83 四边形中作辅助线造全等

四边形中作辅助线造全等 1、已知：矩形BD 中，点E、F 为对角线上两点，F＝E． （1）如图1，求证：BE∥DF； （2）如图2，当B＝BE＝ D 时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形BD 面积的 ． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B，D∥B， ∴∠DF＝∠BE， 在△FD 和△EB 中， ， ∴△FD≌△EB（SS）， ∴∠FD＝∠EB， ∴BE∥DF； （2）解：△BF，△DE，△DF，△BE；理由如下： 由（1）得：△FD≌△EB， 同理：△BF≌△DE（SS）， ∴△FD 的面积＝△EB 的面积，△BF 的面积＝△DE 的面积， 作BG⊥于G，如图2 所示： ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝90°，B＝D， ∵B＝BE＝ D， ∴B＝BE＝ B， ∴B＝2B，＝ ＝ B，G＝EG， ∵△B 的面积＝ ×BG＝ B×B， ∴BG＝ ＝ ＝ B， ∴G＝ ＝ ＝ B， ∴E＝2G＝ B， ∵F＝E， ∴△BF 的面积＝△BE 的面积，F＝E＝ B， ∴F＝﹣F＝ B﹣ B＝ B， ∴△BF 的面积＝ F×BG＝ × B× B＝ B2， ∵矩形BD 的面积＝B×B＝B×2B＝2B2， ∴△BF 的面积＝矩形BD 面积的 ， ∴△BF 的面积＝△DE 的面积＝△DF 的面积＝△BE 的面积＝矩形BD 面积的 ． 2、如图1，在正方形BD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，B＝8，P 为线段B 上 一点，连接P，过点B 作BQ⊥P，交D 于点Q，将△BQ 沿BQ 所在的直线对折得到 △BQ′，延长Q′交D 于点． （1）求证：BP＝Q； （2）若BP＝ P，求的长； （3）如图2，延长Q 交B 的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BM'的面积为S， 求S 与x 之间的函数关系式． 解：（1）证明：∵∠B＝90° ∴∠BP+∠PB＝90° ∵BQ⊥P ∴∠PB+∠QB＝90°， ∴∠QB＝∠BP， 在△BP 于△BQ 中， ， ∴△BP≌△BQ（S）， ∴BP＝Q， （2）由翻折可知，B＝B'， 连接B，在Rt△B 和Rt ' △B 中，B＝B'，B＝B， Rt ∴ △B Rt ' ≌△ △B（L）， ∴＝'， ∵BP＝ P，B＝8， ∴BP＝2＝Q，P＝DQ＝6， 设＝'＝，则D＝8﹣， ∴在Rt△DQ 中，（8﹣）2+62＝（+2）2 解得：＝48， 即＝48． （3）解：过Q 点作QG⊥BM 于G，由（1）知BP＝Q＝BG＝x，BM＝MQ． 设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x， ∴在Rt△MQG 中，y2＝82+（y﹣x）2， ∴ ． ∴S△BM′＝S△BMQ﹣S△B'Q＝ ＝ ， ＝ ． 3、如图1，已知正方形BD，E 是线段B 上一点，是线段B 延长线上一点，以E 为边在直 线B 的上方作正方形EFG． （1）连接GD，求证DG＝BE； （2）连接F，求t∠F 的值； （3）如图2，将图1 中正方形BD 改为矩形BD，B＝3，B＝8，E 是线段B 上一动点 （不含端点B，），以E 为边在直线B 的上方作矩形EFG，使顶点G 恰好落在射线D 上． 当点E 由B 向运动时，判断t∠F 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明 理由． 