专题73 四边形中的新定义问题（解析版）

【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形BD 中， B＝B，D＝2 ，D＝5，∠B＝60°，则线段BD＝ 3 ． 解：∵对余四边形BD 中，∠B＝60°， ∴∠D＝30°， ∵B＝B， ∴将△BD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BF，连接FD，如图所示， ∴△BD≌△BF，∠FBD＝60° ∴BF＝BD，F＝D，∠BD＝∠BF， ∴△BFD 是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF， ∵∠D＝30°， ∴∠DB+∠BD＝30°， ∴∠BF+∠DB＝30°， ∵∠FBD+∠BF+∠DB+∠FD+∠DF＝180°， 60°+30°+ ∴ ∠FD+∠DF＝180°， ∴∠FD+∠DF＝90°， ∴∠FD＝90°， ∴D2+F2＝DF2， ∴D2+D2＝BD2， ∴BD2＝（2 ）2+52＝45， ∵BD＞0， ∴BD＝3 ， 例题精讲 故答为：3 ． 变式训练 【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点 的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△B 中，∠B＝90°，以为 一边向形外作菱形EF，点D 是菱形EF 对角线的交点，连接BD．若∠DB＝60°，∠B＝ 15°，BD＝2 ，则菱形EF 的面积为 12 ． 解：如图1，取的中点G，连接BG、DG， ， ∵四边形EF 是菱形， ∴E⊥F， ∴∠D＝90°， 又∵∠B＝90°， ∴、B、、D 四点共圆，点G 是圆心， ∴∠D＝∠BD＝90°﹣∠DB＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∵∠GB＝15°×2＝30°，∠GD＝30°×2＝60°， ∴∠BGD＝30°+60°＝90°， ∴△BGD 是等腰直角三角形， ∴BG＝DG＝ ， ∴＝2 ， ∴D＝2 ， ∴ ， ∴菱形EF 的面积为： 3 ＝ ＝ 故答为：12 ． 【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形BD 中， 若∠+∠＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形BD 是“对补四边形”． 【概念理解】（1）如图1，四边形BD 是“对补四边形”． ①若∠：∠B：∠＝3：2：1，则∠D＝ 90 度． ②若∠B＝90°．且B＝3，D＝2 时．则D2﹣B2＝ 5 ． 【类比应用】（2）如图2，在四边形BD 中，B＝B，BD 平分∠D．求证：四边形BD 是 “对补四边形”． （1）解：①∵∠：∠B：∠＝3：2：1， ∴设∠＝3x°，则∠B＝2x°，∠＝x°， ∵四边形BD 是“对补四边形”， + ∴∠∠＝180°， 3 ∴x+x＝180， ∴x＝45°． ∴∠B＝2x＝90°． ∵四边形BD 是“对补四边形”， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝90°． 故答为：90； ②连接，如图， ∵∠B＝90°， ∴B2+B2＝2． ∵四边形BD 是“对补四边形”， ∴∠B+∠D＝180°． ∴∠D＝90°． ∴D2+D2＝2． ∴B2+B2＝D2+D2， ∴D2﹣B2＝B2﹣D2， ∵B＝3，D＝2， ∴D2﹣B2＝32 2 ﹣2＝5． 故答为：5； （2）证明：在D 上截取DE＝D，连接BE，如图， ∵BD 平分∠D， ∴∠DB＝∠EDB． 在△DB 和△EDB 中， ， ∴△DB≌△EDB（SS）， ∴∠＝∠DEB，B＝BE， ∵B＝B， ∴BE＝B， ∴∠BE＝∠． ∵∠DEB+∠BE＝180°， ∴∠DEB+∠＝180°， + ∴∠∠＝180°， ∴四边形BD 是“对补四边形”． 【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△B 中，∠B ＝90°，B＝2，B＝1，将△B 沿∠B 的平分线BB'的方向平移，得到'B''，连接'，'，若四边 形B'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 1 或 ． 解：∵将Rt△B 平移得到△′B′′， ∴BB′＝′，′B′∥B，′B′＝B＝2，B′′＝B＝1，′′＝＝ ， ①如图1，当′＝B 时，BB′＝′＝B＝1； ②如图1，当′＝B＝2 时， ∵∠B＝90°，BB′是∠B 的角平分线， ∴∠B′B＝45°， 延长′B′交B 于， ′ ∵B′∥B，∠′B′′＝90°， ′ ∴∠＝∠′B′′＝90°， ∴∠BB′＝90°， 设B＝B′＝x， ∴BB′＝ x，＝2﹣x，′＝1+x， ′ ∵2＝2+′2， 2 ∴2＝（2﹣x）2+（1+x）2， 整理方程为：2x2 2 ﹣x+1＝0， ∵△＝4 8 ﹣＝﹣4＜0， ∴此方程无实数根，故这种情况不存在； ③如图2，当′＝′时，则′＝BB′， 延长′B′交B 于， ′ ∵B′∥B，∠′B′′＝90°， ′ ∴∠＝∠′B′′＝90°， ∴∠BB′＝90°， 设B＝B′＝x， ∴BB′＝′＝ x，＝2﹣x，′＝1+x， ′ ∵2＝2+′2， ∴（ x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2， 解得：x＝ ， ∴BB′＝ ， 综上所述，若四边形B'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1 或 ， 故答为：1 或 ． 