模型39 数轴上动点问题（原卷版）(1)

1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数． （一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= X A+X B 2 (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 点表示的整数有___________ 变式训练 【变式1-1】．如图，点为原点，、B 为数轴上两点，B＝15，且＝2B，点P 从点B 开始以 每秒4 个单位的速度向右运动，当点P 开始运动时，点、B 分别以每秒5 个单位和每秒 2 个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t 秒，若3P+2P﹣mBP 的值在某段时间内 不随着t 的变化而变化，则m＝ ． 【变式1-2】．已知数轴上两点、B 对应的数分别是6，﹣8，M、、P 为数轴上三个动点， 点M 从点出发，速度为每秒2 个单位，点从点B 出发，速度为M 点的3 倍，点P 从原 点出发，速度为每秒1 个单位． （1）若点M 向右运动，同时点向左运动，求多长时间点M 与点相距46 个单位？ （2）若点M、、P 同时都向右运动，求多长时间点P 到点M，的距离相等？ （3）当时间t 满足t1＜t≤t2时，M、两点之间，、P 两点之间，M、P 两点之间分别有47 个、37 个、10 个整数点，请直接写出t1，t2的值． 【例2】．如图，周长为6 个单位长度的圆上的六等分点分别为，B，，D，E，F，点落在 2 的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023 的点是 ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．在数轴上，点，，B 分别表示﹣15，0，9，点P，Q 分别从点，B 同时开始 沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4 个单位，点Q 的速度是每秒1 个单位，运动时 间为t 秒．若点P，Q，三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的 一个中点，则运动时间为 秒． 【变式2-2】．如图：在数轴上点表示数﹣3，B 点示数1，点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点B 与数表示的点重合； （2）若点 、点B 和点分别以每秒2 个单位、1 个单位长度和4 个单位长度的速度在数 轴上同时向左运动． ①若t 秒钟过后，，B，三点中恰有一点为另外两点的中点，求t 值； ②当点在B 点右侧时，是否存在常数m，使mB 2 ﹣B 的值为定值，若存在，求m 的值， 若不存在，请说明理由． 1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1m），刻度尺上表示“0m”“8m”的 刻度分别对应数轴上的是﹣3 和x 所表示的点，那么x 等于（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 2．等边△B 在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0 和﹣1，若△B 绕顶点沿顺时 针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2021 次后， 点B（ ） ．对应的数是2019 B．对应的数是2020 ．对应的数是2021 D．不对应任何数 3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示 数x 的点与表示数﹣1 的点的距离，|x 2| ﹣的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2 的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ） ①若|x 2022| ﹣ ＝1，则x＝2021 或2023； ②若|x 1| ﹣＝|x+3|，则x＝﹣1； ③若x＞y，则|x 2| ﹣＞|y 2| ﹣； ④关于x 的方程|x+1|+|x 2| ﹣＝3 有无数个解． ．1 B．2 ．3 D．4 4．数轴上点表示的数是﹣3，把点向右移动5 个单位，再向左移动7 个单位到′，则′表示的 数是 ． 5．数轴上点表示﹣8，点B 表示6，点表示12，点D 表示18．如图，将数轴在原点和点 B，处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M 从点出发，以4 个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 过点后继续以原来的速度向终点D 运动；点M 从点出发的同时， 点从点D 出发，一直以3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动．其中 一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t 秒，t 时，M、两点相遇 （结果化为小数）． 6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点、B、把数轴分成①②③④四部分，点、 B、对应的数分别是、b、，且b＜0． （1）原点在第 部分（填序号）； （2）化简式子：|﹣b| | | || ﹣﹣﹣； （3）若| 5|+ ﹣ （+1）2＝0，且B＝2B，求点B 表示的数． 7．已知b 是最小的正整数，且（﹣5）2与|+b|互为相反数． （1）填空：＝ ，b＝ ，＝ ； （2）若P 为一动点，其对应的数为x，点P 在0 和2 表示的点之间运动，即0≤x≤2 时， 化简：|x+1| | ﹣x 1|+2| ﹣ x+5|（请写出化简过程）； （3）如图，，b，在数轴上所对应的点分别为，B，，在（1）的条件下，若点以1 个单 位长度/s 的速度向左运动，同时，点B 和点分别以2 个单位长度/s 和5 个单位长度/s 的 速度向右运动．ts 后，若点B 与点之间的距离表示为B，点与点B 之间的距离表示为 B．请问：B﹣B 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请 求其值． 8．数轴上有、B、三点，如图1，点、B 表示的数分别为m、（m＜），点在点B 的右侧， ﹣B＝2． （1）若m＝﹣8，＝2，点D 是的中点． ①则点D 表示的数为 ﹣ 2 ． ②如图2，线段EF＝（E 在F 的左侧，＞0），线段EF 从点出发，以1 个单位每秒的速 度向B 点运动（点F 不与B 点重合），点M 是E 的中点，是BF 的中点，在EF 运动过 程中，M 的长度始终为1，求的值； （2）若﹣m＞2，点D 是的中点，若D+3BD＝4，试求线段B 的长． 9．