解：（1）如图1， ∵正方形BD 和正方形EFG 中， ∴∠BD＝∠EG＝90°，B＝D，E＝G， ∴∠BE＝∠GD， ∴△BE≌△GD（SS）， ∴DG＝BE； （2）如图2，过点F 作FM⊥B 于M，则∠B＝∠EF＝∠FME＝90°， ∴∠BE+∠EB＝∠FEM+∠EB＝90°， 即∠BE＝∠FEM， 又E＝EF， ∴△BE≌△MEF（S）， ∴FM＝BE，EM＝B， 又BE+E＝B，EM＝E+M， ∴M＝FM， 在Rt△FM 中，t∠F＝ ＝1； （3）如图2，过点F 作FM⊥B 于M，则∠B＝∠EF＝∠FME＝90°， ∴∠BE+∠EB＝∠FEM+∠EB＝90°， 即∠BE＝∠FEM， 同理可证∠GD＝∠FEM， 又G＝EF， ∴△DG≌△MEF，△BE∽△MEF， ∴EM＝D＝B＝8， ＝ ， 设BE＝，则EM＝E+M＝B＝BE+E， ∴M＝BE＝， ∴ ＝ ， ∴FM＝ ， t ∴∠F＝ ＝ ＝ ，即t∠F 的值为定值． 4、【操作发现】 如图①，在正方形BD 中，点、M 分别在边B、D 上，连结M、、M．∠M＝45°，将 △MD 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△BE．易证：△M≌△E，从而得DM+B ＝M． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若＝3，M＝4，则正方形BD 的边长是 ． （2）如图②，点M、分别在边D、B 上，且B＝DM．点E、F 分别在BM、D 上，∠EF ＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图③，在矩形BD 中，B＝3，D＝4，点M、分别在边D、B 上，连结M，，已 知∠M＝45°，B＝1，求DM 的长． 【实践探究】 （1）解：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝D＝D，∠BD＝∠＝∠D＝90°， 由旋转得：△BE≌△DM， ∴BE＝DM，∠BE＝∠D＝90°，E＝M，∠BE＝∠DM， ∴∠BE+∠BM＝∠DM+∠BM＝∠BD＝90°， 即∠EM＝90°， ∵∠M＝45°， ∴∠E＝90° 45° ﹣ ＝45°， ∴∠M＝∠E， 在△M 和△E 中， ， ∴△M≌△E（SS）， ∴M＝E． ∵E＝BE+B＝DM+B， ∴M＝B+DM． 在Rt△M 中，M＝ ＝ ＝5， 则B+DM＝5， 设正方形BD 的边长为x，则B＝B﹣＝x 3 ﹣，DM＝D﹣M＝x 4 ﹣， ∴x 3+ ﹣ x 4 ﹣＝5， 解得：x＝6， 即正方形BD 的边长是6； 故答为：6； （2）EF2＝BE2+DF2， 理由如下：如图②，将△FD 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△B，连结E， ∴∠DF＝∠B，DF＝B，∠DF＝∠B，＝F， ∵∠EF＝45°， ∴∠DF+∠BE＝45°＝∠B+∠BE， ∴∠E＝45°＝∠EF， 又∵＝F，E＝E， ∴△E≌△EF（SS）， ∴E＝EF， ∵B＝DM，B∥DM， ∴四边形BMD 是平行四边形， ∴D∥BM， ∴∠D＝∠BM， ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠B+∠BM＝90°＝∠BM， ∴BE2+B2＝E2， ∴EF2＝BE2+DF2； （3）如图③，延长B 至P，使BP＝B＝1，过P 作B 的平行线交D 的延长线于Q，延长 交PQ 于E，连接EM， 则四边形PQD 是正方形， ∴PQ＝DQ＝P＝B+BP＝4， 设DM＝x，则MQ＝4﹣x， ∵PQ∥B， ∴△B∽△PE， ∴ ， ∴PE＝ B＝ ， ∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣ ＝ ， 由（1）得：EM＝PE+DM＝ +x， 在Rt△QEM 中，由勾股定理得：（ ）2+（4﹣x）2＝（ +x）2， 解得：x＝2， 即DM 的长是2． 