变式训练 【变2-1】．已知在Rt△B 中，∠＝90°，＝6，B＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边 上的正方形是三角形的内接正方形”． （1）如图1，四边形DEF 是△B 的内接正方形，则正方形DEF 的边长1等于 2 ； （2）如图2，四边形DG 是（1）中△ED 的内接正方形，那么第2 个正方形DG 的边长 记为2；继续在图2 中的△G 中按上述方法作第3 个内接正方形，依此类推，……则第个 内接正方形的边长＝ ．（为正整数） 解：（1）四边形DEF 是正方形， ∴EF＝F，EF∥F， ∴△BFE∽△B， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴1＝2， 故答是：2； （2）如图（2）四边形DG 是正方形， ∴＝D，∥D， ∴△E∽△ED， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴2＝ ， 如图3 中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS 的边长为： ＝ ， 第4 的个正方形的边长为： ＝ ， … 第个内接正方形的边长＝ ， 故答为：＝ ． 【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角 像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形BD 中E 是D 上的点，将△BE 绕B 点旋转，使B 与B 重合，此时点 E 的对应点F 在D 的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”）“直等 补”四边形； （2）如图2，已知四边形BD 是“直等补”四边形，B＝B＝10，D＝2，D＞B，过点B 作BE⊥D 于E． ①过作F⊥BF 于点F，试证明：BE＝DE，并求BE 的长； ②若M 是D 边上的动点，求△BM 周长的最小值． 解：（1）∵将△BE 绕B 点旋转，B 与B 重合，点E 的对应点F 在D 的延长线上， ∴∠BF＝∠BE，BF＝BE， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠BE+∠BE＝90°， ∴∠BE+∠BF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°， ∴∠EBF+∠D＝180°， ∵∠EBF＝90°，BF＝BE， ∴四边形BEDF 是“直等补”四边形． 故答为：是； （2）①证明：∵四边形BD 是“直等补”四边形，B＝B＝10，D＝2，D＞B， ∴∠B＝90°，∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝90°， ∵BE⊥D，F⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠FE＝90°， ∴四边形DEF 是矩形， ∴DE＝F，EF＝D＝2， ∵∠BE+∠＝90°，∠BE+∠BE＝90°， ∴∠＝∠BF， ∵∠EB＝∠BF＝90°，B＝B， ∴△BE≌△BF（S）， ∴BE＝F，E＝BF， ∵DE＝F， ∴BE＝DE； ∵四边形DEF 是矩形， ∴EF＝D＝2， ∵△BE≌△BF， ∴E＝BF， ∴E＝BE 2 ﹣， 设BE＝x，则E＝x 2 ﹣， 在Rt△BE 中，x2+（x 2 ﹣）2＝102， 解得：x＝8 或x＝﹣6（舍去）， ∴BE 的长是8； ②∵△BM 周长＝B+BM+M， ∴当BM+M 的值最小时，△BM 的周长最小， 如图，延长D 到点G，使DG＝D，连接BG 交D 于点M′，过点G 作G⊥B，交B 的延长 线于点， ∵∠D＝90°， ∴点与点G 关于D 对称， ∴BM+M＝BM+MG≥BG，即BM+M≥BM′+M′， ∴当点M 与M′重合时，BM′+M′的值最小，即△BM 的周长最小， 在Rt△BE 中，E＝ ＝ ＝6， ∵四边形BD 是“直等补”四边形， + ∴∠∠BD＝180°， ∵∠BD+∠G＝180°， ∴∠＝∠G， ∵∠EB＝∠＝90°， ∴△BE∽△G， ∴ ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ， ∴G＝ ，＝ ， ∴B＝B+＝10+ ＝ ， ∴BG＝ ＝ ＝2 ， ∴△BM 周长的最小值为2 +10． 1．