如图，数轴上点，B 分别表示数，b，其中＜0，b＞0． （1）若＝﹣7，b＝3，求线段B 的长度及线段B 的中点表示的数； （2）该数轴上有另一点D 表示数d． ①若d＝2，点D 在点B 的左侧，且B＝5BD．求整式2+8b+2023 的值； ②若d＝﹣2，且B＝5BD，能否求整式2+8b+2023 的值？若能，求出该值；若不能，说 明理由． 10．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5 2| ﹣表示5 与2 差的绝对值，也可理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之 间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5 与﹣2 的差的绝对值，也可理解为5 与﹣ 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点45 的相反数的点B，再把点向左移动15 个单位，得 到点，则点B 和点表示的数分别为 和 ，B，两点间的距离是 ； （2）若点表示的整数为x，则当x 为 ﹣ 2 时，|x+6|与|x 2| ﹣的值相等； （3）要使代数式|x+1|+|x 2| ﹣取最小值时，相应的x 的取值范围是 ． 11．如图，已知点为数轴的原点，点、B、、D 在数轴上，其中、B 两点对应的数分别为﹣ 1、3． （1）填空：线段B 的长度B＝ ； （2）若点是B 的中点，点D 在点的右侧，且D＝，点P 在线段D 上运动．问：该数轴 上是否存在一条线段，当P 点在这条线段上运动时，P+PB 的值随着点P 的运动而没有 发生变化？ （3）若点P 以1 个单位/秒的速度从点向右运动，同时点E 从点以5 个单位/秒的速度向 左运动、点F 从点B 以20 个单位/秒的速度向右运动，M、分点别是PE、F 的中点．点 P、E、F 的运动过程中， 的值是否发生变化？请说明理由． 12．如图，在数轴上，点表示原点，点表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P（不与点点 重合），线段P 与线段P 的长度之比记作k（p），即 ，我们称k（p）为点P 的 特征值，例如：点P 表示的数为1，因为P＝1，P＝2，所以 ． （1）当点P 为的中点时，则k（p）＝ ； （2）若k（p）＝2，求点P 表示的数； （3）若点P 表示的数为p，且满足p＝2 1 ﹣，（其中为正整数，且1≤≤7），求所有满足 条件的k（p）的和． 13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点B 重合，数轴的单位长 度为1m，如图所示． （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B 处时、它的右端点在数轴 上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端 点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 5 m ；我们把这个模型记为“木捧摸 型”； （2）在（1）的条件下，已知点表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端 点与点相距3m 时，求木棒的右端点与点的距离； （3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41 年才出生； 你若是我现在这么大，我就有124 岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模 型”示意图，求出爷爷现在的年龄． 14．对于数轴上的，B，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满 足2 倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点，B，所表 示的数分别为1，3，4，此时点B 是点，的“联盟点”． （1）若点表示数﹣1，点B 表示的数2，下列各数： ，0，1，4，5 所对应的点分别 为1，2，3，4，5，其中是点，B 的“联盟点”的是 ； （2）点表示的数是﹣1，点B 表示的数是3，P 是数轴上的一个动点： ①若点P 在线段B 上，且点P 是点，B 的“联盟点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点的左侧，点P、、B 中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此 时点P 表示的数． 15．如图，点，，B，D 在同一条直线l 上，点B 在点的右侧，B＝6，B＝2，点是B 的中点， 如图画数轴． （1）若点是数轴的原点，则点B 表示的数是 ，点表示的数是 ； （2）若点是数轴的原点时，D 点表示的数为x，且D＝5，求x； （3）若点D 是数轴的原点，点D 在点的左侧，点表示的数为m，且，B，，所表示的 数之和等于21，求m； （4）当是数轴的原点，动点E，F 分别从，B 出发，相向而行，点E 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点F 的运动速度是每秒1 个单位长度，当EF＝3 时，求点，B，E，F 表 示的数之和． 16．如图，在数轴上点表示数，点B 表示数b，点表示数，，满足|+4|+（﹣2）2＝0，b 是 最大的负整数． （1）＝ ，b＝ ，＝ ． （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点B 与数 表示的点重合； （3）点，B，开始在数轴上运动，若点和点B 分别以每秒04 个单位长度和03 个单位长 度的速度向左运动，同时点以每秒02 个单位长度的速度向左运动，点到达原点后立即 以原速度向右运动，运动时间为t 秒，若点与点B 之间的距离表示为B，点B 与点之间 的距离表示为B，请问：5B﹣B 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理 由；若不变，请求出5B﹣B 的值． 17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2 倍的数量关 系．如下图，数轴上点，B，所表示的数分别为1，3，4，此时点B 就是点，的一个 “关联点”． （1）写出点，的其他三个“关联点”所表示的数： 、 、 ． （2）若点M 表示数﹣2，点表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10 所对应的点分别是1，2， 3，4，5，其中不是点M，的“关联点”是点 ． （3）若点M 表示的数是﹣3，点表示的数是10，点P 为数轴上的一个动点． ①若点P 在点左侧，且点P 是点M，的“关联点”，求此时点P 表示的数． ②若点P 在点右侧，且点P，M，中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此 时点P 表示的数． 