5、已知四边形BD 和四边形EFG 都是正方形，且B＞E． （1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE； （2）如图2，如果正方形EFG 绕点旋转到某一位置恰好使得G∥BD，BG＝BD． ①求∠BDE 的度数； ②若正方形BD 的边长是 ，请求出△BG 的面积． （1）证明：∵四边形BD 和四边形EFG 为正方形， ∴B＝D，G＝E，∠BD＝∠GE＝90°． ∴∠BD+∠DG＝∠GE+∠DG， ∴∠BG＝∠DE． 在△BG 和△DE 中， ， ∴△BG≌△DE（SS）． ∴BG＝DE； （2）解：①连接BE，如图2 所示： 由（1）可知：BG＝DE， ∵G∥BD， ∴∠DG＝∠BD＝45°， ∴∠BG＝∠BD+∠DG＝90°+45°＝135°， ∵∠GE＝90°， ∴∠BE＝360°﹣∠BG﹣∠GE＝360° 135° 90° ﹣ ﹣ ＝135°， ∴∠BG＝∠BE， 在△BG 和△BE 中， ， ∴△BG≌△BE（SS）， ∴BG＝BE， ∵BG＝BD＝DE， ∴BD＝BE＝DE， ∴△BDE 为等边三角形， ∴∠BDE＝60°； ②延长E 交BD 于点，过点G 作G⊥B 于，如图3 所示： 在△BE 和△DE 中， ， ∴△BE≌△BG（SSS）， ∴∠BE＝∠DE， ∴E⊥BD，B＝ BD， ∵B＝D＝ ， ∴BD＝ B＝2， ∴BE＝2，B＝1， ∴＝1， 在Rt△BE 中，由勾股定理得：E＝ ＝ ＝ ， ∴E＝ ﹣1， ∵∠BG＝135°， ∴∠G＝45°， ∴△G 是等腰直角三角形， ∴G＝ G＝ （ ﹣1）， ∴S△BG＝ B•G＝ × × （ ﹣1）＝ ． 6、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中 有着广泛的运用． （1）如图①，B，，D 三点共线，B⊥BD 于点B，DE⊥BD 于点D，⊥E，且＝E． 若B+DE＝6，求BD 的长． （2）如图②，在平面直角坐标系中，△B 为等腰直角三角形，直角顶点的坐标为（1， 0），点的坐标为（﹣2，1）．求直线B 与y 轴的交点坐标． （3）如图③，∠B＝90°，平分∠B，若点B 坐标为（b，0），点坐标为（0，）．则S 四边 形B＝ ．（只需写出结果，用含，b 的式子表示） 解：（1）∵B⊥BD，DE⊥BD，⊥E， ∴∠B＝∠DE＝∠E＝90°， + ∴∠∠B＝90°，∠ED+∠B＝180°﹣∠E＝90°， ∴∠＝∠ED， 在△B 和△DE 中， ， ∴△B≌△DE（S）， ∴B＝D，B＝DE， ∴BD＝D+B＝B+DE＝6； （2）过点作D⊥x 轴于D，过点B 作BE⊥x 轴于E，如图②所示： ∵△B 为等腰直角三角形 ∴∠D＝∠EB＝∠B＝90°，＝B， ∴∠D+∠D＝90°，∠EB+∠D＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠D＝∠EB， 在△D 和△EB 中， ， ∴△D≌△EB（S）， ∴D＝E，D＝BE， ∵点的坐标为（1，0），点的坐标为（﹣2，1）， ∴＝1，D＝1，D＝2， ∴E＝+E＝+D＝2，BE＝D＝+D＝3， ∴点B 的坐标为（2，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 将、B 两点的坐标代入，得 ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为：y＝ x+2， 当x＝0 时，解得y＝2， ∴直线B 与y 轴的交点坐标为（0，2）； （3）过点作D⊥y 轴于D，E⊥x 轴于E ，如图③所示： ∵平分∠B， ∴D＝E ∴四边形ED 是正方形 ∴∠DE＝90°，D＝E， ∵∠B＝90°， ∴∠D+∠E＝∠EB+∠E＝90°， ∴∠D＝∠EB， 在△D 和△EB 中， ， ∴△D≌△EB（S）， ∴D＝EB，S△D＝S△EB， ∵点B 坐标为（b，0），点坐标为（0，）， ∴B＝b，＝， ∵D＝E， + ∴D＝B﹣BE， 即+D＝b﹣D， ∴D＝ ， ∴D＝+D＝+ ＝ ， ∴S 四边形B＝S 四边形E+S△EB＝S 四边形E+S△D＝S 正方形DE＝D2＝（ ）2＝ ， 故答为： ． 