如图，四边形DE 是证明勾股定理时用到的一个图形，，b，是Rt△B 和Rt△BED 边长， 易知E＝ ，这时我们把关于x 的形如x2+ x+b＝0 的一元二次方程称为“勾系一元 二次方程”． 请解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”： ①2x2+ x+1＝0 不是 （填“是”或“不是”）； ②3x2+5 x+4＝0 是 （填“是”或“不是”） （2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”x2+ x+b＝0 必有实数根； （3）若x＝﹣1 是“勾系一元二次方程”x2+ x+b＝0 的一个根，且四边形DE 的周长 是12，求△B 面积． （1）解：2x2+ x+1＝0 不是“勾系一元二次方程”， 理由：∵ ＝ ， ∴＝ ， ∵＝2，b＝1， ∴2+b2≠2， ∴以、b、为三边长的三角形是不是直角三角形，且为斜边的长， 2 ∴x2+ x+1＝0 不是“勾系一元二次方程”， 3x2+5 x+4＝0 是“勾系一元二次方程”， 理由：∵ ＝5 ， ∴＝5， ∵＝3，b＝4， ∴2+b2＝2， ∴以、b、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边的长， 3 ∴x2+5 x+4＝0 是“勾系一元二次方程”， 故答为：不是，是； （2）证明：∵x2+ x+b＝0 是“勾系一元二次方程“， ∴、b、为同一直角三角形的三边长，且为斜边的长， ∴2＝2+b2， Δ ∵＝（ ）2 4 ﹣b＝22 4 ﹣b＝2（2+b2）﹣4b＝2（﹣b）2≥0， ∴关于x 的“勾系一元二次方程”x2+ x+b＝0 必有实数根． （3）解：∵x＝﹣1 是“勾系一元二次方程”x2+ x+b＝0 的一个根， ∴﹣ +b＝0， + ∴b＝ ， ∵四边形DE 的周长是12， 2 ∴（+b）+ ＝12， 2 ∴ + ＝12， ∴＝2 ， + ∴b＝ ×2 ＝4， ∴（+b）2＝16， ∴2+2b+b2＝16， ∵2+b2＝2＝（2 ）2＝8， 2 ∴b+8＝16， ∴b＝4， ∴S△B＝ b＝ ×4＝2． ∴△B 面积是2． 2．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则 称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）（0，0），（3，0），B（0，4），请你画 出以格点为顶点，，B 为勾股边且对角线相等的勾股四边形MB； （3）如图2，将△B 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接D，D，∠DB＝ 30°．求证：D2+B2＝2，即四边形BD 是勾股四边形． （1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可） （2）解：答如图所示．M（3，4）或M′（4，3）． （3）证明：连接E， ∵△B≌△DBE， ∴＝DE，B＝BE， ∵∠BE＝60°， ∴E＝B＝BE，∠BE＝60°， ∵∠DB＝30°， ∴∠DE＝90°， ∴D2+E2＝DE2， ∴D2+B2＝2． 即四边形BD 是勾股四边形． 3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图，在△B 中，B＝，D 是△B 的角平分线，E，F 分别是BD，D 上的点．求证： 四边形BEF 是邻余四边形； （2）如图2，在5×4 的方格纸中，，B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 BEF，使B 是邻余线，E，F 在格点上； （3）如图3，已知四边形BD 是以B 为邻余线的邻余四边形，B＝15，D＝6，B＝3， ∠D＝135°，求D 的长度． （1）证明：∵B＝，D 是△B 的角平分线， ∴D⊥B， ∴∠DB＝90°， ∴∠DB+∠DB＝90°， ∴∠FB 与∠EB 互余， ∴四边形BEF 是邻余四边形； （2）解：如图所示（答不唯一）， （3）解：如图3，延长D，B 交于点， ∵四边形BD 是以B 为邻余线的邻余四边形， + ∴∠∠B＝90°， ∵∠D＝135°， ∴∠D＝45°， ∴∠D＝∠D＝45°， ∴＝D， ∵B2＝2+B2， 225 ∴ ＝（6+D）2+（3+D）2， ∴D＝6（负值舍去）， ∴D＝6 ． 4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【性质初探】如图1，已知，▱BD，∠B＝80°，点E 是边D 上一点，连结E，四边形BE 恰为等腰梯形．求∠BE 的度数； 【性质再探】如图2，已知四边形BD 是矩形，以B 为一边作等腰梯形BEF，BF＝E， 连结BE、F．求证：BE＝F； 【拓展应用】如图3，▱BD 的对角线、BD 交于点，B＝2，∠B＝45°，过点作的垂线交B 的延长线于点G，连结DG．若∠DG＝90°，求B 的长． 