18．[知识背景]：数轴上，点，点B 表示的数为，b，则，B 两点的距离表示为B＝|﹣b|． 线段B 的中点P 表示的数为 ． [知识运用]：已知数轴上，B 两点对应的数分别为和b，且（﹣4）2+|b 2| ﹣＝0，P 为数 轴上一动点，对应的数为x． （1）＝ ，b＝ ； （2）若点P 为线段B 的中点，则P 点对应的数x 为 ，若点B 为线段P 的中点， 则P 点对应的数x 为 ； （3）若点、点B 同时从图中位置在数轴上向左运动，点的速度为每秒1 个单位长度， 点B 的速度为每秒3 个单位长度，则经过 秒点B 追上点； （4）若点、点B 同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1 个单位长 度，与此同时点P 从表示﹣16 的点处以每秒2 个单位长度的速度在数轴上向右运动．经 过多长时间后，点、点B、点P 三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？ 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5 和3 的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示﹣1 和﹣4 的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示﹣3 和5 的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数和数b 的两点之间的距离等于 ． （3）应用： ①若数轴上表示数的点位于﹣4 与3 之间，则|+4|+| 3| ﹣的值＝ ． ②若表示数轴上的一个有理数，且| 1| ﹣＝|+3|，则＝ ． ③若表示数轴上的一个有理数，| 1|+|+2| ﹣ 的最小值是 ． ④若表示数轴上的一个有理数，且|+3|+| 5| ﹣＞8，则有理数的取值范围是 ． （4）拓展： 已知，如图2，、B 分别为数轴上的两点，点对应的数为﹣20，B 点对应的数为100．若 当电子蚂蚁P 从点出发，以4 个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好 从B 点出发，以3 单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距 20 个单位长度，并写出此时点P 所表示的数． 20．将一条数轴在原点和点B 处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示﹣ 10，点B 表示10，点表示18．我们称点和点在数轴上的“友好函数”为28 个单位长度． 动点P 从点出发，以2 单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到 点与点B 之间时速度变为原来的一半．经过点B 后立刻恢复原速；同时，动点Q 从点出 发，以1 单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B 与点之间 时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为t 秒． （1）动点P 从点运动至点需要 秒，动点Q 从点运动至点需要 秒； （2）P，Q 两点相遇时，求出相遇点M 在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t 值，使得点P 和点Q 任“折线数轴”上的“友好距离”等于点和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 21．在数轴上，点M，对应的数分别是m，（m≠，m≠0），P 为线段M 的中点，同时给出 如下定义：如果 ＝10，那么称M 是的“努力点”． 例如：m＝1，＝ ，M 是的“努力点”． （1）若|m 10|+ ﹣ （+90）2＝0 则m＝ ，＝ ； （2）在（1）的条件下，下列说法正确的是 （填序号）； ①M 是P 的“努力点”；②M 是的“努力点” ③是M 的“努力点”；④是P 的“努力点” （3）若m＜0，且P 是M，其中一点的“努力点”，求 值？ 22．在数轴上，为原点，点，B 对应的数分别是，b（≠b，b≠0），M 为线段B 的中点．给 出如下定义：若÷B＝4，则称是B 的“正比点”；若×B＝4，则称是B 的“反比点”． 例如＝2， 时，是B 的“正比点”；＝2，b＝﹣2 时，是B 的“反比点”． （1）若|+2|+（b 4 ﹣）2＝0，则M 对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序 号）． ①是M 的“正比点”；②是M 的“反比点”；③B 是M 的“正比点”；④B 是M 的 “反比点”； （2）若b＞0，且M 是的“正比点”，求 的值； （3）若b＜0，且M 既是，B 其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接 写出 的值． 23．在数轴上，把原点记作点，表示数1 的点记作点．对于数轴上任意一点P（不与点， 点重合），将线段P 与线段P 的长度之比定义为点P 的特征值，记作，即＝ ，例 如：当点P 是线段的中点时，因为P＝P，所以＝1． （1）如图，点P1，P2，P3 为数轴上三个点，点P1 表示的数是﹣ ，点P2 与P1 关于原 点对称． ① ＝ ； ②比较 ， ， 的大小 （用“＜”连接）； （2）数轴上的点M 满足M＝ ，求； （3）数轴上的点P 表示有理数p，已知＜100 且为整数，则所有满足条件的p 的倒数 之和为 ． 24．阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即|x|＝|x 0| ﹣；这个结论 可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题 中有着广泛的应用： 例1：解方程|x|＝4． 容易得出，在数轴上与原点距离为4 的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4； 例2：解方程|x+1|+|x 2| ﹣＝5． 由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1 和2 的距离之和为5 的点对应 的x 的值．在数轴上，﹣1 和2 的距离为3，满足方程的x 对应的点在2 的右边或在﹣1 的左边．若x 对应的点在2 的右边，如图1 可以看出x＝3；同理，若x 对应点在﹣1 的 左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3 或x＝﹣2． 例3：解不等式|x 1| ﹣＞3． 在数轴上找出|x 1| ﹣＝3 的解，即到1 的距离为3 的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2 的左边或在4 的右边的x