7．如图所示，四边形BD 为平行四边形，D＝13，B＝25，∠DB＝α，且sα＝ ，点E 为 直线D 上一动点，将线段E 绕点E 逆时针旋转α 得到线段EF，连接F． （1）求平行四边形BD 的面积； （2）当点、B、F 三点共线时，设EF 与B 相交于点G，求线段BG 的长； （3）求线段F 的长度的最小值． 解（1）如图1，作DK⊥B 于点K， ∵将线段E 绕点E 逆时针旋转α 得到线段EF， ∴∠EF＝α，E＝EF， 在Rt△DK 中， s ∵∠DK＝sα＝ ，且D＝13， ∴K＝5， ∴DK＝ ＝ ＝12， ∴S 平行四边形BD＝B×DK＝25×12＝300； （2）如图2，延长D 至，作∠D＝α， ∵∠D＝∠D＝α， ∴＝D＝13， 过点作M⊥D 于点M， 由（1）知M＝12， ∴DM＝ ＝5， ∴D＝10， ∵∠FE＝∠DE+ α ∠＝∠F+α， ∴∠DE＝∠F， 在△E 和△EF 中， ， ∴△E≌△EF（S）， ∴E＝F，E＝＝13， ∴DE＝D﹣E＝12，BF＝F﹣B＝22 13 ﹣ ＝9， ∵BG∥E， ∴△FBG∽△FE， ∴ ， 即 ， ∴BG＝ ； （3）如图3，延长D 至P，使∠P＝∠DP＝α，过点F 作FM∥B，交D 于点M，过点 F⊥D，交D 于点， 由（2）可知∠EP＝∠EFM， 在△EP 和△FEM 中． ， ∴△EP≌△FEM（S）， ∴EM＝P＝13，FM＝EP， 设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，M＝25﹣（13+x）＝12﹣x， ∴F＝FM•sα＝ （10+x），M＝FM•sα＝ （10+x）， ∴＝M+M＝12﹣x+ （10+x）＝ ， 在Rt△F 中，F2＝2+F2＝ （208x2 416 ﹣ x+56836）， 对称轴x＝﹣ ＝1， ∴当x＝1 时，F 的值最小，F 的最小值为 ． 8、如图，在正方形BD 中，点E 是边B 上任意一点（点E 不与点B、重合），连结DE， 点关于DE 的对称点为1，连结1并延长交DE 的延长线于点M，F 是1的中点，连结 DF． 【猜想】如图①，∠FDM 的大小为 度． 【探究】如图②，过点作M1∥DF 交MD 的延长线于点M1，连结BM． 求证：△BM≌△DM1． 【拓展】如图③，连结，若正方形BD 的边长为2，则△1面积的最大值为 ． 解：（1）由对称得：D＝'D，∠DE＝∠'DE， 在正方形BD 中，D＝D，∠D＝90°， ∴D＝'D， ∵F 是'的中点， ∴DF ' ⊥，∠DF＝∠'DF， ∴∠FDM＝∠FD'+∠ED'＝ ∠D＝45°； 故答为：45； （2）∵DF⊥1， ∴∠DFM＝90°， ∵M1∥DF ∴∠MM'＝90°， 在正方形BD 中，D＝B，∠BD＝90°， ∴∠DM1＝∠BM， 由（1）可知：∠FDM＝45° ∵∠DFM＝90° ∴∠MD＝45°， ∴∠M1＝45°， ∴M＝M1， 在：△BM 和△DM1中， ∵ ， ∴△BM≌△DM1（SS）； （3）如图，过1作1G⊥于G，则 ＝ •1G， 在Rt△B 中，B＝B＝2， ∴＝ ＝2 ，即为定值， 当1G 最大值，△1的面积最大， 连接BD 交于，当1在BD 上时，1G 最大，此时G 与重合， ∵D＝1D＝2，D＝ ＝ ， ' ∴G＝1D﹣D＝2﹣ ， ∴ ＝ •1G＝ ×2（2﹣ ）＝2﹣ ， 故答为：2﹣ ． 