED的比，可得S△ADE:S△ACB的比，利用面积比是相似比的平方，可得DE BC ， 从而可得答． 【详解】解：∵S△ADE:S四边形BCED=9:16， ∴S△ADE:S△ACB=9:25， ∴相似比为k=3:5，即DE BC =3 5，5 BC =3 5， ∴BC=25 3 ； 故选：． 【点睛】本题考查了形似三角形的性质，解题的关键是掌握面积比是相似比的平方． 【变式5-3】（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若 △ABC的周长为12，则△ADE的周长为（ ） ．3 B．4 ．6 D．9 【答】 【分析】利用中位线定理，得到三角形相似，运用周长之比等于相似比计算选择． 【详解】设三角形的周长用表示， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE= 1 2 BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴C △ADE C △ABC = DE BC =1 2， ∴C △ADE 12 =1 2 ， ∴C △ADE=6， 故选． 【点睛】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式5-4】（2023·甘肃武威·统考三模）已知△ABC ∽△≝¿，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的 度数是（ ） ．120° B．60° ．90° D．30° 【答】 【分析】根据相似