【性质初探】解：过点作G⊥B 交于G，过点E 作E⊥B 交于， ∵▱BD， ∴E∥B， ∴G＝E， ∵四边形BE 恰为等腰梯形， ∵B＝E， Rt ∴ △BG Rt ≌ △EG（L）， ∴∠B＝∠E， ∵∠B＝80°， ∴∠BE＝80°； 【性质再探】证明：∵四边形BD 是矩形， ∴E∥B， ∵四边形BEF 是等腰梯形， ∴BF＝E， 由（1）可知，∠FB＝∠EB， ∴△BF≌△EB（SS）， ∴BE＝F； 【拓展应用】解：连接，过G 点作GM⊥D 交延长线于点M， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴是的中点， ∵G⊥， ∴＝G， ∵B∥D，∠B＝45°， ∴∠DG＝45°， ∴∠DG＝90°， ∴D＝DG， ∴B＝DG＝2， ∵∠DG＝90°， ∴G＝2 ， ∴G＝2 ， ∵∠D＝∠DG＝45°， ∴∠DM＝135°， ∴∠GDM＝45°， ∴GM＝DM＝ ， 在Rt△GM 中，（2 ）2＝（D+ ）2+（ ）2， ∴D＝ ﹣ ， ∴B＝ ﹣ ． 5．给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称 为“邻余线”． （1）如图1，格点四边形BD 是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”； （2）如图2，在△B 中，B＝，D 是△B 的角平分线，E，F 分别是BD，D 上的点．求证： 四边形BEF 是“邻余四边形”； （3）如图3，四边形BD 是“邻余四边形”，B 为“邻余线”，E，F 分别是B，D 的中 点，连接EF，D＝4，B＝6．求EF 的长． （1）解： 由图形可知∠E＝90°， + ∴∠∠B＝90°， ∴它的“邻余线”是B； （2）证明：∵B＝，D 是△B 的角平分线， ∴D⊥B， ∴∠DB＝90°， ∴∠DB+∠DB＝90°， ∴∠FB 与∠EB 互余， ∴四边形BEF 是邻余四边形； （3）解：如图，连接DE 并延长到G，使EG＝DE，连接BG，G， 在△ED 和△BEG 中， ， ∴△ED≌△BEG（SS）， ∴∠＝∠BG，BG＝D＝4， ∵四边形BD 是“邻余四边形”，B 为“邻余线”， + ∴∠∠B＝90°， ∴∠BG+∠B＝∠GB＝90°， 在Rt△GB 中， G＝ ， ∵EG＝DE，E＝BE， ∴EF＝ ＝ ． 6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三 角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图1，△B 的三个顶点均在正方形格中的格点上，若四边形BD 是以为“相似对 角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在格中画出点D，请你在图1 中找出满 足条件的点D，保留画图痕迹（找出2 个即可） （2）①如图2，在四边形BD 中，∠DB＝90°，∠DB＝135°，对角线平分∠DB．请问是 四边形BD 的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若＝ ，求D•B 的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠B＝90°时，将△D 以为位似中心，位似比为 ： 缩小得到△EF，连接E、BF，在△EF 绕点旋转的过程中，当E 所在的直线垂直 于F 时，请你直接写出BF 的长． 解：（1）如图1 所示， B＝ ，B＝2 ，∠B＝90°，＝5， ∵四边形BD 是以为“相似对角线”的四边形， 当∠D＝90°时，△D∽△B 或△D∽△B， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∴D＝25 或D＝10， 同理：当∠D＝90°时，D＝25 或D＝10， 如图中，D1，D2，D3，D4即为所求； （2）①是，理由： ∵∠DB＝90°，平分∠DB， ∴∠D＝∠B＝45°， ∴∠D+∠D＝180°﹣∠D＝135°， 又∵∠DB＝135°＝∠D+∠B， ∴∠D＝∠B， ∴△D∽△B， ∴是四边形BD 的“相似对角线”； ②∵△D∽△B， ∴ ， ∴D•B＝2， ∵＝ ， ∴D•B＝10； （3）①由（2）可知△D 为等腰直角三角形，＝ ， ∴D＝D＝ ， ∵△EF∽△D，且相似比为 ： ， ∴E＝EF＝ ，F＝2， 如图，延长E 交F 于点，由题意可得：E⊥F 于， ∴＝ F＝1， ∴＝ ， ∴E＝﹣E＝3 1 ﹣＝2， ∵∠D＝∠EF＝45°， ∴∠E＝∠BF， ， ∵ ， ∴△E∽△FB， ∴ 即 ， ∴FB＝ ； ②如图，设F 与E 交于点G， ∵F⊥E， ∴△GE 为等腰直角三角形， ∵E＝ ， ∴G＝EG＝1， 在Rt△G 中，G＝ ， ∴E＝4， 同理可证△E∽△FB， ∴ 即 ， ∴FB＝4 ， 综上，FB＝2 或FB＝4 ． 7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解： 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究： 如图1，在等邻角四边形BD 中，∠DB＝∠B，D，B 的中垂线