9、如图，已知▱BD，E 是延长线上一点，且∠EB＝90°，B＝E，点F 是B 下方一点，且FE ＝FD，∠EFD＝90°， （1）求证：∠FE＝∠FD； （2）若F＝3，求的长． （1）证明：设与DF 交于点，如图1 所示： ∵∠EB＝90°， ∴∠B＝90°， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B＝D，B∥D， ∴∠D＝∠B＝90°， ∴∠FD+∠D＝90°， ∵∠EFD＝90°， ∴∠FE+∠FE＝90°， 又∵∠FE＝∠D， ∴∠FE＝∠FD； （2）解：连接F，如图2 所示： ∵B＝E，B＝D， ∴E＝D， 在△EF 和△DF 中， ， ∴△EF≌△DF（SS）， ∴F＝F，∠FE＝∠FD， ∴∠F＝∠EFD＝90°， ∴△F 是等腰直角三角形， ∴＝ F＝3 ． 10、在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点（5，0）在x 轴的正半轴上，四边形B 为平 行四边形，对角线B＝，B 交y 轴于点D，且S▱B＝20． （1）如图①，求点B 的坐标： （2）如图②，点P 在线段D 上，设点P 的纵坐标为t，△PB 的面积为S，请用含t 的式 子表示S； （3）在（2）的条件下，如图③，点Q 在x 轴上，点R 为坐标平面内一点，若∠B﹣∠BP ＝45°，且四边形PQBR 为菱形，求t 的值并直接写出点Q 的坐标． 解：（1）∵点（5，0），B＝， ∴＝B＝5， ∵S▱B＝×D＝5D＝20， ∴D＝4， ∵四边形B 为平行四边形， ∴B∥，B＝＝5， ∴∠BD＝90°， ∴DB＝ ＝ ＝3， ∴点B（3，4）； （2）∵点P 的纵坐标为t， ∴P＝t， ∴DP＝4﹣t， ∴S＝ ×（3+5）×4﹣ ×3×（4﹣t）﹣ ×5×t＝﹣t+10； （3）如图， 由（1）知，B（3，4），＝5，B∥， ∴（﹣2，4）， ∴D＝2 取D 的中点E，则DE＝ D＝2， ∴DE＝D， ∴∠DE＝45°， ∴∠B﹣∠E＝45°， ∵∠B﹣∠BP＝45°， ∴∠E＝∠BP， 过点E 作EF⊥于F， ∴∠FE＝90°＝∠BDP， ∴△FE∽△BDP， ∴ ， 在Rt△DE 中，D＝DE＝2， ∴E＝2 ， 在Rt△D 中，D＝2，D＝4， ∴＝2 ， ∵E 是△D 的中线， ∴S△E＝ S△D＝ × ×2×4＝2 ∵S△E＝ •EF＝ × EF＝2， ∴EF＝ ， 在Rt△FE 中，根据勾股定理得，F＝ ， ∴ ， ∴DP＝1， ∴P＝D﹣DP＝3， ∴t＝3， ∴P（0，3）， 设Q（m，0）， ∵B（3，4）， ∴PQ2＝m2+9，BQ2＝（m 3 ﹣）2+16， ∵四边形PQBR 为菱形， ∴PQ＝BQ， ∴m2+9＝（m 3 ﹣）2+16， ∴m＝ ， 即Q（ ，0）． 11、知在四边形BD 中，D∥B，B⊥B，D＝2，B＝4，B＝6． （1）如图1，P 为B 边上一点，以PD，P 为边作平行四边形PQD，过点Q 作Q⊥B，交 B 的延长线于．求证：△DP≌△Q； （2）若P 为B 边上任意一点，延长PD 到E，使DE＝PD，再以PE，P 为边作平行四边 形PQE．请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在， 请说明理由． （3）如图2，若P 为D 边上任意一点，延长P 到E，使E＝P（为常数），以PE，PB 为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求 出最小值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）∵D∥B， ∴∠D＝∠D， ∴∠DP+∠PD＝∠DQ+∠Q， ∵四边形PQD 是平行四边形， ∴PD∥Q，PD＝Q， ∴∠PD＝∠DQ， ∴∠DP＝∠Q， 在△DP 和△Q 中， ， ∴△DP≌△Q（S）； （2）存在最小值，最小值为10， 如图1，作Q⊥B，交B 的延长线于，设PQ 与D 相交于点G， ∵PE∥Q， ∴△DPG∽△QG， ∴ ＝ ＝ ， 由（1）可知，∠DP＝∠Q， Rt ∴ △DP Rt ∽ △Q， ∴ ＝ ＝ ， ∴＝2D＝4， ∴B＝B+＝6+4＝10， ∴当PQ⊥B 时，